2018-2019学年上海市嘉定区高一上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市嘉定区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．德国数学家希尔伯特说：“谁也不把我们从我们创造的花园中赶走”，赞赏在1871年提出了集合论的某位数学家，请问是下列哪位数学家（ ） A.德.摩根 B.高斯

C.欧拉

D.康托尔

【答案】D

【解析】结合数学史和四位数学家的主攻领域,采用排除法和正面分析法相结合即可得到答案. 【详解】

对于A 选项:数学家德.摩根主要在分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面做出重要贡献,并且逝世日期为:1871年3月18日.故A 排除;

对于B 选项:德国数学家高斯逝世日期为：1855年2月23日.故排除B;

对于C 选项:瑞士数学家欧拉,1707年4月5日——1783年9月18日.故排除C ； 对于D 选项:德国数学家康托尔,1845年3月3日——1918年1月6日;集合论的创始人,并且希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布:”没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来.”D 选项正确. 故选:D 【点睛】

本题主要考查数学史,旨在拓宽学生的知识面和激起学生对数学的兴趣.属于基础题. 2．请问下列集合关系式：（1）0φ∈（2）{}0φ?（3）{}0N ?中，正确的个数是（ ） A.0 B.1

C.2

D.3

【答案】C

【解析】由空集的性质、元素与集合、集合与集合之间的关系即可判断. 【详解】

()1?是不含有任何元素的一个集合,0为一个元素,故()1错误; ()2由于?是任何集合的子集.故()2正确; ()3由于0N ∈ .故{}0N ?,()3正确;

所以正确的个数为2.

故选:C 【点睛】

本题主要考查空集的定义及有关性质：空集是任何集合的子集.属于基础题,易错题. 3．已知函数()y f x =存在反函数()1

y f

x -=，若函数()1+y f x x

=的图象经过点

()1,2则函数()11

y f x x

-=

-的图象经过点（ ）

A.()1,1

B.()1,2

C.()1,0

D.()1,1-

【答案】C

【解析】利用互为反函数的性质即可得出. 【详解】

因为函数()1

+y f x x

=的图象经过()1,2, 所以()211f =+, 解得()11f =, 则函数()1

1

y f x x

-=-

的图象经过点()1,0. 故选:C 【点睛】

本题主要考查互为反函数的两函数的有关性质;利用()y f x =与()1

y f x -=的图象关

于直线y x =对称的特点是求解本题关键;属于中档题.

4．已知函数()f x 的定义域A ，值域是[],B a b =；()g x 定义域C ，值域是[],D c d =，其中实数,,,,a b c d 满足,a b c d <<.

甲：如果任意1x A ∈，存在2x C ∈，使得()()12f x g x =，那么B D ?； 乙：如果存在1x A ∈，存在2x C ∈，使得()()12f x g x =，那么B D =； 丙：如果任意1x A ∈，任意2x C ∈，使得()()12f x g x =，那么B D =； 丁：如果存在1x A ∈，任意2x C ∈，使得()()12f x g x =，那么b d >；

请判断上述四个命题中，假命题的个数是（ ） A.0 B.1

C.2

D.3

【答案】C

【解析】对于甲和丙为真命题，给予正确的推理即可,对于乙和丁为假命题,需要分别举出反例. 【详解】

甲：由题意得,对于所有的()f x 的值都有()g x 的值与之对应,所以有B D ?,故甲为真命题;

乙:例如()f x x =,[]1,2A =,则[]1,2B =;()2g x x =,[]0,1C =,则[]0,2D =;存在

122,1x x ==使()()12f x g x =,符合题意,但B D ≠;故乙为假命题.

丙：由题意得, 对于所有的()f x 的值都有()g x 的值与之对应，反过来亦成立,所以有

B D =故丙为真命题；

丁：例如:()f x x =,[]0,4A =则[]0,4B =;()2g x x =,[]1,2C =则[]2,4D =,符合题意,但4b d ==;故丁为假命题; 故选:C 【点睛】

本题考查命题真假的判断与函数中的任意、存在性问题,体现出数学的严密性和抽象性;属于中档题.

二、填空题

5．函数()2

32f x x x =-+的零点之和为_________.

【答案】3

【解析】由函数零点的定义知,求出方程2320x x -+=的两根之和即可. 【详解】

由零点的定义知,()0f x =, 即2320x x -+=

()()120x x ∴--=，

解得11x =,22x =,

所以123x x +=. 故答案为: 3 【点睛】

本题考查函数的零点与一元二次方程根之间的关系.属于基础题 6．设集合(){}

24,log 3A a =+，集合{},B a b =，若{}3A B ?=，则=A B _________.

【答案】{}3,4,5

【解析】利用集合的交、并运算即可求得. 【详解】

由集合(){}

24,log 3A a =+,{}3A B ?=知,

()2log 33a +=， 5a ∴=，

由集合{},B a b =得，

3b =，

{}3,4,5A B ∴?=,

故答案为：{}3,4,5. 【点睛】

本题考查集合的交、并运算.属于基础题.

7．设{}

2

=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果A

B =?，则实数n 的取值范围是

_________. 【答案】1n < 【解析】由A B =?,利用集合交运算,结合数轴，即可求得n 的范围.

【详解】 由题知,

{}12A x x =≤≤

{}B x x n =≤,A B =?, ∴ 作图如下：

由图得,n<1. 故答案为：n<1 【点睛】

本题考查由集合的交运算求参数范围.属于基础题.

8．已知二次函数21y ax ax =++图像永远在横轴上方，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[0,4)

【解析】首先分0a =和0a ≠两种情况进行分类讨论;当0a ≠时,易知21y ax ax =++的图像开口向上,且与x 轴无交点,故由0,0a >?<即可求得a 的取值范围. 【详解】

()1当0a =时,1y =符合题意; ()2当0a ≠时,

由题意可得,

a >??

?

40a a a >??-

, 解得04a <<,

综上知a 的取值范围为04a ≤<. 故答案为：04a ≤<

【点睛】

本题考查了一元二次函数图像与一元二次方程根之间的关系,即一元二次函数图像与x 轴无交点等价于对应的一元二次方程无实根.分两种情况讨论a 的取值是求解本题的关键；0a =易忽略.

9．设函数()2,417,4

x a x f x ax x +≥?=?

-

34f -=，则实数

a =_________.

【答案】-5

【解析】由()f x 的图象与()1

f

x -的图象关于直线y x =对称可得()43f =即可求得

a .

【详解】

()f x 的图象与()1f x -的图象关于直线y x =对称,

∴由()134f -=易知,

()43f =,

()424f a =?+,

5a ∴=-.

故答案为：5- 【点睛】

本题考查了原函数的图象与其反函数的图象关于直线y x =对称.属于中档题.

10．若1

lg lg

2x y -=，则11x y

+的最小值_________. 【答案】

15

【解析】利用基本不等式x y +≥,由xy 为定值求得x y +的最小值，即可求得

11

x y

+的最小值. 【详解】 由1

lg lg

2x y

-=得, 100xy =,0,0x y >>,

x y +≥20x y ∴+≥, ∴

112011005

x y x y xy ++=≥=, 故答案为：

1

5

本题主要考查了基本不等式a b +≥的灵活应用.有关结论如下：

()1

ab 为定值S 时,+a b 有最小值

()2+a b 为定值P 时,ab 有最大值2

4

P ；

11．幂函数()()1

1k f x k x =-?（k 是常数，k Q ∈）在区间[]0,4上的值域为_________. 【答案】[]0,2

【解析】根据幂函数定义求出k,结合幂函数1

2y x =在[]0,4上的单调性即可求得. 【详解】

因为()f x 为幂函数, 所以11k -=, 即2k =,

()12

f x x ∴=,

因为()1

2f x x

=在区间

[]0,4上为增函数,

所以()()max min 2,0f x f x ==, 故答案为:[]0,2 【点睛】

本题考查幂函数的定义及幂函数12

y x =的性质;属于基础题. 12．已知函数()()1

1

x

f x x x =>-，())2

g x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()

(),

G x F x f x g x g x f x =?=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙

认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________. 【答案】甲

【解析】由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论.

()()1

1

x

f x x

x

=>

-

,(

))2

g x x

=≥,

()()1

1

x

f x x

x

∴=>

-

,

(

))2

1

x

F x x

x

∴==≥

-

,

()

()

()

G x

g x

f x

=,

(

)

)2

1

G x

x

x

x

∴=≥

-

,

解得(

))2

G x x

=≥,

所以()(

))2

F x

G x x

==≥.

故答案为:甲

【点睛】

本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;

13．写出命题“若1

x=-且1

y=-，则2

x y

+=-”的逆否命题：_________.

【答案】”若2

x y

+≠-,则1

x≠-或1

y≠-”

【解析】命题”若1

x=-且1

y=-,则2

x y

+=-”的逆否命题是把它的条件的否定作为结论,结论的否定作为条件组成的一个命题,由此规则书写出它的逆否命题即可.

【详解】

命题为”若1

x=-且1

y=-,则2

x y

+=-”,

∴”若1

x=-且1

y=-,则2

x y

+=-”的逆否命题为”若2

x y

+≠-,则1

x≠-或1

y≠-”

故答案为:”若2

x y

+≠-,则1

x≠-或1

y≠-”.

【点睛】

本题考查四种命题间的逆否关系,关键是熟练掌握四种命题的逆否命题的书写规则,其规

则是：把命题的结论的否定作为条件,条件的否定作为结论.本题是基本概念题,较易. 14．已知区间()0,∞+为函数()(),,0b

f x ax a b R b x

=+∈≠的单调递增区间，则,a b 满足的条件是_________. 【答案】0,0a b ≥<.

【解析】由复合函数单调性的判断方法:增函数+增函数=增函数,即可得出,a b 满足的条件. 【详解】 令1y ax =,2b y x

=

, 则由复合函数单调性的判断方法知, 函数12,y y 在()0,∞+上均为增函数;

1

y x

=

在()0,∞+上为减函数, 0,0a b ∴≥<.

故答案为: 0,0a b ≥< 【点睛】

本题考查复合函数单调性的判断方法.属于中档题.具体判断方法如下：

()1增函数+增函数=增函数; ()2增函数-减函数=增函数; ()3减函数+减函数=减函数; ()4减函数-增函数=减函数;

15．若实数a b 、 ()a b ≠ 满足()x a

f x x b

+=-

+的反函数()F x 有对称中心M 则点M 的坐标为_________.

【答案】()1,b --

【解析】根据互为反函数的定义求出()F x 的解析式,设()00,M x y ,由对称中心的性质得到00,x y 的方程即可求得. 【详解】

()11a bx b a

F x b x x

---=

=-+++，

令()00,M x y ,

则对任意121,1x x ≠-≠-, 只要1202x x x +=,

就有()()1202F x F x y +=， 即()()01211211b a y b x x ??

-+=+

?++??

恒成立, 所以()()

()()

()001221211x b a y b x x +-=+++恒成立,

由此可得,

0010,0x y b +=+=，

所以M 坐标为()1,b --. 故答案为:()1,b -- 【点睛】

本题考查由原函数解析式,求其反函数的解析式;利用对称中心的性质得到关于00,x y 方程式求解本题的关键;属于难题.

16．已知函数()12f x x x =++-，()12g x x x =+--，若存在实数n ，使得不等式()()2g x n f x -+≤对于任意x ∈R 的恒成立，则n 的最大值是_________. 【答案】4

【解析】利用分离参数法得到:()()2n f x g x ≤--对于任意x ∈R 恒成立.令

()()()2F x f x g x =--,则问题转化为求函数()F x 在x ∈R 上的最小值,即为n 的最

大值. 【详解】 由题意得,

()()2n f x g x ≤--对于任意x ∈R 恒成立,

令()()()2F x f x g x =--,

则()1+214F x x x x x =+---+-. 当1x ≤-时,

()42F x x =-, ()6F x ∴≥.

当11x -<≤时,

()6F x =.

当12x <≤时,

()82F x x =-, ()46F x ∴≤<.

当24x <≤时,

()4F x =

当4x >时,

()24F x x =-. ()4F x ∴≥.

综上知()min 4F x =.

4n ∴≤.

故答案为:4 【点睛】

本题考查恒成立问题中分离参数法求解参数范围和分段讨论法求绝对值不等式的解集;着重考查学生运算能力和知识的综合运用能力; 属于综合性强,难度大型试题.()x a x b c c -+-≥≤型不等式的解法如下：

()1利用绝对值的几何意义（几何法）;

()2利用分类讨论思想,以“零点”为分界点（分段讨论法）； ()3通过构造函数,利用函数图象得到解集（图像法）；

三、解答题

17．已知两个正数x y ，，证明：这两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平

均数，并指出何时相等. 【答案】见详解

【解析】把语言文字转化为数学表达式:

2

x y

+≥()0,0x y >>,利用分析法进行证明，最后得到一个显然成立的不等式，证明其成立即可. 【详解】

证明:

正数x y ，的算术平均数为

2

x y

+，正数x y ，

∴只需证

2

x y

+≥()0,0x y >>即可,

即证x y +≥ ()1成立,

要证()1,只需证0x y +-≥ ()2 成立即可,

要证()2,只需证

2

0≥ ()3 成立即可,

显然()3是成立的,

当且仅当x y =时()3中的等号成立. 【点睛】

本题考查了算数平均数和几何平均数的概念，利用分析法证明不等式是解答本题的关键;重在考查学生的逻辑推理能力和逆向思维能力;属于发散思维型试题.

18．设a R ∈，函数()221x x a f x +=+.

（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；

（2）若1a ≤且()2

2

a f x +<

对任意x ∈R 均成立，求a 的取值范围. 【答案】()11a =-；(2)a 的取值范围为01a ≤≤.

【解析】(1) 利用奇函数的()00f =求得a 的值,再由奇函数的定义()()f x f x -=-进行检验即可;

(2)先采用分离常数法化简不等式,然后分三种情况，利用分类讨论的思想求解a 的取值

范围,其中当0<1a ≤时要结合恒成立问题中的分离参数法,判断21x

y =+的最小值.

【详解】

(1) 由()f x 的定义域为R,

且()f x 为奇函数, 可得()00f =, 即有

102

a

+=, 解得1a =-.

()21

21

x x

f x -∴=+， ()()21122112

x x

x x

f x f x -----===-++， 则1a =-满足题意. (2)

()2

2

a f x +<

对任意x ∈R 均成立, ∴221

x x a ++ <22a +恒成立,

即为

121x a -+<2

a

恒成立, 化简得2(1)a -<(

)

21x

a +恒成立,

1a ≤,

∴当0a =时,1-<0恒成立;

当0<1a ≤时,2(1)

a a -<21x +, 由21x +>1,得2(1)

a a

-1≤，

解得0<2a ≤,

∴0<1a ≤;

当a <0时,

2(1)

a a

->21x +不恒成立; 综上可得,a 的取值范围为01a ≤≤. 【点睛】

本题主要考查了定义在R 上的奇函数的概念和()00f =,利用分类讨论的思想（做到不重不漏）求解恒成立问题中参数范围是解答本题的关键;同时利用了分离参数法求解参数范围的常用结论：

()()1a f x ≥恒成立()max a f x ?≥（()f x 存在最大值）； ()()2a f x ≤恒成立()min a f x ?≤（()f x 存在最小值）

；

19．已知存在常数0a >，那么函数()a

f x x x

=+

在(

上是减函数，在)

+∞

上是增函数，再由函数的奇偶性可知在(

,-∞上是增函数，在)

??上是减函数.

（1）判断函数()2

2

a

g x x x =+

的单调性，并证明： （2）将前述的函数()f x 和()g x 推广为更为一般形式的函数()h x ，使()f x 和()g x 都是()h x 的特例，研究()h x 的单调性（只须归纳出结论，不必推理证明） 【答案】()1见解析；()2见解析.

【解析】()1采用换元的思想：令2t x =则()a

g t t t

=+

;再借助复合函数单调性的判断规则和奇偶函数在对称区间上的单调性特点,即可得证.

()2由()1结论和题中()a f x x x =+的性质进行归纳总结，即可得出一般性结论. 【详解】

()1判断如下:

()22a g x x x =+在1

40,a ?? ???上为减函数, 在14,a ??

+∞????

上为增函数; 再由函数的奇偶性可知,

在14,a ??-∞- ???

上为减函数, 在14,0a ??

-????

上为增函数. 证明:令2t x =, 则()a

g t t t

=+, 由题可得,

()a

g t t t

=+在(

t ∈上为减函数,

在)

t ∈+∞上是增函数;

2

t x =在1

40,x a ??∈ ???

上为增函数,

在14,0x a ??∈-????

上为减函数; ∴由复合函数单调性判断规则知:

()2

2a g x x x =+在1

4

0,x a ??∈ ???

上为减函数,

在14,x a ??

∈+∞????

上为增函数;

由题知,

()22

a

g x x x =+

为偶函数, 偶函数在对称区间上单调性相反,

∴()2

2a

g x x x =+在1

4,x a ??∈-∞- ???

上为减函数,

在14

,0x a ??∈-????

上为增函数; ()2一般性结论：

函数()n

n a h x x x =+()*0,a n N >∈在1

20,n

a ?? ???

上为减函数,

在12,n a ??

+∞????

上为增函数; 再由函数的奇偶性可知, 当n 为奇数时,

在12,n a ??-∞- ???

上为增函数, 在12,0n a ??

-????

上为减函数; 当n 为偶数时,

在12,n a ??-∞- ???

上为减函数, 在12,0n a ??

-????

上为增函数; 【点睛】

本题考查对勾函数()a

f x x x

=+

的单调性及复合函数单调性的判断规则（同增异减）;利用奇偶函数在对称区间上的单调性特点对n 的奇偶分情况讨论是求解本题的关键;考查学生的类比归纳能力和逻辑思维能力;属于发散性和探索性试题;

20．2018年8月31日下午，关于修改个人所得税法的决定经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过。2018年10月1日起施行最新起征点和税率。个税起征点提高至每月5000元.设个人月应纳税所得额为x 元，个人月工资收入为A 元，三险金（养老保险、失业保险、医疗保险、住房公积金）及其它各类免税额总计为B 元，则5000x A B =--.设月应纳税额为()f x ，个税的计算方式一般是分级计算求总和 （如图表所示，共分7级）.比如：小陈的应纳税所得额为1 =20000x 元，月应交纳税额为()130003%900010%800020%=2590f x =?+?+?元.

（1）小王的应纳税所得额230000x =元，求()2f x ； （2）小张的应纳税所得额3x 元，若()38010f x =元，求3x ；

（3）当35000x >时，写出()f x 的解析式（请写成分段函数的形式）. 【答案】()14840元()241400元

()3 ()()60903500030%3500055000()12090(55000)35%5500080000208408000045%80000x x f x x x x x ?+-?<≤?

=+-?<≤??+-?>?

【解析】()1由表可得,分级计算求和到第四级即可;

()2通过分别计算35000x =和55000x =时,()f x 的值；判断3x 的范围,然后代入式子计算即可;

()3由()1()2知,计算出80000x =时()f x 的值,即求出临界值，然后改写成分段函数

即可 【详解】

()1由题意得,

()230003%900010%1300020%500025%=4840f x =?+?+?+?元;

()2由表可得,

当35000x =时,

()30003%900010%1300020%1000025%6090f x =?+?+?+?=元;

当55000x =时,

()30003%900010%1300020%1000025%2000030%12090

f x =?+?+?+?+?=元;

∴33500055000x <<，

故()336090(35000)30%8010f x x =+-?=, 解得341400x =元.

()3当80000

x =时,

()30003%900010%1300020%1000025%2000030%2500035%

f x =?+?+?+?+?+?

20840=元.

结合()2知,

()()60903500030%3500055000()12090(55000)35%5500080000208408000045%80000x x f x x x x x ?+-?<≤?

=+-?<≤??+-?>?

.

【点睛】

本题考查利用分段函数解决税收的相关问题,考查学生分析问题、解决问题、把实际问题转化为数学模型的能力及调动和运用知识的能力;属于中档题;

21．已知a R ∈,函数()21log f x a x ??

=+

???

. （1）当5a =时,解不等式()0f x >；

（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ??--+-=??有且仅有一解,求a 的取值范围.

【答案】()1()1,0,4x ?

?

∈-∞-

?+∞ ???

()212a <≤或3a =或4a = 【解析】()1当5a =时,原不等式可化为:21log 50x ??

+>

???

,解得答案. ()2若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ??--+-=??,可化为()()24510a x a x -+--=,对a 进行分类讨论即可得到答案.

【详解】

()1当5a =时,

由21log 50x ??

+>

???

, 得

1

51x

+>, 解得()1,0,4x ?

?∈-∞-?+∞ ??

?.

()2关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ??--+-=??,

可化为()()2

4510a x a x -+--=.

当4a =时,

1x =-，

经检验符合题意; 当3a =时,

121x x ==-，

经检验符合题意; 当3a ≠且4a ≠时,

114

x a =

-, 21x =-,

12x x ≠.

1x 是原方程的解当且仅当

1

1

0a x +>, 即2a >;

2x 是原方程的解当且仅当2

1

0a x +>,

即1a >;

12a ∴<≤

综上知,a 的取值范围为12a <≤或3a =或4a =. 【点睛】

本题考查与对数有关的不等式的求解和利用函数零点存在情况求参数的范围;对方程解的情况分三种情况进行讨论，分别求出符合有且只有一解的a 的取值范围是求解本题的关键;属于综合性强的试题.