2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(文)试题(五)及答案

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文数（五）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集R U =，集合{}

10A x

x =+≥，101x B x

x ?+?

=

，则图中阴影部分所表示人集合为

A ．{}

1x x ≥- B ．{}1x x <- C ．{}

11x x -≤≤- D ．﹛1x x <-或1x ≥﹜ 2.已知复数123z i =+，2z a i =+（a R ∈，i 为虚数单位），若1218z z i =+，则a 的值为 A ．

1

2

B ．1

C ．2

D ．4 3.已知函数()f x 的图象关于原点对称，且在区间[]5,2--上单调递减，最小值为5，则()f x 在区间[]

2,5上

A ．单调递增，最大值为5

B ．单调递减，最小值为5-

C ．单调递减，最大值为5-

D ．单调递减，最小值为5

4.已知直线231x +=与x ，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，与直线0x y +=交于点C ，若

OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r

（O 为坐标原点），则λ，μ的值分别为

A ．2λ=，1μ=-

B ．4λ=，3μ=- C.2λ=-，3μ= D ．1λ=-，2μ=

5.已知122log 3

a =，22log 3

b =，1

2

32c ??

= ???，3

2d e =，则

A ．d c a b >>>

B ．d b c a >>> C.c d a b >>> D ．a c b d >>>

6.已知0a >，0b >，则点(2P 在直线b

y x a

=的右下方是双曲线22221x y a b -=的离心率e 的取值范围

为

(

)

3,+∞的

A ．充要条件

B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

7.已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥；②存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥；③存在两条平行直线a 、b ，a α?，b β?，//a β，//b α；④存在两条异面直线a 、b ，a α?，b β?，//a β，//b α，则可以推出//αβ的是 A ．①③ B ．②④ C. ①④ D ．②③ 8.已知直线2y =与函数()()tan 0,2f x x πω?ω???

=+><

??

?

图象的相邻两个交点间的距离为6，点()

1,3P 在函数()f x 的图像上，则函数()()12

log g x f x =的单调递减区间为

A ．()()6,26k k k Z ππππ-+∈

B ．(),

63k k k Z ππ

ππ??

-+∈ ??

?

C.()11,63k k k Z ?

?

-

+∈ ???

D ．()()61,26k k k Z -+∈ 9.在如图所求的程序框图中，若输出n 的值为4，则输入的x 的取值范围为

A ．13,84??

???? B ．[]3,13 C.[

)9,33 D ．913,84??

????

10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为

A ．29593714a ππ

?-???? B ．295914a ππ?+-????

C.2959374a ππ

????

? D ．29593714a ππ

?-????

11.甲、乙两人各自在400米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是 A ．

18 B ．1136 C.15

64

D ．14 12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'

f

x ，满足()()'f x f x <，且()1

02

f =

，则不等式

()1

02

x f x e -<的解集为

A ．1,

2??-∞ ??? B ．()0,+∞ C.1,2??+∞ ???

D ．(),0-∞

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知函数()2log ,

2,2,

2,

x x f x x x ≥??=?

+

f f -的值为．

14.已知命题:P x R ?∈，()

22log 0x x a ++>恒成立，命题[

]

0:2,2Q x ?∈-，使得022x

a ≤，若命题P Q ∧为真命题，则实数a 的取值范围为．

15.已知()222210x y a b a b +≤>>表示的区域为1D ，不等式组0,

0,

0,

bx cy bc bx cy bc bx cy bc bx cy bc -+≥??--≤?

?+-≤??++≥?表示的区域为2D ，其中

()2220a b c c =+>，

记1D 与2D 的公共区域为D ，且D 的面积S

为圆22

3

4

x y +=内切于区域D 的边界，则椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率为．

16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为 米.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列{}n a 满足11a =，134n n a a +=+，*

n N ∈.

（1）证明：数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()

3log 22

n n n a b a +=

+，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量x 表示，数据如下表：

（1）求y 关于x 的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；

（2）利用（1）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；

（3）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.

附：回归方程$$y bx

a =+$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()

(

)

1

2

1

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=-∑∑$，$$a y bx

=-$. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，PD ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=o

，

2PD a =，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.

（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；

（2）若//PD 平面EAC ，三棱锥P EAD -的体积为183a 的值. 20. 已知动圆C 恒过点1,02??

???

，且与直线12x =-相切.

（1）求圆心C 的轨迹方程；

（2）若过点()3,0P 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，直线OA ，OB （O 为坐标原点）分别交直线3x =-于点M ，N ，证明：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值. 21. 已知函数()()3

2

2316f x x a x ax =-++，a R ∈.

（1）若对于任意的()0,x ∈+∞，()()6ln f x f x x +-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，设函数()f x 在区间[]

1,2上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，记

()()()h a M a m a =-，求()h a 的最小值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy

中，已知直线11,2:22

x t l y ?

=--??

??=+??（t 为参数），曲线12cos ,:22sin x C y ??=+??=-?（?为参数），

以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC ?的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；

（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=

k ≤成立.

试卷答案

一、选择题

1-5:BCCCA 6-10:ACDDA 11、12：CB

二、填空题

13.2log 3 14.5,24??

???

15.12

16.4062.5 三、解答题

17.解：（1）由134n n a a +=+， 得()1232n n a a ++=+， 即

12

32

n n a a ++=+，且123a +=,

所以数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列.

所以12333n n n a -+=?=，

故数列{}n a 的通项公式为()

*32n n a n N --∈.

（2）由（1）知，23n n a +=，

所以3log 333

n n n

n n

b ==. 所以1231231233333n n n

n

T b b b b =++++=

++++L L .① 234111231333333

n n n n n

T +-=+++++L .② ①-②，得2342

11111333333

n n T =

+++++L 13

n n

+=

11

111331113223313

n

n n n n n ++????-?? ???????=

-=--?-，

所以332323044343443

n n n n n n T +=

-=-???. 故数列{}n b 的前n 项和323

443n n

n T +=-?. 18.解：（1）由题得，98889691909296

937

x ++++++=

=.

9.98.69.59.09.19.29.8

9.37

y ++++++=

=.

()()

()()1

98939.99.3n

i

i

i x x y

y =--=-?-+∑

()()()()88938.69.396939.59.3-?-+-?-+ ()()()()91939.09.390939.19.3-?-+-?-+ ()()()()92939.29.396939.89.39.9-?-+-?-=

(

)

()()()2

222

1

989388939693n

i i x x

=-=-+-+-∑

()()()()2

2

2

2

919390939293969382+-+-+-+-=.

所以()() ()

1

2

1

9.9

0.12

82

n

i i

i

n

i

i

x x y y

b

x x

=

=

--

==≈

-

∑

∑

$.

$9.30.1293 1.86

a=-?=-.

所以线性回归方程为$0.12 1.86

y x

=-.

（2）由于0.120

b=>

$.

所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高.

当95

x=时，$0.1295 1.869.5

y=?-≈.

（3）由于95分以下的分数有88，90，91，92，共4个，则从中任选两个的所有情况有()

88,90，()

88,91，()

88,92，()

90,91，()

90,92，()

91,92，共6种.

则这两个人中至少有一个分数在90分以下的情况有()

88,90，()

88,91，()

88,92，共3种.

故选派的这两个人中至少有一人考核分数在90分以下的概率

31

62

P==.

19.解：（1）因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD AC

⊥.

又四边形ABCD为菱形，所以AC BD

⊥，

又PD BD D

=

I，

所以AC⊥平面PBD.

而AC?平面EAC，

所以平面EAC⊥平面PBD.

（2）因为//

PD平面EAC，平面EAC I平面PBD OE

=.

所以//

PD OE.又O为AC与BD的交点，

所以O是BD的中点，所以E是PB的中点.

因为四边形ABCD是菱形，且60

BAD

∠=o，

所以取AD的中点H，连接BH，

可知BH AD

⊥，又因为PD⊥平面ABCD，

所以PD BH ⊥. 又PD PD D =I ， 所以BH ⊥平面PAD . 由于AB a =

，所以BH =

. 因此E 到平面PAD

的距离112224

d BH a a =

=?=，

所以3

1112332P EAD E PAD PAD V V S d a a --?==

?=???==解得6a =，故a 的值为6. 20.解：（1）由题意得，点C 与点1,02??

???

的距离始终等于点C 到直线12x =-的距离.

因此由抛物线的定义，可知圆心C 的轨迹为以1,02??

???

为焦点，12x =-为准线的抛物线.

所以

1

22

p =，即1p =. 所以圆心C 的轨迹方程为2

2y x =. （2）由圆心C 的轨迹方程为2

2y x =，

可设()

2112,2A t t ，()

2

222,2B t t ，()120t t ≠，

则()21323,2PA t t =-u u u r ，()22223,2PB t t =-u u u r ，

由A ，P ，B 三点花线，可知()()

2212232322320t t t t -?--?=，

即()()()()2

2

122231122312123223230230230t t t t t t t t t t t t t t t t --+=?-+-=?+-=.

因为12t t ≠，所以123

2

t t =-

. 又依题得，直线OA 的方程为1

1y x t =

. 令3x =-，得133,M t ??--

???

. 同理可知133,N t ??

-- ??

?.

因此以MN 为直径的圆的方程可设为()()1233330x x y y t t ????

++++

+= ???????

.

化简得()2

2

121233930x y y t t t t ??+++++=

???

，

即()()2

122

1212

3930t t x y y t t t t ++++

+=. 将1232

t t =-

代入上式，可知()()2

2123260x y t t y ++-+-=， 在上式中令0y =

，可知13x =-

，23x =-，

因此以MN 为直径的圆被x

轴截得的弦长为1233x x -=-=. 21.解：（1）因为()()()2

616ln f x f x a x x +-=-+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，

所以()2

ln 1x

a x -+≥. 令()2ln x g x x =

，0x >，则()'

2

12ln x g x x

-=. 令()'

0g x =

，则x =

当(x ∈时，()'

0g x >，()g x

在区间(上单调递增；

当)x ∈+∞时，()'0g x <，()g x

在区间

)

+∞上单调递减.

所以(

)max 12g x g e

==

， 所以()112a e -+≥

，即112a e

≤--， 所以实数a 的取值范围为1,12e ?

?-∞--

??

?

. （2）因为()()3

2

2316f x x a x ax =-++， 所以()131f a =-，()24f =. 所以()()()()'

2661661f x x a x a x x a =-++=--.

令()'0f

x =，则1x =或a .

①若5

13

a <≤

， 当()1,x a ∈时，()'

0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；

当(),2x a ∈时，()'

0f

x >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.

又因为()()12f f ≤，

所以()()24M a f -=，()()3

2

3m a f a a a ==-+，

所以()()()()

32324334h a M a m a a a a a =-=--+=-+. 因为()()'

2

36320h a a a a a =-=-<，

所以()h a 在区间51,3

??

???

上单调递减，

所以当51,3a ??∈ ???时，()h a 的最小值为58

327h ??= ???.

②若

5

23

a <<， 当()1,x a ∈时，()'

0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；

当(),2x a ∈时，()'

0f

x >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.

又因为()()12f f >，

所以()()131M a f a =--，()()3

2

3m a f a a a -=-+. 因为()()2

'2363310h a a a a =-+=->，

所以()h a 在区间5,23?? ???

上单调递增. 所以当5,23a ??∈ ???时，()58327

h a h ??>= ???

. ③若2a ≥， 当()1,2x ∈时，()'

0f

x <，()f x 在区间()1,2上单调递减，

所以()()131M a f a ==-，()()24m a f -=. 所以()()()31435h a M a m a a a =-=--=-， 所以()h a 在区间[

)2,+∞上的最小值为()21h =. 综上所述，()h a 的最小值为

827

. 22.解：（1

）将直线11,2:22

x t l y t ?

=--??

??=+??消去参数t ，

20y ++=，

故直线l

20y +=.

将曲线12cos ,:22sin x C y ??

=+??=-?化为普通方程为()()22

124x y -+-=，

即2

2

2410x y x y +--+=，

将2

2

2

x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 可得曲线C 的极坐标方程为2

2cos 4sin 10ρρθρθ--+=.

（2）由（1）可知，圆心()1,2C

到直线20l y ++=的距离为

d =

=

.

则2AB ===（R 为圆C 半径）.

所以11

222

ABC S AB d ?=

?=?=. 故所求ABC ?

面积为ABC ?23.解：（1）由题知，()3,

2,21,

21,3. 1.

x f x x x x -<-??

=+-≤≤??>?

所以()2f x ≥，即32,2x -≥??<-?或212,21x x +≥??-≤≤?或32,1.

x ≥??>?解得1

2x ≥.

故原不等式的解集为1

,2??+∞????

.

（2）因为()21213f x x x x x =+--≤+-+=（当且仅当()()210x x +-≥时取等号）， 所以3k =，因此有3a b c +

+=.

=111333

322222

a b c a b c +++++++≤

++===（当且仅当1a b c ===时取等号）

，

k ≤得证.