带余除法
带余除法
教学内容：《浙教版》二上数学P92、93
教材分析：
在学完乘法口诀基础上，我们目前尚未有学习6—9的口诀，本教材结合倍数应用学习6—9的乘法口诀。但由于在一年级下册我们基本上人人过关背诵乘法口诀。学生在机械背诵的基础上能熟练掌握口诀，尝试在此程度上学生是否能将乘法和带余除法的转换结合。本节课安排了两个阶段的学习。第一阶段结合装乒乓球的问题情境，直观展示，揭示余数的意义；第二个阶段通过圈点子的活动，结合动作直观和图像直观，揭示余数比除数小的规律。习题设计：1）通过点子图，沟通乘加算式与带余除数之间的联系。2）计算中探索余数的规律，理解余数与除数间深层次的联系。
教学目标：
1.通过实践操作让学生初步理解带余除法的意义。
2.通过与乘加算式之间的沟通，理解带余除法的商和余数所表示的意义；通过观察初步探
索出带余除法中余数比除数小的规律。
3.引导学生主动参与数学活动，提高学习数学的兴趣，培养探索精神。
教学过程:
一、情境引入
1、有20个乒乓球，如果每5个装一盒，可以装□盒？
（1）能列一个除法算式吗？
20÷5=4
2、如果有20个乒乓球，如果每6个装一盒，最多可以装□盒，还剩□个。
20÷6=
（设计意图：从平均分迁移到不能平均分，怎样计算？通过乒乓球操作直观演示.第一个环节速度加快5分钟左右。）
（1）能列一个除法算式吗？能装几盒呢？
（2）为什么是3呢？到底是几呢？哪位小朋友愿意来装乒乓球？
（3）装了两次后，剩下的8个乒乓球还能再分吗？
（4）为什么会剩下？（不够分）
（5）猜猜还有几个乒乓球？为什么是2呢?
（6）为什么不能将余下的点子圈作一份？
（问题：加深理解2是如何来的，通过演示操作，直观理解。目的让学生们理解剩下8个够的时候是否还需要装？通过猜想唤起全班同学的思考，为什么是2？让学生说出3×6=18,20-18=2，其实就是乘加的一个逆向应用。）
二、揭示余数的意义
1.理解除法算式.
①介绍各部分名称。20÷6=3 (2)
②读一读算式
（1）这里的3,2分别表示什么？
（2）哪个小朋友知道算式怎么读？
（3）咱们看看20÷6=4行吗？不够？圈4次还少？
③如果仍是20个乒乓球，但是每盒装7个，
(1)除法算式怎么列？
(2)可能多出7个吗？8个呢？为什么？为什么会多出6个？
(3)提出猜想：余数隐藏着什么秘密呢？
（问题：设问如果学生说出了除数和余数的关系。师及时跟进，除数和余数是否有关系？它们的关系对吗？带着这个问题我们一起来验证一下吧!）
三、探索余数比除数小的规律
1.初步发现余数和除数的关系。（圈点子）
例题：13个点子，19个点子，……请你选择一幅图。圈一圈，每份一样多，并写出除法算式。
①师示范，理解算式各部分名称表示的意义。
②独立完成
③汇报（通过算式组发现余数与除数的关系）
（1）请你按照每次圈（）个，圈（）次，还余（）个这三句话来汇报。
（2）观察你列的算式组余数和除数，你有什么发现？
（3）余数比除数小吗？接下来我们一起来验证一下。
（设计意图：修改，书P92第2题，4幅图，请你选择任意一幅图圈一圈，开放性思维。汇报呈现的材料丰富多样。更容易发现规律：余数小于除数。问题（1）可以选择贴的形式显示在黑板上。）
2．验证余数比除数小
①呈现第1题，看图直接列算式。
（1）这幅图是什么意思？再看第二幅图请你写算式并圈一圈？验证一下不同的算式余数还比除数小吗？
②对比观察，验证余数比除数小。
计算带余除法，余数必须比除数小。
（1）余数都比商小吗？（举例17÷3=4……5）余下的5个还能再圈吗？
（2）为什么余数比除数小？
3.小结：余数必须比除数小。
4.沟通乘加算式和带余除法之间关系。
（1）能算这个算式19÷6=？
（问题设计：从图到算式的一个转换，为了让孩子们会计算。试商的过程。如果学生不能及时试商，可以通过点子图书P93第1题练习刚好沟通了乘加和带余除法的关系。）
（2）你会了吗？请独立完成第1题。
（问题设计：试商计算的讨论，学生掌握后独立做题，查漏补缺。）
（3）第2幅图列一个乘加算式和带余除法算式，你有什么发现？
（4）引导：乘法算式中每份有3个，在这个算式中做？和做？
（设计意图：在19个点子图基础上，对比沟通两个算式。乘加算式和带余除法算式密不可分。通过19个点子的迁移解决教材课后第一大题。开放性题目：先圈19个点子验证余数比除数小，再次基础上发现乘加算式和带余除法之间关系）
四、巩固提高
1、金老师把10个乒乓球，平均分给4个小朋友，每个小朋友有几个？还剩几个？
（1）只列式，每个小朋友最多有几个？
2、被除数最大是几？□÷8=5……□
（1）要想被除数最大，谁越大越好？
（2）当除数是8时，余数可能是几？
（3）余数最大是几？余数越大，被除数怎样变化？
3、计算，找规律。
（1）说说你找到的规律？
（2）被除数增加1个，结果呢？被除数再增加1个呢？你发现了什么？
（3）为什么不是4……3,3是怎么回事？
五、课堂小结：通过今天的学习，你学会了？
五．聪明题
1.被除数最大是几？□÷8=5……□
2.2×8+3=19改写成带余数的除法算式。□÷□=□……□
3.联欢会上挂彩球，按照红、黄、蓝三种颜色排列，一共挂了13个，你能猜出第13个彩球是什么颜色吗？
（聪明题分层教学，留给学习能力强的孩子做一做）
五年级：带余除法
带余除法 1.两数相除，商为15，余数为11，且被除数、除数、商、余数的和为309， 求被除数？ 2.一个两位数去除251，得到的余数为41，求这个两位数？ 练习：已知被除数比除数多78，被除数除以除数，所得的商为6，余数为3，求被除数？ 3.有一个数列，第一个数是7，第二个数是11，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，求第2009个数除以3的余数是多少？ 4.有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个，则这盒乒乓球至少有多少个？
5.被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数是多少? 练习： （1）一筐苹果，每次4个4个取，6个6个取，9个9个取，最后都是少2个，这筐苹果最少有多少个？ （2）一个自然数能被3、5、7整除，若用11去除这个数，则余1，这个数最小是多少？ 6.有一批书大约300到400本，包装成每包12本，剩下11本；包装成每包18本缺1本；包装成每包15本就有7包每包各多2本。这批书有多少本？ 1.一个整数除以3余2，除以7余2，除以9余5，这个数最小是多少？
3.一个自然数除以5整除，除以6余4，除以8余6，这个数最小是多少？ 练习：某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？（小升初试题一中） 3.某次会议有不到200人参加，分房间住宿时，每5人一间又多3人，吃饭时每9人一桌又少1人，分组讨论时，每7人一组又多6人。求参加会议的人数。 4. 用自然数n去除63、91、129、得到的三个余数之和为25，则n等于几？ 5. 一个整数除以7余1，除以6余2，除以9余5，求适合条件的最小数是多少？
余数性质及同余定理(B级) 1
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
五年级奥数题：带余数除法
带余数除法作业 一、填空题 1．除107后，余数为2的两位数有_____. 2. 27 ( )=( )…… 3. 上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法. 3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____. 4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____. 5. 222……22除以13所得的余数是_____. 2000个 6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次. 7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数. 8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数. 10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____. 二、解答题 11．桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放
汇编除法原理
汇编除法原理 2010-03-24 17:26 多字节二进制除法算法2009-3-27 8:17:00 二进制的除法本质是通过重复减法运算实现 即通过重复”从被除数的高位依次取出每一位, 被取出的数据加上上次的减法结果*2, 然后减去除数”的处理, 求出除法结果 假设:16位除以16位 被除数 R0R1 (占用2字节) 除数 R2R3 (占用2字节) 商 R0R1 (占用2字 节) ******************* 这里需要说明, 此程序执行 结束以后, 商的结果保存在被除数中 ************ 余数 R4R5 (占用2字节) 移位次数 R6 (占用1字节) ******************* 这里需要说明, 其数值根据 被除数的位数定义, 这里为32 ************* 操作流程如下: a) 余数清零 b) 判断除数是否为0, 如果为0, 是错误, 不再往下执行. c) 设定移位次数 d) 被除数左移1位, 溢出的最高位保存在进位标志C中, 再把余数左移1位, 把C(被除数溢出的最高位)放入余数的最低位 e) 余数与除数比较大小(余数减去除数): 余数≧ 除数(减法结果为正)时, 被除数的最低位, 赋值 1 余数 < 除数(减法结果为负时, 恢复到减法前的余数) 被除数的最低位, 赋值 f) 定移位次数递减 g) 直到移位次数为0, 否则重复d) ~ f) 假设32位除以16位 被除数R3R2R1R0 除数R5R4
商也在R3R2R1R0中 计算开始的时候R7R6R3R2R1R0整体左移一位 然后余数R7R6与除数比较如果大于除数则r0最低位置一依次循环32次 其他的多位除法类似但是余数位数和除数位数要一致 ; (r3r2r1r0) / (r5r4), 余数(r7r6) div_4b: mov r7,#0 mov r6,#0 push cnt mov cnt,#32 clr c div_32_loop: mov a,r0 rlc a mov r0,a mov a,r1 rlc a mov r1,a mov a,r2 rlc a mov r2,a mov a,r3 rlc a mov r3,a mov a,r6 rlc a mov r6,a mov a,r7 rlc a mov r7,a clr c mov a,r6 subb a,r4 mov b,a mov a,r7
小学数学竞赛：带余除法(一).学生版解题技巧 培优 易错 难
1. 能够根据除法性质调整余数进行解题 2. 能够利用余数性质进行相应估算 3. 学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 除法公式的应用 【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于 。 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-5-1.带余除法（一）
【巩固】 计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。 【例 3】 除法算式 L L □□=208中，被除数最小等于 。 【例 4】 71427和19的积被7除，余数是几? 【例 5】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数． 【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 【巩固】 在下面的空格中填上适当的数。 3 1247
数论之余数三大定理
第十四章数论之余数三大定理 概念 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完 (2)当0 全商 三大余数定理 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
例题 1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数 之和为2113，则被除数是多少？ 5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1 6.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的 商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。 8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部 分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。
综合除法与余数定理
学科：奥数 教学内容：综合除法与余数定理 【内容综述】 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 【要点讲解】 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得 （此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（） 分析 把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算 （1 ）； （2 ） 解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用 除 ，只需先以 除， 再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以， 所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时 余28，它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除；
小学奥数- 带余除法(一)
5-5-1.带余除法（一） 教学目标 1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算 知识点拨 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 例题精讲 除法公式的应用 【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。 【例2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。【例3】除法算式 □□=208中，被除数最小等于。 【例4】71427和19的积被7除，余数是几? 【例5】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数． 【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 【巩固】在下面的空格中填上适当的数。
余数性质及同余定理(B级)
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架
整除和带余除法
第四编 整除和带余除法
§1 自 然 数
1．1 自然数
① 本编规定 0,1, 2, 3, , 12, 13, 是自然数。
② 自然数最重要的性质是可以比较大小，即两个自然数，或者相等，或者其中 一个小于另一个，或者大于另一个。而且，它们必有其中一个关系。这条性 质称为自然数的有序性质。
③ 自然数有两条重要的原理：
1. 最小自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，则在 这个集合中，一定有一个自然数最小；
2. 最大自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，而且 个数有限，则在这个集合中，一定有一个最大的自然数。
【说明和建议】（1）自然数也可以规定为不包括 0，本编则规定包括零，两者都符 合数学严格的关于自然数的公理化定义。做题时需要注意题目中的自然数是何种规定， 例如：第一届至第八届的“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题中涉及的自然数就规定不 包括 0。（2）③的内容及其有关的例题仅供老师参考。
例1.1 将下列自然数 12、7、10、103 和 3 按从小到大排列成一个新的自然数。 解：这个自然数是 371012103。
例1.2 说明在小明的班级中，一定有一个同学，他的年龄最小。 解：用最小自然数原理。
例 1.3 说明对任意的自然数 m >2，一定有唯一的自然数 k 使
2k m 2k1 。
（1.1）
解：用符号 S 标记具有如下性质的自然数的集合：n 是任意一个自然数，如果 2n m ，
n 就是 S 中的成员；如果 n 是 S 中的一个成员，就一定满足 2n m 。
S 一定至少包含一个自然数，例如：1。而且， S 不会包含无穷多个自然数，否则,
可以将这些自然数按从小到大排列，没有上界，它就有一个成员，例如 j，它不满足 2 j m 。
所以，这个集合满足最大自然数原理的条件，在 S 中一定有一个最大的自然数，把它记
作 k ，则（1.1）成立。否则， k 不是 S 中最大自然数。
1..2 自然数的运算和运算规律
① 在自然数中有两个自然的运算：加法和乘法，它们具有如下性质：对任何自然
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小学数学 带余除法(二).教师版
5-5-2.带余除法（二） 教学目标 1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算 知识点拨 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了． 例题精讲 模块一、带余除法的估算问题 【例1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？ 【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答 【解析】本题采用试除法。823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于【解析】 是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．
有余数的除法的初步认识教案
有余数的除法的初步认识、余数的意义 兰考县谷营乡东张小学潘素霞 教学内容：教科书第60页例1 教学目标： 1、知识与技能：通过分草莓的操作活动，使学生理解余数及有余数的除法的含义，并会用除法算式表示出来，培养学生观察、分析、比较的能力。 2、过程与方法：借助用花瓣摆图形的操作，使学生巩固有余数的除法的含义，并通过观察、比较探索余数和除数的关系，理解余数比除数小的道理。 3、情感态度与价值观：渗透借助直观研究问题的意识和方法，使学生感受数学和生活的密切联系。 教学重点：理解余数及有余数除法的含义，探索并发现余数和除数的关系。 教学难点：找到如何求余数的方法。 教学准备：多媒体课件，花瓣。 教学过程： 一、情景导入 1、观看美丽的花朵，多媒体出示（有3瓣、4瓣、5瓣、6瓣的） 2、请学生用12片花瓣试试拼出自己最喜欢的那种花。看看最多能拼几朵？花瓣是否有剩余？ 3、展示并将拼出的结果分为两类，突出显示有剩余的。总结在
日常生活中平均分物品时也会遇到像这种不够再分，分后有剩余的现象。 二、摆一摆，比较感知 （一）摆一摆，回顾除法意义 把下面这些 每2个摆一盘，摆一摆。 1、读一读，你知道了什么？ 2、摆一摆，说一说你是怎样做了。 3、能把摆的过程用算式表示出来吗？ 6÷2＝3（盘） 问题： 1、这个算式什么意思？ 2、这个意思你还在哪看到了？（沟通算式、文字、摆的过程之间的对应关系。） （二）摆一摆，解决新问题 把下面这些 每2个摆一盘，摆一摆。
1、观察，你发现了什么？ 2、现在你还会摆吗？互相说一说你打算怎样做。 3、这1个草莓怎么不摆了？ 4、能把你的想法用算式表示出来吗？ 6÷2＝3（盘）……1（个） 问题： 1、这个算式什么意思？ 2、这个意思你还在哪看到了？（沟通算式、文字、摆的过程之间的对应关系。） 3、这个算式如何写读作？如果不带单位读作怎么写？ 4、这个算式中的六个小圆点是什么意思？这六个圆点书写的注意事项是什么？ 5、这个算式是哪一种除法呢？为什么？ （三）比一比，初步感知有余数除法的意义 把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。 6÷2＝3（盘）7÷2＝3（盘）……1（个）问题：比较，有什么相同？有什么不同？
DSP除法原理
设累加器为8位,且除法运算为10除以3,除的过程就是除数逐步移位并与被除数比较的过程，在每一步进行减法运算，如果能减则将位插入商中． １，除数的最低有效位对齐被除数的最高有效位． ００００１０１０ －０００１１０００ １１１１００１０ ２．由于减支结果为负，放弃减法结果，将被除数左移一位，再减． ０００１０１００ －０００１１０００ １１１１１１００ ３．结果仍为负，放弃减法结果，被除数左移一位，再减． ００１０１０００ －０００１１０００ ０００１００００ ４，结果为正，将减法结果左移一位后加１，作最后一次减． ００１００００１ －０００１１０００ ００００１００１ ５．结果为正，将结果左移一位加１得最后结果．高４位代表余数４位表示商． ０００１００１１ 即商为００１１＝３，余数为０００１＝１ 以上除法的计算机实现过程，在ＤＳＰ中，我们有专用的用于除法的ＳＵＢＣ指令，当然我们也可以用乘以除数的倒数来计算，在４０位的ＤＳＰ中，有ＳＵＢＣ的理解方法同上，一看就可以明白的，希望这一文章对大家有所帮助的
C54x DSP 定点除法 当|被除数|<|除数|时，将|被除数|存放在累加器的高16位，然后用SUBC完成15次移位相减，相减之后在累加器A的低16位中存放商的绝对值根据运算前被除数和除数的符号是否相同来决定是否要改变所得结果的符号 当|被除数|≥|除数|时，将|被除数|存放在累加器的低16位，然后用SUBC完成16次移位相减，相减之后在累加器A的低16位中存放商的绝对值根据运算前被除数和除数的符号是否相同来决定是否要改变所得结果的符号 从实现的过程分析，当|被除数|<|除数|时，移位相减开始时|被除数|和|除数|的小数点位置正好相差一位第一次相减后在累加器A的O位最低位存进的数值正是商的最高位，该位为商的小数点后第一位在15次移位相减之后，累加器A低16位所得的结果为Q值为15的小数当|被除数|≥|除数|时，在第l6次相减时，|被除数|位于A的高16位(30～15位)上，小数点位在A的15位后，和|除数|的小数点位正好对齐，则此次相减后在A的0位加上的值正好是商的最低有效整数位，相当于十进制数中的个位所以在16次移位相减之后，累加器A低16位所得的结果为Q值为0的整数以此分析，当商的精确值不是整数，或者超出Q 值15所表示的范围时，此算法所得结果就达不到16位数据所能表达的精确度
小学奥数带余除法
小学奥数带余除法
2.6带余除法 2.6.1相关概念 在整数范围内，整数a除以整数b（b≠0），若有a÷b＝q……r，（即a=bq+r），0≤r＜b。当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。 2.6.2余数的性质 ⑴被除数=除数×商＋余数，除数=（被除数－余数）÷商，商=（被除数－余数）÷除数。 ⑵余数小于除数。 2.6.3同余定理 （1）如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。（a、b、c均为正整数）例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。 （2）a与b的和除以c的余数，等于a，b 分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和
再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 （3）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。 性质（2）（3）都可以推广到多个自然数的情形。 2.6.4典型例题 例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。 分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 5122-66=5056， 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 5056=26×79。
小升初数学试卷及答案：数论之带余除法
小升初数学试卷及答案：数论之带余除法 一、求被除数类 1. 同余加余，同差减差 例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少? 解：因为“被5除余3，被3除余3”中余数相同，即都是3(同余)，所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15， 15+3=18， 18÷7=2……4不余6，(不对) 15×2=30 (30+3)÷7=4……5不余6(不对) (15×3+3)÷7=6……6(对) 所以满足条件的最小数是48。 例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少? 解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，[5、3]=15， 15-1=14， 14÷7=2……0不余5(不对) (15×6-1)÷7=12 (5) 所以满足条件的最小数是89。
例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数? 解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。所以131×14+112=1946。 二、求除数类 1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。 例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。问这个数可能是几? 解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以这个数是194。 2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。 例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数? 解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知准确答案为41。 三、求余数类 例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数? 解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以21的余数为12。 例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。问：这个相同的余数是多少? 解：因为 1314-1200=114=3×38，
五年级奥数带余除法(一)教师版
1.五年级奥数带余除法（一）教师版 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了． 除法公式的应用例题精讲 知识点拨 教学目标 5-5-1.带余除法（一）
【例1】某数被13除,商是9,余数是8,则某数等于。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第2题,5分 【解析】125 【答案】125 【例2】一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中,最大的是__________。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第3题 【解析】因为最大的三位数为999,999362727 ÷=,所以满足题意的三位数最大为：?+= 36278980 【答案】980 【巩固】计算口÷△,结果是：商为10,余数为▲。如果▲的值是6,那么△的最小值是_____。【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,复赛,第4题,6分 【解析】根据带余除法的性质,余数必须小于除数,则有△的最小值为7。 【答案】7 【例3】除法算式÷ □□=208中,被除数最小等于。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】希望杯,4年级,初赛,4题 【解析】本题的商和余数已经知道了,若想被除数最小,则需要除数最小即可,除数最小是+=,所以本题答案为：20×（8+1）+8=188. 819 【答案】188 【例4】71427和19的积被7除,余数是几? 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空 【关键词】华杯赛,初赛,第14题 【解析】71427被7除,余数是6,19被7除,余数是5,所以71427×19被7除,余数就是6×5被7除所得的余数2。 【答案】2 【例5】1013除以一个两位数,余数是12．求出符合条件的所有的两位数． 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】解答 【解析】1013121001 =??,那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91,因-=,100171113 为“余数小于除数”,所以舍去11,答案只有13,77,91。 【答案】13,77,91共三个 【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。 【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】解答 【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数； 或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。 本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数 还要满足比37大,符合条件的有39,91. 【答案】39或者97 【巩固】在下面的空格中填上适当的数。
带余除法
带余除法 上教院附小金慧 教学内容：《浙教版》二上数学P92、93 教材分析： 在学完乘法口诀基础上，我们目前尚未有学习6—9的口诀，本教材结合倍数应用学习6—9的乘法口诀。但由于在一年级下册我们基本上人人过关背诵乘法口诀。学生在机械背诵的基础上能熟练掌握口诀，尝试在此程度上学生是否能将乘法和带余除法的转换结合。本节课安排了两个阶段的学习。第一阶段结合装乒乓球的问题情境，直观展示，揭示余数的意义；第二个阶段通过圈点子的活动，结合动作直观和图像直观，揭示余数比除数小的规律。习题设计：1）通过点子图，沟通乘加算式与带余除数之间的联系。2）计算中探索余数的规律，理解余数与除数间深层次的联系。 教学目标： 1.通过实践操作让学生初步理解带余除法的意义。 2.通过与乘加算式之间的沟通，理解带余除法的商和余数所表示的意义；通过观察初步探 索出带余除法中余数比除数小的规律。 3.引导学生主动参与数学活动，提高学习数学的兴趣，培养探索精神。 教学过程: 一、情境引入 1、有20个乒乓球，如果每5个装一盒，可以装□盒？ （1）能列一个除法算式吗？ 20÷5=4 2、如果有20个乒乓球，如果每6个装一盒，最多可以装□盒，还剩□个。 20÷6= （设计意图：从平均分迁移到不能平均分，怎样计算？通过乒乓球操作直观演示.第一个环节速度加快5分钟左右。） （1）能列一个除法算式吗？能装几盒呢？ （2）为什么是3呢？到底是几呢？哪位小朋友愿意来装乒乓球？ （3）装了两次后，剩下的8个乒乓球还能再分吗？ （4）为什么会剩下？（不够分） （5）猜猜还有几个乒乓球？为什么是2呢? （6）为什么不能将余下的点子圈作一份？ （问题：加深理解2是如何来的，通过演示操作，直观理解。目的让学生们理解剩下8个够的时候是否还需要装？通过猜想唤起全班同学的思考，为什么是2？让学生说出3×6=18,20-18=2，其实就是乘加的一个逆向应用。）
有余数的除法单元备课
有余数的除法单元备课 一、教材的地位 “有余数的除法”这部分内容是表内除法知识的延伸和扩展，在教材内容的安排上，一方面注重结合具体的情境，加强有余数的除法意义的认识；另一方面重视联系学生的已有经验和知识，学习有余数除法的计算。有余数的除法要有机地体现与表内除法的联系。“有余数的除法”这部分内容还是今后学习一位数除多位数除法的重要基础，因此这部分的知识具有承上启下的作用，必须切实学好。 二、教学内容 1、有余数的除法的意义和计算。 2、解决问题。 三、教学目标 1、使学生结合具体情景，感知有余数除法的意义。 2、使学生能够比较熟练地口算和笔算有余数除法。 3、使学生初步学会有余数除法解决生活中的简单问题。 四、编排特点 1、在具体生动的情景中感受有余数除法的价值。 2、内容涉及有一定的弹性，留给学生活动和思考的空间。 五、教学建议 1、重视引导学生在具体情境中理解数学知识。 2、加强观察、操作活动。 3、重视培养学生的应用意识和解决问题的能力。 六、如何把握“有余数的除法”这一单元的教学层次？ 本单元的内容从大的方面来说可以分为三个层次：第一层次是借助分实物的过程，学习除法竖式的写法，掌握余数比除数小的原理。 第二层次是脱离实物，计算一个抽象的有余数除法算式。第三层次是利用有余数除法解决实际问题。下面作一具体说明。 第一层次，利用平均分的概念，让学生在分实物的过程中理解什么是有余数除法。重点教学除法竖式的写法，余数是怎样产生的，余数和除数的关系。 1．如果平均分后正好分完，利用已学知识“表内除法”写出横式，再把横式改写成竖式，由于是第一次接触除法竖式，教师需要介绍竖式中各部分的来源与写法。 2．如果平均分后还有多余的，根据分的过程写出有余数除法的横式和竖式，重点掌握余数的含义，即分到不能再分时剩下的数量。 需要明确的一点是，此处横式中的商和余数都是通过“分”得到的，而不是计算出来的，而竖式也只是横式的一种改写，还不涉及到计算的层面。
带余除法教学设计小学数学 教案设计
带余除法教学设计一、游戏活动，体验有余数除法 游戏：每小组的小圆片不同，请平均分给小组成员 要求：一想抽出多少张，二抽猜。三数。四分，五记。六写算式。 1.请同学们拿出10个小圆片。 ①把10个圆片平均分成2份,每份有几个? ②把10个圆片平均分成3份,每份有几个? （1）抽出一些扑克牌，平均分给小组成员。（每人一次）（2）把分牌的过程记录下来。（填表） （3）观察表格，你发现了什么？（小组交流） 2.小组交流汇报。 预设：12÷4；23÷4；13÷4；21÷4；32÷4；31÷4。 分类：（1）按十位上的数的不同进行分类。 （2）另一个分类是除得尽和除法尽。 （3）有余数，与没有余数。 师生活动：板贴算式：13÷4= 12÷4= 21÷4= 23÷4= 31÷4= 32÷4= 3.揭题：今天我们就来研究象这样的除法算式。 二、探索讨论，学习新知 师：我们可以称象B这样的算式是有余数除法。
（这里是否要明确问题：要明确研究的问题是什么？这些算式的结果是多少？有什么规律？（学生已经有有余没有余能够分类。有有余的情况下，商到底是多少呢？这类除法有什么规律？最好是把问题写出来。让二年级的学生明确。 2.自主选择研究方法，选择B中的一道算式，算出结果，充分理解有余数除法的意义。 为什么会有余数？ 学生汇报： 分扑克：31÷4＝7余3。 分棋子：31÷4＝7余3。 分小棒：13÷4＝3份…1根。 23÷4＝6。 21÷4＝5张剩1张。 让学生用其他的方法研究23÷4＝6。 无论我们怎么分，都要分得一样多。 （说前半句，希望学生说出后半句。） 3．正确读出有余除法各部分的名称。 ……余号，余号后的数就是余数 10枚邮票每4张1份，可以分成（）份。用法算式表示为： 10÷（）＝（）（） 4．总结有余数除法的认识： （1）表示平均分，却还有多余部分。 （2）尽可能分完。