不等式的综合应用

§7.4不等式的综合应用

考纲解读

分析解读

通过分析近几年的高考试题可以看出,高考对这一部分的考查是多方面的,不等式与函数、方程、导数、解析几何等知识都可以结合,是高考中的重中之重.不等式的实际应用问题仍是高考命题的一个热点.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.

五年高考

考点不等式的综合应用

1.(2015浙江,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x

A.ax+by+cz

B.az+by+cx

C.ay+bz+cx

D.ay+bx+cz

答案B

2.(2013课标全国Ⅱ,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )

A.(-∞,+∞)

B.(-2,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-1,+∞)

答案D

3.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.

答案-

教师用书专用(4—6)

4.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.

答案

5.(2013浙江,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .

答案-1

6.(2013山东,16,4分)定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:

①若a>0,b>0,则ln+(a b)=bln+a;

②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;

③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;

④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.

其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)

答案①③④

三年模拟

A组2016—2018年模拟·基础题组

考点不等式的综合应用

1.(2016安徽安庆二模,6)已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( )

A.4

B.2

C.8

D.16

答案B

2.(2018四川德阳模拟,15)已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点,且-2a-b=0,则+的最小值是.

答案2-2

3.(2017湖南长郡中学月考)设正项等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 017=4 034,则+的最小值为.

答案 4

4.(2017安徽江淮十校第一次联考,16)对任意实数x均有e2x-(a-3)e x+4-3a>0,则实数a的取值范围为.

答案a≤

5.(2018广西南宁二中月考,18)已知不等式mx2-2x-m+1<0.

(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范围;

(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.

解析(1)当m=0时,1-2x<0,解得x>,则当x>时不等式恒成立,不满足条件.

当m≠0时,设f(x)=mx2-2x-m+1,

由于f(x)<0恒成立,所以

--解得 m∈?.

综上可知,不存在这样的m使不等式恒成立,即m∈?.

(2)由题意得-2≤m≤2,设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),则由题意可得g(m)<0,故有

-

即--

--

解之得-

所以x的取值范围为-.

B组2016—2018年模拟·提升题组

(满分:25分时间:20分钟)

一、选择题(每小题5分,共15分)

1.(2017江西吉安一中期中,12)已知关于x的不等式<

-

在x∈(0,2)上恒成立,则实数k的取值范围为( ) A.[0,e+1) B.[0,2e-1) C.[0,e) D.[0,e-1)

答案D

2.(2017湖北重点高中期中联考,11)已知函数f(x)=x3+sin x,x∈(-1,1),则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的a的取值范围是( )

A.(0,2)

B.(1,)

C.(1,2)

D.(0,)

答案B

3.(2016江西九江七校联考,12)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x∈(0,2]时,f(x)=-∈

∈

当x∈(0,4]时,t2-t≤f(x)恒

成立,则实数t的取值范围是( )

A.[1,2]

B.

C.

D.[2,+∞)

答案C

二、填空题(每小题5分,共10分)

4.(2018河南中原名校11月联考,13)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时, f(x)=x2-2x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.

答案(-3,0)∪(3,+∞)

5.(2016湖南衡阳一模,16)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的导函数为f '(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f '(x)恒成立,则

的最大值为.

答案2-2

C组2016—2018年模拟·方法题组

方法不等式与函数、方程、数列的综合问题

1.(2017河南新乡第一次调研,11)已知函数f(x)=

-

若f(8-m2)

A.(-4,1)

B.(-4,2)

C.(-2,4)

D.(-∞,-4)∪(2,+∞)

答案B

2.(2018天津六校期中,14)定义在R上的运算x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围

是.

答案-

3.(2016福建四地六校第一次联考,16)已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.

答案-∞

4.(2017山西汾阳一中月考)某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万

元,每生产1万件该产品需要投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2017年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;

(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

解析(1)由题意可知当m=0时,x=1,

所以1=3-k,得k=2,所以x=3-.

每件产品的销售价格为1.5×元,

所以y=x×1.5×-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8--m=28--m(m≥0),

所以2017年的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数关系式是y=28--m(m≥0).

(2)由(1)知y=29-(m≥0).

因为+(m+1)≥2=8,

所以y≤29-8=21.

当且仅当=m+1,即m=3时,y取得最大值.

所以当该厂家2017年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大.