不等式的证明-高中数学知识点讲解

不等式的证明

1．不等式的证明

【知识点的知识】

证明不等式的基本方法：

1、比较法：

（1）作差比较法

①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．

②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．

注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与的大小关系．

（2）作商比较法

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①理论依据：，?＞1 ；，?＜1 ；

b＞0 a＞b b＜0 a＜b

②证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论．

2、综合法

（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种

证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．

（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替

前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．

3、分析法

（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．

（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．

注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．

4、放缩法

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（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．

（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．

常用的放缩技巧有：

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