2013年高考广西理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年广西，理1，5分】设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数 为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B

【解析】由题意知,,x a b a A b B =+∈∈，则x 的可能取值为5，6，7，8，因此集合M 共有4个元素，故选B ． （2）【2013年广西，理2，5

分】()

3

=（ ）

（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 【答案】A

【解析】323(1138=++?+=-，故选A ．

（3）【2013年广西，理3，5分】已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+ ，若()()

m n m n +⊥-

，则λ=（ ）

（A ）4-

（B ）3- （C ）2- （D ）1

- 【答案】B 【解析】()()

22

22||||0(1)1[(2)4]3m n m n m n λλλ+⊥-?-=?++-++?=- ，故选B ．

（4）【2013年广西，理4，5分】已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（ ）

（A ）()1,1- （B ）11,2??- ??? （C ）()1,0- （D ）1,12??

???

【答案】B

【解析】由题意可知，1210x -<+<，则1

12x -<<-，故选B ．

（5）【2013年广西，理5，5分】函数()()1=log 10f x x x ??

+> ??

?的反函数()1=f x -（ ）

（A ）()1021x x >- （B ）()1

021

x x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x ->

【答案】A

【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=?=<-，因此11

()(0)21

x f x x -=>-，故选A ．

（6）【2013年广西，理6，5分】已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，24

3

a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）

（A ）()10

613--- （B ）()10139

-- （C ）()10313-- （D ）()10313-+

【答案】C

【解析】由111303n n n n a a a a +++=?=-，故数列{}n a 是以13

-为公比的等比数列，214

43a a =-?= ，

1010101

4(1())

33(13)113

S ---∴==-+，故选C ． （7）【2013年广西，理7，5分】()()34

11+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ）

（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168 【答案】D

【解析】()31x +的展开式中2x 的系列为2828C =，而()4

1+y 的展开式中2y 的系列为2

46C =，故22x y 的系数为

286168?=，故选D ．

（8）【2013年广西，理8，5分】椭圆22:146

x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的

取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） （A ）13,24?????? （B ）33,84?????? （C ）1,12?????? （D ）3,14??

????

【答案】B

【解析】设P 点坐标为00(,)x y ，则21220000

001,,4322

PA PA x y y y k k x x +===-+，于是21

122

2

022003333144444PA PA PA PA x y k k k x x k -?===-?=-?--，由2[2,1]PA k ∈--，故133[,]84

PA k ∈，故选B ． （9）【2013年广西，理9，5分】若函数()21=f x x ax x ++

在1,2??

+∞ ???

是增函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）[]1,0- （B ）[)1,-+∞ （C ）[]0,3 （D ）[)3,+∞

【答案】D

【解析】由条件知21()20f x x a x '=+-

≥在1,2??∞ ???上恒成立，即2

12a x x ≥-在1,2??

∞ ???

恒成立， 函数212y x x =-在1,2??

∞ ???上为减函数，max 21123312()2

y a <-?=?≥，故选D ． （10）【2013年广西，理10，5分】已知正四棱锥1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角

的正弦值等于（ ）

（A

）23

（B ）33 （C ）23 （D ）1

3

【答案】A

【解析】如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ，过C 作1CH C O ⊥于H ，

111111111BD AC CH BD BD ACC A BD AA CH C O CH C BD CH ACC A AC AA A BD C O O ⊥⊥??

⊥???

?⊥??⊥?⊥?????????=?=??

平面平面平面

故HDC ∠为CD 与平面1BDC 所成的角．设122AA AB ==，

则1?2AC OC C O =

===，由等面积法， 得111123OC CC C O CH OC CC CH C O ??=??==，故2

sin 3

HC HDC DC ∠==，故选A ． （11）【2013年广西，理11，5分】已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交

于,A B 两点，若0MA MB ?=

，则k =（ ）

（A ）

12

（B （C （D ）2

【答案】D

【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-，将其代入28y x =，

得22

2

2

4(2)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122

4(2)

,4k x x x x k

++=?=① 而1212121212()4,(2()4)y y k x x k y y k x x x x +=+-?=?-++②

由0MA MB =

，可得1122(2,2)(2,2)0x y x y +-?+-=

所以：121212122()2()80x x x x y y y y +++-++=③ 由①②③解得2k =，故选D ．

（12）【2013年广西，理12，5分】已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中正确的是（ ）

（A ）()y f x =的图像关于(),0π中心对称 （B ）()y f x =的图像关于2

x π

=对称

（C ）()f x

（D ）()f x 既是奇函数，又是偶函数 【答案】C

【解析】依题意22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-，设sin ,[1,1]t x t =∈-，则23()2(1)22g t t t t t =-=-

由2()260g t t t '=-=?=1t =±时，函数值为0

，当t =

时，函数值为，

当t =

()f x

，故选C ．

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）【2013年广西，理13，5分】已知α是第三象限角，1

sin 3

α=-，则cot α= ．

【答案】70

【解析】8

??的展开式的通项公式为(

)()8338422

18811r

r r r

r r r r r T C C x y ---+??=?-??=?-??， 令3384222

r r

-=-=，求得4r =，故展开式中22x y 的系数为4870C =．

（14）【2013年广西，理14，5分】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数

字作答） 【答案】480

【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有4

4A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 的排法，因此甲、

乙不相邻的不同排法有42

45480A A =．

（15）【2013年广西，理15，5分】记不等式组0

3434x x y x y ≥??

+≥??+≤?

所表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与D 公共

点，则a 的取值范围是____________．

【答案】1

[,4]2

【解析】作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由直线(1)y a x =+过定点

(1,0)C -，依图并结合题意可知，1

,42

BC AC k k ==，要使直线(1)y a x =+与平面区域D

有公共点，则1

42

a ≤≤．

（16）【2013年广西，理16，5分】已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3

2

OK =

，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60 ，则球O 的表面积等于 ． 【答案】16π

【解析】设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，

则,OE MN KE MN ⊥⊥，结合题意可知60OEk ∠=?，又M N R =，

故OMN ?为正三角形，

故OE =

，又OK EK ⊥

，3sin 6022OE R ∴=?=?=，故2416S R ππ==．

三、解答题：本大题共6题，共75分． （17）【2013年广西，理17，10分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项式．

解：设{}n a 的公差为d ．由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =．由124,,S S S 成等比数列得2

214=S S S ．

又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+，故2

222(2)()(42)a d a d a d

-=-+．若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，

不合题意；若23a =，则2

(6)(3)(122)d d d

-=-+，解得0d =或2d =．{}n a ∴的通项公式为3n a =或21n a n =-． （18）【2013年广西，理18，12分】设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=．

（1）求B ；

（2

）若sin sin A C =，求C ．

解：（1）()()a b c a b c ac ++-+= ， 222a c b ac ∴+-=-．由余弦定理得2221cos 22

a c

b B a

c +-==-，0

120B ∴=．

（2）由（1）知060A C +=，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+

cos()2sin sin A C A C =+

+122=

+

=，故030A C -=或030A C -=-，因此015C =或045C =． （19）【2013年广西，理19，12分】如图，四棱锥P ABCD -中，902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==? ，与PAD

?都是等边三角形．

（1）证明：PB CD ⊥；

（2）求二面角A PD C --的大小． 解：（1）证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，

垂足为O ．连结OA OB OD OE ，，，，由PAB ?和PAD ?都是等边三角形知 PA PB PD ==，所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABED 对角线的交点

故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥，因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，

所以//OE CD ．因此PB CD ⊥． （2）解法一：

由（1）知CD PB ⊥，CD PO ⊥，PB PO P = ．故CD ⊥平面PBD ． 又PD ?平面PBD ，所以CD PD ⊥．取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则//FG CD ，//FG PD ． 连结AF ，由APD ?为等边三角形可得AF PD ⊥．所以AFG ∠为二面角A PD C --的平面角．

连结AG ，EG ，则//EG PB ．又PB AE ⊥，所以EG AE ⊥．设2AB =

，则AE =1

12

EG PB ==，

故3AG =．在AFG ?

中，1

2

FG CD ==

AF =，3AG =，

所以222cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==??A PD C --

的大小为π-．

解法二：

由（1）知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE

的方向为x 轴的正

方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．

设||2AB =

，则(A

，(0,D

，C

，P ．

(2)PC =

，(0,PD =

．AP =

，AD =

． 设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =

，则1(,,)0n PC x y z ?=?=

，

1(,,)(0,0n PD x y z ?=?=

，可得20x y z --=，0y z +=．取1y =-，

得0,1x z ==，故1(0,,1)n =- ．设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q = ，

则2(,,)(2,0n A P mpq ?=?

，

2(,,)n AD m p q ?=? ，可得0,0m p m p +=-=．取1m =，得1,1p q ==-，故2(1,1,1)n =-．

于是121212cos ,||||

n n n n n n ?<>= 12,n n <> 等于二面角A PD C --的平面角，

所以二面角A PD C --的大小为π-． （20）【2013年广西，理20，12分】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局

比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为

1

2

，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

（1）求第4局甲当裁判的概率；

（2）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． 解：（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A 表示事件“第4局甲当裁判”．则12=A A A ?．12121

()=P()()()4

P A A A P A P A ?==．

（2）X 的可能取值为0，1，2．记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，

1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， 3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则1231231

(0)()()()()8

P X P B B A P B P B P A ==??==

， 13131(2)()()=4P X P B B P B P B ==?=（），115

(1)1-(0)(2)1848

P X P X P X ===-==--=，

9

()0(0)1(=1)+2(2

)8E X P X P X P X =?=+??==． （21）【2013年广西，理21，12分】已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12F F ,，离心率

为3，直线2y =与C ． （1）求,a b ；

（2）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点，且11AF BF =，证明：22AF AB BF 、、成

等比数列．

解：（1）由题设知3c =，即222

9a b a

+=，故22

8b a =．所以C 的方程为22288x y a -=．将2y =代入上式，

求得x ==21a =．所以1,a b ==

（2）由（1）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -=．①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <

代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤-，21x ≥，

2

122

68

k x x k +=-，2122988k x x k +?=-．于是11||(31)AF x -+，

12||31BF x =+，1112||||(31)31AF BF x x =?-+=+，

即122

3

x x +=-．

故2262

83

k k =--，

解得245k =，从而12199x x ?=-．由于21||13AF x =-，

22||31BF x -．故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，

221212||||3()9-116AF BF x x x x ?=+-=．因而222||||||AF BF AB ?=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列．

（22）【2013年广西，理22，12分】已知函数()()()1=ln 11x x f x x x

λ++-

+．

（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；

（2）设数列{}21111

1,ln 2234n n n n a a a a n n =+

++???+-+>的通项证明：． 解：（1）由已知(0)0f =，2'2

(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'

(0)0f =．若12

λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，

所以()0f x >．若12

λ≥

，则当0x >时，'()0f x <，所以当0x >时，()0f x <．综上，λ的最小值是12．

（2）令12λ=．由（1）知，当0x >时，()0f x <，即(2)ln(1)22x x x x +>++．取1

x k

=，则

211ln()2(1)k k k k k ++>+． 212111()422(1)n n n k n a a n k k -=∴-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑21

1ln n k n

k k -=+>∑ln 2ln n n =-ln2=．21

ln 24n n a a n ∴-+>．