高三数学复习资料复习笔记

高中数学复习笔记

（整理于2013-8）

一、 函数图象

1、对称：

y=f （x ）及y=f （-x ）关于y 轴对称，例如：

x a y =及x a y -=（10≠>a a 且）关于y 轴对称

y=f （x ）及y= —f （x ）关于x 轴对称，例如：

2

1x y =及2

1x y -=关于x 轴对称

y=f （x ）及y= —f （-x ）关于原点对称，例如：

2

1

x y =及2

1）（x y --=关于原点对称

y=f （x ）及y=f 1-（x ）关于y=x 对称，例如： y=10x 及y=lgx 关于y=x 对称

y=f （x ）及y= —f 1-（—x ）关于y= —x 对称，如：y=10x 及y= —lg （—x ）关于y= —x 对称

注：偶函数的图象本身就会关于y 轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：

2x y =图象本身就会关于y 轴对称，3x y =的图象本身就会关于原点对称。

y=f （x ）及y=f （a —x ）关于x=2a 对称（2

2a

x a x =-+

） 注：求y=f （x ）关于直线±x ±y ±c=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由x ±y+c=0解出x 、y 再代入y=f （x ）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=0

2、平移：

y=f （x ）→y= f （ωx+φ）先向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位，

再保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的ω

1

倍（若y= f （ωx+φ）

→ y=f （x ）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的ω倍，再将整个图象向右（φ>0）或向左（φ<0）平移|φ|个单位，即及原先顺序相反）

y=f （x ）→y= f ??

?

?????? ?

?+ωφωx 先保持纵坐标不变，

横坐标压缩或伸长为原来的|ω

1|倍，然后再将整个图象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|ω

φ

|个单位，（反之亦然）。

3、必须掌握的几种常见函数的图象

1、 二次函数

y=a 2x +bx+c （a 0≠）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最

值）

2、 指数函数x

a

y =（10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性及底数a 的

关系）

3、 幂函数a

x

y =（10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性及幂指数a 的

关系）

4、 对数函数

y=log a x （10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性及底数a

的关系）

5、 y=x

a

x +

（a 为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间） 6、 三角函数y=sinx 、y=cosx 、y=tanx 、y=cotx （能根据图象判断这些函

数的单调区间）

注：三角中的几个恒等关系

sin 2x+ cos 2x=1 1+tan 2x=sec 2x 1+cot 2x=csc 2x tanx x cot ?=1

利用函数图象解题典例

已知21x x 、分别是方程x +10x =3及x+lgx=3的根，求：21x x +

分析：x +10x =3可化为10x =3—x ，x+lgx=3可化为lgx=3—x ，故此可认为是曲线

y=10x 、y= lgx 及直线y=3—x 的两个交点，而此两个交点关于y=x 对称，故问题迎刃而解。 答案：3

4、函数中的最值问题：

1、 二次函数最值问题

结合对称轴及定义域进行讨论。

典例：设a ∈R ，函数f （x ）=x 2+|x －a |+1，x ∈R ，求f （x ）的最小值． 考查函数最值的求法及分类讨论思想．

【解】（1）当x ≥a 时，f （x ）=x 2+x －a +1=（x +2

1）2－a +4

3

若a ≤－2

1时，则f （x ）在［a ，+∞］上最小值为f （－2

1）=4

3－a

若a >－2

1时，则f （x ）在［a ，+∞）上单调递增

f min =f （a ）=a 2+1

（2）当x ≤a 时，f （x ）=x 2－x +a +1=（x －2

1）2+a +4

3

若a ≤2

1时，则f （x ）在（－∞，]a 单调递减，f min =f （a ）=a 2+1

当a >2

1时，则f （x ）在（－∞，]a 上最小值为f （2

1）=4

3+a

综上所述，当a ≤－2

1时，f （x ）的最小值为4

3－a

当－2

1≤a ≤2

1时，f （x ）的最小值为a 2+1

当a >2

1时，f （x ）的最小值为4

3+a

2、 利用均值不等式

典例：已知x 、y 为正数，且x 2

2

2

y +=1，求x 21y +的最大值

分析：x 2

1y +=）

（2

2

1y x +=2

1222

）（y x +（即设法构造定值x 222

y +=1）

=）（2

122

2y x +2212

2

2

y x ++≤=423故最大值为423 注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos θ，

2

y =sin θ求解，（解略）

3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。

4、 利用函数的单调性

典例：求t 21

32

2++

+t 的最小值（分析：利用函数y=x

x 1+在（1，+∞）的单调性求解，解略）

5、 三角换元法（略）

6、 数形结合

例：已知x 、y 满足x 422=+y ，求6

5

--x y 的最值 5、抽象函数的周期问题

已知函数y=f （x ）满足f （x+1）= —f （x ），求证：f （x ）为周期函数 证明：由已知得f （x ）= —f （x —1），所以f （x+1）= —f （x ）= — （—f （x —1））

= f （x —1）即f （t ）=f （t —2），所以该函数是以2为最小正周期的函数。

解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解 二、圆锥曲线 1、 离心率

圆（离心率e=0）、椭圆（离心率01）。

2、 焦半径

椭圆：PF 1=a+ex 0、PF 2=a-ex 0（左加右减）（其中P 为椭圆上任一点，F 1

为椭圆左焦点、F 2为椭圆右焦点）

注：椭圆焦点到其相应准线的距离为c c

a -2

双曲线：PF 1= |ex 0+a|、PF 2=| ex 0-a|（左加右减）（其中P 为双曲线上任一点，F 1为双曲线左焦点、F 2为双曲线右焦点）

注：双曲线焦点到其相应准线的距离为c

a c 2

-

抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用）

圆锥曲线中的面积公式：（F 1 、F 2为焦点）

设P 为椭圆上一点，21PF F ∠=θ，则三角形F 1PF 2的面积为：b 2

tan 2θ

三角形中利用余弦定理整理即可 注：|PF 1| |PF 2|cos 2

2θ

=b 2为定值

设P 为双曲线上一点，21PF F ∠=θ，则三角形F 1PF 2的面积为：b 2

cot 2θ

注：|PF 1| |PF 2|sin 2

2θ

=b 2为定值

附：三角形面积公式：

S=2

1底?高=2

1absinC=

R abc 4=2

1

r （a+b+c ）=（R 为外接圆半径，r 为内切圆半径）=)())()((为三角形周长的一半l c l b l a l l ---（这就是著名的海伦公式） 三、数列求和

裂项法：若{}n a 是等差数列，公差为d （0≠i a ）则求1

3221++?++=n n n a a b a a b a a b s 时可用裂项法求解，即n s =d

b

（

132211

11111+-+?+-+-n n a a a a a a ）=1

1+n a a bn 求导法： （典例见高三练习册p86例9） 倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）

分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和

求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列

?

??

???n a 1即可 四、向量及直线

向量（a ，b ），（c ，d ）垂直的充要条件是ac+bd=0 向量（a ，b ），（c ，d ）平行的充要条件是ad —bc=0

附：直线A 1x+B 1y+C 1=0及直线A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是A 1 A 2+ B 1 B 2=0

直线A 1x+B 1y+C 1=0及直线A 2x+B 2y+C 2=0平行的充要条件是A 1 B 2 -A 2 B 1=0

向量的夹角公式：

cos θ=|

|||b a b

a

??

注1：直线的“到角”公式：1l 到2l 的角为tan θ=1

21

21k k k k +-；“夹角”公式为tan θ=|

1

21

21k k k k +-|

（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为??

????20π

，之间的角）

注2：异面直线所成角的范围：（0，2

π

] 注3：直线倾斜角范围[0，π） 注4：直线和平面所成的角[0，2

π] 注5：二面角范围：[0，π] 注6：锐角：（0，2

π）

注7：0到2π的角表示（0，2

π] 注8：第一象限角（2k π，2k π+2

π） 附：三角和差化积及积化和差公式简记 S + S = S C S + S = C S C + C = C C C — C = — S S 五、集合

1、集合元素个数的计算

card （A C B ）=card （A ）+ card （B ）+ card （C ）—card （A B ）—card （C B ）—card （C A ）+card （A B C ）（结合图形进行判断可更为迅速） 2、从集合角度来理解充要条件：若A ?B ，则称A 为B 的充分不必要条件，（即小的可推出大的）此时B 为A 的必要不充分条件，若A=B ，则称A 为B 的充要

条件 经纬度

六、二项展开式系数：

C 0n +C 1n +C 2n +…C n n =2n （其中C 0n + C 2n + C 4n +…=21-n ；C 1n +C 3n + C 5n +…=2

1

-n ） 例：求（2+3x ）100展开式中 1、所有项的系数和 2、奇数项系数的和 3、偶数项系数的和

方法：只要令x 为1或—1即可 七、离散型随机变量的期望及方差 E （a ξ+b ）=aE ξ+b ；E （b ）=b D （a ξ+b ）=a 2D ξ；D （b ）=0 D ξ=E ξ2—（E ξ）2 特殊分布的期望及方差

（0、1）

分布：期望：E ξ=p ；方差D ξ=pq

二项分布： 期望E ξ=np ；方差D ξ=npq

注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。 八、圆系、直线系方程

经过某个定点（00y x ，）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k 为参数） 一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b 为参数） 经过圆f （x 、y ）及圆（或直线）g （x 、y ）的交点的圆可视为一圆系，可设为：

f （x 、y ）+λ

g （x 、y ）=0（此方程不能代表g （x 、y ）=0）；或λf （x 、y ）+g （x 、y ）=0（此方程不能代表f （x 、y ）=0）

附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为y ∧

＝bx ＋a ，则b ＝

∑∑=-=--n

i i

n

i i

i x

n x

xy n y

x 1

2

21

—

a ＝-y －

b -

x

九、立体几何（一）

1、欧拉公式：V+F —E=2（只适用于简单多面体） 利用欧拉公式解题的关键是列出V 、F 、E 之间的关系式

棱数E=21

（每个顶点出发的棱数之和）=2

1（每个面的边数之和）（常用） 2、长方体的三度定理

长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和 推论

A 、 若对角线及各棱所成的角为α

、β、γ，则：

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2

B 、 若对角线及各面所成的角为α

、β、γ，则：

cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2 sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1 3、三角形“四心”

重心：三边中线交点 垂心：三边高线交点

内心：角平分线交点（内切圆圆心） 外心：垂直平分线交点（外接圆圆心）

若三角形为正三角形，则以上“四心”合称“中心”

引申：

若三棱锥三个侧面及底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心

若三棱锥三条侧棱及底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心

若三棱锥三条侧棱两两垂直，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心

若该三棱锥为正三棱锥，则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心

4、经度纬度

九、立体几何（二）

一、“共”的问题

1．多点共线：先证其中两点确定一条直线，然后其余点均在该直线上。举例：正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C及平面ABC1D1交于Q，证：B，Q，D1共线。

2．多线共点：先证两直线共点，其余的过该点。举例：三个平面两两相交于三条直线，求证：三条交线共点，或互相平行。

3．多线共面：先找到两条确定一个平面，然后证其它的均在平面内。举例：四条直线两两相交不共点，求证：四条直线共面。

二、“角”的问题

1．异面直线所成角（0°,90°]：采用平移转化法，构造一个含θ的三

角形，由余弦定理求得(请自己补充例子，这个很重要)；

2．直线及平面所成角[0°,90°]：关键是找射影，最后通过垂线、斜线、射影来求所成角。举例：求正四面体的侧棱及底面所成的角。

3．二面角[0°,180°]：关键是作二面角，方法有定义法、作棱的垂面、三垂线定理和公式法(S=cos θ?S ’)。举例：求正四面体的相邻两侧面所成角(arccos(1/3)). 三、“距离”的问题

1．点面距：可通过定义法或等体积法。举例：边长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 点到平面A 1BD 的距离(

a 3

3

)。 2．线面距：转化为点面距。举例：边长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 到平面B 1CD 1的距离(

a 3

3

)。 3．异面直线间距离(一些较特殊的，难度不要太大)，比如求正四面体对棱间的距离(a 2

2

)。举例：边长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 及B 1D 1的距离(

a 3

3

)。 4.球面距： 它是球面上两点间的最短距离，求解的步骤： （1）计算线段AB 的长

（2）计算A 、B 所对的球心角（用弧度角表示） （3）计算球大圆在AB 间的劣弧

举例：设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，沿此纬度圈上A 、B 两地间的劣弧长为

π42R ，求AB 间的球面距。（3

πR ）

注意：1。在求距离过程中，要体现先证角(把所要的角给找出来)，后求角这两个步骤。

2．要灵活把握点面距、线面距、线线距(注意：两异面直线间的距离就等于分别过这两条直线的平行平面间的距离)、面面距间的转化使用。 四、“垂直”的问题

1.平面内证明两直线垂直的方法 a.勾股定理

b.等腰三角形的三线合一

c.直径所对的圆周角

d.垂径定理 e ．直二角的性质

f.棱形、正方形的对角线互相垂直

g.平行直线中一条垂直于第三条直线， 则另一条也及第三条垂直 2.线面垂直的判定

（1）线线垂直->线面垂直： βββ⊥???⊥⊥=k n m n k m k P n m ,,,, （2）线面垂直->线面垂直： ββ⊥?⊥n m n m ,∥

（3）直二面角的性质： βαβαβα⊥?⊥?=⊥m l m m l ,, ， （4）三垂线定理

注意：以上几种方法，实质乃是转化思想，在解题中，要把握它们相互间的转化应用，切不可死记硬背。举例：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC.(例子自己再补充)

3.面面垂直