弯曲变形的概念
9—1 弯曲变形的概念
一、弯曲与平面弯曲
1、弯曲：直杆在垂直于杆轴的外力作用下，杆的轴线变为曲线，这种变形叫弯曲。
2、梁：以弯曲为主变形的构件称为梁。其特点：a、形状：轴线是直的，横截面至少有一个对称3
m m
由∑x=0 ∑y=0；—Q m+R A=0 Q
∑y=0
∑m=0 0
∑m=0；—R A+M m=0，
Q m——剪力 M m——弯曲
梁平面弯曲时截面产生两种内力 : 剪力Q
二、Q，M正负号的规定
四、讨论：
1、要正确区别性质符号和运算符号。所谓正，负Q，M是指性质符号而言
2、Q x=∑左·y 或 Q x
=∑右·y， M x=∑左·M 或M x=∑右·M
3、可用“简便方法”计算截面内力
六、求剪力和弯矩的基本规律
（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向，转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析
（2）梁内任一截面上的剪力Q的大小，等于这截面左边（或右边）的与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有与y轴同向的外力使该截面产生正剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生负剪力；若考虑右段为脱离体时，在此段梁所有与y轴同向的外力
梁上作用任意荷载q （x ）：（1）取出梁中一微段d x （d x 上认为荷载是均匀的）；（2）设截面内力：Q （x ），M （x ）。利用 ∑y =0。则：
Q （x ）+q （x ）d x —[Q （x ）+d Q （x ）]=0
d Q （x ）=q （x ）d x
即 d Q （x ）/d x =q （x ）
剪力对x 的一阶导数等于荷载 ∑0M =0
M （x ）—[M （x ）+d M （x ）]+Q （x ）d x +q （x ）d x d x /2=0
即； d M （x ）/d x =Q （x ） 弯矩对x 的一次导等于剪力
（1） q （x ）=0 （无线荷载）
d Q （x ）/d x =q （x ）=0 说明剪力方程是常数。只有常数导数才为零，所以此时剪力图是一条水
平线。
d M （x ）/d x =Q （x ） 而剪力是常数，说明原弯矩方程是x 的一次函数，所以弯矩图是一
条斜直线
（2） q （x ）=常数（有线载）
d Q （x ）/d x =q （x ）=常数 说明剪力方程是x 的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。
即 d M （x ）/d x =Q （x ） 而剪力又是x 的一次函数，说明原弯矩方程是x 的二次函数。所以弯矩
图是二次抛物线。
M 极植
在Q （x ）=0处。由于 d M （x ）/d x =Q （x ）=0处有极植
)
x d l )=（q 0/l ）?l
x xd 0
=q 0l 2/l2=q 0l/2 （三角形面积）
x )=（1/p）?l x l
xd
q
x
00
)
/
(=2l/3 A
M
∑=0 解得
B
=ql/3
00
=q0l/6 +q0x2/2l （0 M(x )=q0lx/6—q0x3/6l= q0lx/6 —q0x3/6l (0≤x≤l) 令Q（x）=0，得 x=l/3（取正植） M max=q0l2/（93） 画剪力图和弯矩图的一般规律： 1 在集中力作用处，剪力图发生突变，突变力的大小等于该集中力的大小。弯矩图在此处形成夹角，没有突变 2在集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小，剪力图在此处没有变化。 3在梁端点的铰支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点铰支座上没有集中力偶的作用，则铰支座处的弯矩等于零 4最大弯矩的位置：梁上如有均布荷载作用，一般在Q=0的截面处有最大弯矩。当有集中荷载作用时，最大弯矩往往发生在某一个集中荷载作用的截面处。悬臂梁的固定端及外伸梁的支座处往往发生最大负弯矩。在集中力偶作用处，也往往会有最大弯矩。 5最大剪力及其位置：一般发生在梁的支座处或集中力作用处的截面的一侧。 6如果在结构对称的梁上作用着对称荷载，则该梁具有对称的弯矩图和反对称的剪力图 9—4、叠加法绘制弯矩图 一、条件：小变形，讲书中例题 9—5、弯曲应力 ρ，两截面 = εy/ρ（1）式 说明：ε与y成正比 （2）物理关系——应力与应变的关系 假设一层层纤维无挤压作用，则各条件纤维处于单向拉伸或单向压缩材料在弹性范围内，ε σ? =E成立 则 ε σ? =E=Ey/ρ（2）式 M=?A A d yσ（b） 2）代入（a） ?A A yd=ES z/ρ=0 只有S z =0 说明：中性轴通过截面形心 将（2）代入（b ） M=?A A d Ey )/(2ρ =（E/ρ）?A A d y 2=EI z /ρ 即：M= EI z /ρ， 则1/ρ=M/EI ρ （c ） 将（2）代入（c ） z I My /=σ y ——欲求应力点到中性轴的距离。 一． 纯弯曲理论： 1．横向弯曲：横截面上即有M ，又有Q 2．推广： 当（l/h ）>5，剪力对正应力分布影响很小，可不计。公式σ=M ·y/I y 可适用横向弯曲。 []l W M σσ≤= 1 max max []a W M σσ≤= 2 min min 二、最大弯矩压应力：包括最大拉应力和最大压应力（最大压应力一般称为最小压应力，用min σ表 示）最大压应力发生在最大弯矩（绝对值）处。用截面的上下边缘。 即：Iz y M max max max = σ Iz y M max 'min min =σ y max 为受拉区最外边缘到中性轴距离，max 'y 为受压区最外边缘到中性轴距离。 当中性轴是截面对称轴时，y y 'max max = 令： Wz= m ax y Iz 、Wz 称为抗弯截面摸量（单位为cm 3） 则、2 m ax m ax W M = σ； 对矩形截面：Wz=m ax y Iz =2 12 13 h bh ?=6 1bh 3 对圆形截面：Wz= m ax y Iz =2 614 d d ∏= 32 ∏d 3 三、强度计算的三类问题： 1、强度核算：已知：[]σ、W 、M 是否：[]σσ≤= W M max max 2、选择截面：已知：[]σ、M 据：Ｗ[] σmax M ≥ 确定截面尺寸（若是型钢可查型钢表） ３、计算许用核载：已知：[]σ、Ｗ 求[]W M *≤σmax 进而确定荷载 ９－７ 提高梁压应力强度的主要途径 一、据：ａ、压应力分布规律（远距离中性轴的正应力越大）。 ｂ、 σ＝W M ，∴提高Ｗ降低Ｍ ｃ、考虑材料特性 ｄ、选合理的结构 一、 具体措施： １、据A Wz 比值选择截面形状 ２、.选择合理的截面形状 据正应力分布规律： ａ、将矩形截面改成工字形 ｂ、减轻梁的自重，在靠近（预制板开孔的道理）中性轴的地方开孔 ４、锯材料的特性选择截面形状； ａ.塑性材料：如钢材、因其受拉、受压容许应力相同。故将截面形状设计成对称于中性轴的 ⊥”截面。（如上侧受 *A 对中 b y y y y b y A S z *??? ?-=?????? ?-+?? ?-==* * 2* 42222当2h y ±=时，0=*z S 则0=τ ，y=0 时， A Q bh b bh Q bI QS z z 23112 832max =* * == *τ （*z S 达到最大值则τ最大） 二、工字型截面的梁的剪应力 通常计算可知：m ax τ与m in τ相差不大，可近似认为腹板上的剪应力是均匀分布的，因为腹板上所承受的Q 是工字型截面剪力的95%。 所以： d h Q f 1≈ τ 也可：d h Q 1max = τ 或：d I S Q z z ??=* max max τ 三、圆形截面梁的最大剪应力 Q 。则在中性轴上方点处的剪应力都平行与剪力Q 而且 其中： 4 22 πd D A -= *z S 是大半圆面积乘其型心到Z 轴的距离减去小半圆面积乘上其型心到Z 轴垂直距离。 9-9 积分法计算梁变形 一、求转角方程，挠曲线方程 EI x M dx y d )(22-= 积分一次得 ?+-=C dx x M EI dx dy )(1 而 dx dy Q = 再积分一次：[] })({1 D cx dx dx x M EI y ++-=?? “D ”积分常数，常数距边界条件即 求：B Q 、B Y 取（a ）据EI x M Y )(- = 2)(Pl x M -= （l X <<10） 两边积分：D CX X Pl Y EI ++='12 14 边界条件：当X 1=0、Ya=0、QA=0、C=0、D=0 当 X=l EI Pl l Pl EI Q 2)2(12 =?=B EI Pl l Pl EI Y B 4)4(132=?= 取（b ）：据EI x M y )(- ='' )2(2)(X l p M x --= )20(2l X << 两边积分：C X P LX P Y EI +-='2 2222 两边积分：D CX X P lX P EIY ++-=23 22264 边界条件：当02=X 、0=A Y 、Q=0 、C=0 、D=0 当2l X = EI Pl l P l l P EI Q C 8]22[12 2 = ??? ???-= EI Pl l P l l P EI Y C 48226241 3 32= ??????? ???? ??-??? ??= 叠加： EI Pl EI Pl EI Pl Q B 85822 22=+= EI Pl l EI Pl EI Pl EI Pl Y B 48172848243233=?++= 例： 已知：EI 为常数 求A Q 、B Q 及m ax Y 解： Q dx Y d =2 2)(2 1 qx x R M A X -*= 22 1 21qx qlx -= )(2 2X M EI dx Y d -= 2)(2 121qx qlx M X += 积分一次：c qx lx q EIQ d d EI x y ++-==326 1 4 （1） 再积分一次：D cx x q lx q EIY +++- =4 324 12 （2） 确定积分常数：据边界条件： x=0 处 y=0 代入（1）式 D=0 x=l 处 y=0 代入（2）式 24 3 QL C = 将C 、D 植代入（1）、（2）式中 挠曲线方程分别是 )24 4(13 2ql x ql EI Q +-= （3） ???? ??++-=2424121443ql x q x ql EI y （4） 在A 截面处X=0 代入（3）式中 EI ql Q A 243 = B 截面处：l x =代入式（3） EI ql Q B 243 -= 2 l x = 代入（4）式 EI ql y y c c 38454 max == 二、叠加法求梁弯曲 查表后叠加 三、挠度核算 条件： ?? ????≤l f l f Mx= R A ·X －Mk= )(a x l l R --· x －Mk Mk —Pk 以左梁上荷载对Pk 作用点的力矩总和要使 Mx 为极大值： 0)2(=--=a x l l R dx dMx x=2 2a l - －－梁中线平分合力R 与Pk 只有(l-2x-a)=0 Mmax=R A ·X —M k =)(a x l l R --·X －M k =k M a l l R --2)22( 10组合变形 图10.4 斜弯曲分析参考图 10 组合变形 10.1 组合变形的概念和实例 分析组合变形问题时，通常是先把作用在杆件上的载荷向杆件的轴线简化，即把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。 工程中，常见的组合变形主要有斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲的组合、弯曲与扭转的组合。下面讨论这三种组合变形的强度计算问题。 10.2 斜弯曲 10.2.1 斜弯曲时横截面上的应力 外力简化 ? ?sin ,cos z y P P P P == 内力： ? ?cos )(cos )(y z M x l P x l P M =-=-= ? ?sin )(sin )(z y M x l P x l P M =-=-= 式中)(x l P M -=是集中力P 在横截面m-n 上所引起的弯矩，在计算中可取绝对值。 应力: 任意截面m-n 上任意点C （y ，z ）处的应力可采用叠加法计算。在xy 平面内的平面 弯曲（由于z M 的作用）产生的正应力为 y I M I y M z z z cos ? σ== ' 由于在xz 平面内的平面弯曲（由于y M 的作用） 产生的正应力为 图10.1起重机构ACB 梁受力分析 图10.2传动轴受力分析 z I M I z M y y y sin ? = = σ'' C 点处的正应力，即 y y z z I z M I y M += ''+'=σσσ???? ??+=z I y I M y z sin cos ?? （10.1） 10.2.2 斜弯曲时的强度计算 强度条件为 max 11z y cos sin M y z I I ??σ?? =+≤ ? ???[]σ （10.2） 对于有棱角的矩形截面，根据图10.4所示的应力分布，公式（10.2）还可写成 ≤ + = z zmax y y max max W M W M σ[]σ （10.3） 若材料的抗拉强度和抗压强度不同，则应分别对1D 点和2D 点都进行强度计 算。 0 sin cos 0y 0z =???? ??+=z I y I M ??σ 因为0≠M ，所以有 0sin cos 0y 0z =+z I y I ? ? （10.4） 此即斜弯曲时的中性轴方程。设中性轴与z 轴的夹角为α，根据公式（10.4）有 ? αtg tan y z 00I I z y -== （10.5） 由式（10.5）可得出以下两点结论： (1) 对于z y I I ≠的截面，则?α≠。这表明此种梁在发生斜弯曲时，其中性轴与外力P 所在的纵向平面不垂直（图10.5b ）。 (2) 对于圆形、正方形及其他正多边形截面，由于z y I I =，故可由式（10.5）得：?α-=，这说明中性轴总是与载荷所在的纵向面垂直，即此类截面的梁不会产生斜弯曲。 10.2.3 斜弯曲的变形计算 3 3 y y z z cos 33P l P l f EI EI ?==－－ 3 3z z y y cos 33Pl P l f EI EI ?==－－ 2 z 2y f f f += （10.6） 设总挠度f 与y 轴的夹角为β（图10.6b ）， 则有 ? βtg tan y z y z I I f f == （10.7） 关于挠度、中性轴及外力P 的位置之间的关系，现作进一步讨论： 图10.6斜弯图 第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max 3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。 查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。 A ．A B 段是纯弯曲，B C 段是剪切弯曲 第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点 薄板的基本概念 薄板的位移与应变分量 薄板广义力 薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化 薄板的莱维解 矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设 薄板应力 广义位移与薄板的平衡 薄板的典型边界条件 薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解 一、内容介绍 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。 对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二、重点 1、基尔霍夫假设； 2、薄板的应力、广义力和广义位移； 3、薄板小 挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。 §12.1 薄板的基本概念和基本假设 学习要点: 本节讨论薄板的基本概念和基本假设。 薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。 薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路： 1、薄板基本概念； 2、基尔霍夫假设 1、薄板基本概念 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板 薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。 设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板； 10 组合变形 1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念； 2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为 p p o o 22 y z z y 1z y0 i i ++?= 3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。 4、截面核心。 10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形? 图10.1 解题范例 [解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。 （b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。 （c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。 （d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。 10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。 图10.2 [解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。 (b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。 (c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形. (d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。 (e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。 (f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。 (g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。 10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形? 图10.3 [解] AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。 10.4一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆AB为18号工字钢（截面面积30.6cm2，Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 B l/2 F 20kN 300 C D A l 图10.4 [解]取AB为研究对象，对A点取矩可得 NBCY F12.5kN = 则3 2 25 = = NBCX NAB F F 第十一章组合变形 2.5 组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； ⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。 四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、学时:2学时 六、讲课提纲 (一)斜弯曲 斜弯曲梁的变形计算 仍以矩形截面的悬臂梁为例： 弯曲变形 基本概念题 一、选择题 1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部 分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 （）。 题2图题1图 A．两组结果的正负号完全一致 B．两组结果的正负号完全相反 C．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A．该梁应分为AB、BC两段进行积分 B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26- 题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左 y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的 41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2 1 倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。 A ． EI Pa 323 B ． EI Pa 33 C ．EI Pa 3 D ．EI Pa 233 8. 已知简支梁，跨度为l ，EI 为常数，挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=， -27- 组合变形 一、判断题 1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。( ) 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。( ) 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。( ) 4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。( ) 图 1 5. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。( ) 6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。( ) 图 2 7.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。( ) 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。( ) 图 3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。( ) 10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。( ) 11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。( ) 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。（） 二、选择题 1.截面核心的形状与（）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（） 图 4 A、斜弯曲 B、纯弯曲 C、弯扭组合 D、平面弯曲 三、计算题 1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。 图 5 2.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为 ，试校核挡土墙的强度。 平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义） ? 知识点睛 一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有 ，又有 的量叫做向量． ??→ 表示：a ， AB ??→ 模：向量 AB 的 叫做向量的模，记作 ． 2. 几个特殊的向量： 零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算 1 （几何意义） 加法 减法 数乘 定 义 求两个向量和的运算 向量a 加上向量b 的 ， 即 a +(-b )=a -b 实数与向量的 积是一个向量， 记作λa 法 则 法则 法则 λa = λ a 当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ=0 时，λa =0 运算律 交换律： λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )= a + b = 结合律： a -b =a +(-b ) (a +b )+c = λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b 三、向量相关定理 1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一 一个实数λ，使． 扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线． ??→??→ ① PA =λPB ； ??→??→??→ ②对平面任一点O，OP =OA+t AB ； ??→??→??→ ③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）． 2.平面向量基本定理 （1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ． 四、向量的坐标表示及运算 1.坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ． 2.坐标运算 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法 ??→ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB = ．（2）向量位置关系与坐标 a∥b ? ?? ?． 10 组合变形 1、 斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念； 2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为 p p o o 22y z z y 1z y 0i i + + ?= 3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。 4、截面核心。 10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形? 图 10.1 [解]（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发生变形。 （b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。 （c ）AB 是压缩弯曲组合变形，BC 是压弯组合变形。 （d ）CD 是弯曲变形，BD 发生压缩变形，AB 发生弯伸变形，BC 发生拉弯组合变形。 10.2 分析图10.2中各杆的受力和变形情况。 解题范例 图 10.2 [解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。 (b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。 (c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形. (d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。 (e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。 (f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。 (g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。 10.3分析图10.3 示构件中 (AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形? 图10.3 [解] AB 段发生弯曲变形，BC 段发生弯曲、扭转变形；CD 段发生拉伸、双向弯曲变形。 10.4一悬臂滑车架如图 10.4 所示，杆AB 为18号工字钢（截面面积30.6cm 2 ，Wz=185cm 3 ），其长度为l =2.6m 。试求当荷载F=25kN 作用在AB 的中点处时，杆的最大正应力。 设工字钢的自重可略去不计。 l /2 F 20kN 300C D A l 图 10.4 [解] 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 32 25 = =NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴力图和弯矩图: kN l l /2 32 25 Fl kN.m l B l /2 F 20kN 300 C D A F NBC F NBCY NBCX “平面向量的概念及表示”的教学设计 一、教学内容解析 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。以位移、力等物理量为背景，抽象出既有大小又有方向的量---向量，然后介绍了向量的几何表示，向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、相等向量与共线向量。 二、教学目标设置 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 三、学生学情分析 这个班的学生是高一的，刚刚学完必修一的第一章的内容。 四、教学策略分析 利用已学的集合知识，构建学习新概念的学习体系。借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念 五、教学过程 （一）温故而知新，主要从集合的学习体系来认知学习一个新知识的研究体系，即：定义一表示一特殊元素一特殊关系一运算。 (二)问题情镜引入，从位移等物理量引入既有大小又有方向的量并加以抽象。 问题1：在平面上，如何用点A的位置来确定点B的位置关系？ 问题2：你能不能举出其他的既有大小又有方向的量？ 问题3：你能不能举出只有大小没有方向的量？ (三)新课学习 1、向量的定义：既有大小又有方向的量为向量。 2、向量的表示（1）几何表示：用一个很经典的受力分析图，学生很容易想到用有向线段来表示向量。长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 (2)符号表示：①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）； ②用小写字母表示：a、b、c ；（印刷用a，书写时应加上箭头）（此处向学生介绍数学家们有符号表示向量的过程，让学生对数学史有一定的了解，符号化的过程也不是一蹴而就的） 3、向量的有关概念： （1）大小： Engineering Mechanics （第3版） 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育出版社 第9章弯曲应力与弯曲变形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施 小结 思考题 第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲 前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。 梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。 例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。 图9 – 1 y a a F F B x z A C (a) D x F S F F (c) a a F F B C D (b) A F A F B (d) Fa M x 9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、 反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m n n (a) (b) m m n n y ρ M e M e O' O' b' b' a' a' d θy y z b' 中性轴 中性层 对称轴 (c) 图9 – 2 b' a a '' b b ''可观察到： （1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。 平面向量的概念及表示 荆州开发区滩桥高中 康晓欧 教学目标: 1.透过向量的物理背景，理解向量概念，区别向量与数量, 2.体会认识向量的几何表示，向量的长度，零向量，单位向量，平行向量，共线向量，相等向量等基本概念． 教学重点：向量概念，向量的几何表示，以及平行向量概念． 教学难点：理解零向量，单位向量，相等向量，平行向量的含义，让学生感受向量，平行或共线向量等概念形成过程. 教学策略 1.设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们领悟向量概念的本质特征 2.类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系． 教学流程： 情景引入——探究新知——巩固提升——归纳小结 教学过程: 1.问题情境： 2.探究新知： （1） 向量的概念 问题1 你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？ 问：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请举例． 归纳定义: 向量——既有大小又有方向的量 数量——只有大小没有方向的量 （2）向量的表示 问题2 向量是既有大小又有方向的量，那么该怎样把向量表示出来呢？ 问：在物理中，我们用什么方法表示一个竖直向下的4N 的力？ ① 几何表示法：常用一条有向线段表示向量(如图所示). ② 符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段，记作AB u u u r .(注意起终点顺序). ③ 字母表示法：可表示AB u u u r 为a r .(一定要学生规范书写:印刷用黑体a ,书写用a r ) ④ 向量AB u u u r 的大小——向量AB u u u r 长度（或称为向量的模）. 记作：AB u u u r . 思考： ① AB u u u r 与BA u u u r 相同吗？AB u u u r 与BA u u u r 相同吗？ ② 若a b >r r ，则一定有a b >r r 吗？ → 第七章 梁弯曲时的变形 §7?1 概 述 图7?1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移，称为挠度，用y 表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。 （7?1） 称为挠曲线方程。 （7?2） 称为转角方程。 §7?2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为 EI x M x y )(d d 2 2±= （7?3） 式中的正负号取决于22d d x y 与)(x M 的正负号的规定。在如图11?2所示的坐标系中，y 轴以 向下为正，当M (x )>0时，梁的挠曲 的（7?3） ?+-== C x x M EI x d )(d θ （7?5） 再积分一次，可得 ()[]??++-=D Cx x x M EI y 2d 1 （7?6） 以上两式中，C 、D 为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7?3a ）中，A 、B 支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7?3b ）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C 、D 确定后，代入式（7?5）、（7?6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。 例题7?1 图示等截面悬臂梁AB EI ，试 (b) 求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度y max 和最大转角θmax 。 解 b ），弯矩方程为： （a ） （2 （b ） （3积分一次，得： ??? ??+-==C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ） 再积分一次，得： ??? ??++-= D Cx Fx Flx EI y 3261211 （d ） （4）利用梁的边界条件确定积分常数 在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即： 0=x 时，0=y ，0=θ 代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。 （5）给出转角方程和挠曲线方程 ??? ??-==2211d d Fx Flx EI x y θ （e ） ??? ??-=3261211Fx Flx EI y （f ） （6）求最大挠度和最大转角 根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x =l 处。将x =l 代入（e ）、（f ）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为： 挠度为正，说明梁变形时B 点向下移动，转角为正，说明横截面B 沿顺时针方向转动。 用积分法计算梁的位移时，应先写出梁的弯矩方程，建立梁的挠曲线近似微分方程，然后通过积分得到转角和挠曲线方程式，积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时，应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似微分方程，并分段 积分。积分常数的确定除了利用梁的边界条件 外，还需利用梁的变形连续条件。 §7?3 叠加法 当梁上同时作用几种荷载时，所引起的梁 的位移可采用叠加法计算，即先分别求出每一项荷载单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各荷载同时作用时所引起的位移。 例题7?4 图示简支梁AB ，受均布荷载 和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为EI ，试用叠加法求梁跨中点C 的挠度值和A 、B 截面的转角。 解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图（b ）、(c )所示。 （a ） （b ） （c ） 第八章 组合变形 内容提要 一、组合变形综述 组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。 组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。 二、斜弯曲 斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。 斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。 ▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。 ▲横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为 []max σσ≤ (8-1) ▲圆截面梁，不会产生斜弯曲，且圆截面对任一形心轴的弯曲截面系数均为3 32 d W π= (d 为圆截面的直径)。于是 max M M W σ? =? ?=? ? (8-2) 式中，y M 、z M 分别为绕y 、z 轴的弯矩，M 为总弯矩，M 的矢量方向为中性轴，max σ发生在图中的a 和b 点处。 三、拉伸(压缩)与弯曲 Ⅰ、构件发生拉伸(压缩)与弯曲组合变形时，分别计算其中拉伸(压缩)与弯曲时的应力，并将其叠加就得到组合变形的应力。 II 、构件受偏心拉伸(压缩)荷载作用时，将偏心力向横截面的形心简化，得到一轴向荷载以及绕横截面的形心主轴弯曲的弯矩y M 和z M 。偏心拉伸(压缩)仍然是拉伸(压缩)与弯曲的组合变形问题。 1、横截面具有外棱角(例如工字形、矩形等)时，危险点在横截面的外角点处，该点处于单向应力状态，只需计算出最大正应力，便可建立强度条件。 第七章 弯 曲 变 形 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 挠度、转角、挠曲线、挠曲线近似微分方程、直接积分法、叠加法。 1.2 挠度和转角 梁弯曲变形后，梁轴线将弯曲成一条光滑而连续的曲线，称为挠曲线。以梁在变形前的轴线为x 轴，y 轴向上为正。梁的挠曲线为xy 平面内的一条平面曲线。 梁的弯曲变形用两个基本量来度量： 1 挠度：横截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，用w 表示；向上的挠度为正，反之为负。 2 转角：横截面变形后绕中性轴转过的角度，用θ表示。逆时针转动为正，顺时针转动为负。挠度和转角之间有如下关系： () dw x dx θ= 可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程()w f x =。 1.3 挠曲线近似微分方程 梁弯曲时，曲率和弯矩的关系为 1() ()() M x x EI x ρ=，式中)(x EI 为梁的抗弯刚度。在小变形的情况下，挠曲线近似微分方程为 22() d w M x dx EI = 1.4 梁变形的求解 1 直接积分法 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程 ()() ()dw x M x x dx C dx EI θ= =+? （a ） 再积分一次，得挠度方程 () ()M x w x dxdx Cx D EI =++?? （b ） 其中C 、D 为积分常数，可利用梁的边界条件和挠曲线连续条件确定。 2 叠加法 在小变形和弹性范围内，梁的挠度与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的挠度：即将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各种简单载荷作用下的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。 1.5 梁的刚度条件 梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将变形限制在一定范围内，即满足刚度条件 max max [] [] w w θθ≤≤ 式中的[]w 和][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。 1.6 简单超静定梁 由于多余约束的存在，某些梁的约束反力只用静力平衡方程并不能完全确定，这种梁称为超静定梁。求解方法之一为变形比较法，主要有以下步骤： （1）解除多余约束，视此约束反力为未知外力，选取静定基，得到原超静定梁的相当系统； （2）将相当系统的变形与原系统比较，找到变形所应满足的条件，即变形协调方程； （3）由变形协调方程求解未知的约束反力。 多余约束反力解出后，利用平衡方程求解其它约束反力。 1.7 提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面的惯性矩I 、材料的弹性模量E 有关。故提高梁刚度的措施为： （1）改善结构形式，减小弯矩M ； （2）增加支承，减小跨度l ； （3）选用合适的材料，增加弹性模量E ： （4）选择合理的截面形状，提高惯性矩I ，如工字形截面、空心截面等。 2 重点与难点及解析方法 2.1挠曲线近似微分方程 梁弯曲变形后，曲率和弯矩之间的关系EI x M x ) ()(1= ρ是弯曲变形的基本方程，可直接用来解决梁的一些变形问题。 解析方法：梁的挠曲线近似微分方程是建立在以梁左端为原点的右手坐标系上的， 求解梁的弯曲变形时应特别注意。 2.2梁变形的求解 1 直接积分法是求解梁的变形的基本方法。 弯曲变形 1 试问用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和连续性条件。 (a ) 四个 当0=x 时， 0=A y ，0=A θ； 当a x =时， 21C C y y =，21C C θθ=。 (b ) 六个 当a x =时， 021==A A y y ，21A A θθ=； 当b a x +=时， 032==B B y y ， 32B B θθ=。 (c ) 六个 当0=x 时， 0=A y ，0=A θ； 当a x =时， 21B B y y =； 当b a x +=时， 032==C C y y ， 32C C θθ=。 (d ) 二个 当0=x 时，0=A y ， 当l x =时，1 11 12A E qll l y B - =?-= （注：1E 和1A 分别为拉杆的弹性模量和横截面面积） 2 试用积分法求图示外伸梁的A θ、B θ及A y 、D y 。 解： AB 段(2 0l x ≤ ≤)： ()q l x x M y EI 2 1 1-=='' 12 141C q l x y EI +-=' 113112 1 D x C qlx EIy ++-= BC 段(2 32l x l ≤≤)： ()??? ??-+??? ??--==''x l ql x l q x M y EI 234123212 2 22 3 2 23812361C x l ql x l q y EI +?? ? ??--??? ??-=' 223 42232324123241D x l C x l ql x l q EIy +?? ? ??--??? ??-+ ??? ??--= 边界条件： 2 l x =，01=y ：022121 113 =++??? ??-D l C l ql ① 弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如 致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===； (B)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=； (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答：(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3 += （↓） 则截面C 处挠度为： (A)2 e 3 322323??? ??+??? ??l EI M l EI F （↓）； (B)2 3 3223/323??? ??+??? ??l EI Fl l EI F （↓） ； (C)2 e 3 322)3/(323??? ??++??? ??l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F （↓）。 答：(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 7. (a)、(b) 刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x =0, w 1=0, 1w '=0；x =2a ，w 2=0 =2a ， 32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 (a) (b) (c) w ===θw w 第八章 组合变形 判断 拉弯组合 1、“斜弯曲时中性轴一定过截面的形心而且中性轴上的正应力为零。” 2、“当载荷不在梁的主惯性平面内，梁一定产生斜弯曲” 3、“拉弯组合变形时，中性轴一定不过截面的形心” 4、“杆件发生斜弯曲时，杆件变形的总挠度方向一定与中性轴相垂直。” 5、“只要杆件横截面上的轴力为零，则该横截面上的正应力各处 为零” 6、“承受偏心拉伸的杆件，其中性轴仍然通过截面的形心” 7、“拉弯组合变形和偏心拉伸组合变形的中性轴位置都与载荷的大小无关。” 选择 拉弯组合 1、应用叠加原理的前提条件是： 。 A ：线弹性构件； B ：小变形杆件； C ：线弹性、小变形杆件； D ：线弹性、小变形、直杆； 2、矩形截面偏心受压杆件发生 变形。 A ：轴向压缩、平面弯曲 B ：轴向压缩、平面弯曲、扭转 C:轴向压缩、斜弯曲 D ：轴向压缩、斜弯曲、扭转 3、平板上边切h/5 ，在下边对应切去 h/5，平板的强度 。 A ：降低一半； B ：降低不到一半； C ：不变； D ：提高了； 4、AB 杆的A 处靠在光滑的墙上，B 端铰支，在自重作用下发生变形， AB 杆发生 变形。 A ：平面弯曲 B ：斜弯； C ：拉弯组合； D ：压弯组合； 5、简支梁受力如图：梁上 。 A ：AC 段发生弯曲变形、C B 段发生拉弯组合变形 B ：A C 段发生压弯组合变形、CB 段发生弯曲变形 C ：两段只发生弯曲变形 D ：AC 段发生压弯组合、CB 段发生拉弯组合变形 6、图示中铸铁制成的压力机立柱的截面中，最合理的是 。 7、矩形截面悬臂梁在自由端受到力P 的作用，如图。OP 为载荷的作用线，已知I Z 最新10组合变形汇总
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