第二章方程与不等式知识点

分析解读

方程与不等式在近几年春季高考中归结到代数部分予以考查，既有本章知识的直接考查，也有函数的定义域、集合的运算等其他知识的间接考查，题型以选择题和填空题为主，有时会在大题中分步骤出现，难度中等每年必考，主要考查的内容有以下几个方面．

1．两个方法：配方法，作差比较法；

2．两种工具：区间——表示不等式的解集；不等式的性质——解不等式变形的依据；

3．四种解法：一元二次方程的解法，一元一次不等式(组)的解法，含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法；

4．一个应用：运用不等式的知识解决实际问题；

5．两个思想：数形结合的思想；分类讨论的思想．

思维导图

1．配方法

(1)配方法的主要思想

以_______________为依据，对所给的____________进行恒等变形、化简，得到形如____________的代数式．

配方法是中学数学解决二次问题的一种重要方法，可以作为解二次问题的统一方法．

(2)对二次三项式进行配方的一般步骤

①把ax2＋bx＋c变形为_______________；

②配方为________________________；

③整理成________________________的形式．

2．一元二次方程

(1)一元二次方程的概念

只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是2的______方程叫做一元二次方程．

(2)一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c常数，且a

≠0)，a，b，c依次称为方程的___________，___________，________.

(3)方程的解与解方程

能够使方程左右两边的值相等的________的值，叫做方程的解．求出方程的解或者_________________的过程，叫做解方程．

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法

(1)配方法：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步

骤：

①化二次项系数为________；

②把常数项移项到等号的另一边；

③在等号的两边同加____________________________；

④写成完全平方的形式；

⑤开平方得结果．

(2)求根公式法：求根公式：________________.

其中Δ＝b2－4ac为根的判别式，确定方程解的情况如下：

①Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：x＝_____________；

②Δ＝0时，方程的解有两个相等的实数根：x1＝x2＝____；

③Δ<0时，原方程______________．

(3)分解因式法：①提公因式；②十字相乘(竖分，叉乘，横写)．

4.根与系数的关系(韦达定理)

已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，则x1＋x2＝______，x1x2＝______.

5．实数大小的基本性质

(1)实数大小的性质

①a－b＞0?______；②a－b＜0?______；③a－b＝0?______.

(2)作差比较法：一种常见的比较两个实数(或代数式)大小的方法，一般步骤是

①作差；②变形；③判断(符号)；④得出结论．

6．不等式的基本性质

(1)加法法则

不等式的两边都加上(或减去)同一个数或者整式，不等号的方向不变，用式子表达即为若a＞b，则a＋c______b＋c；

推论：(移项法则)a＋b＞c，则a______c－b.

(2)乘法法则

①不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a＞b，c＞0，则ac______bc；

②不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a＞b，c＜0，则ac______bc.

推论：若a＞0，b＞0，则a＞b?______.

(3)常用的不等式的性质

①反身性：a＞b?______.

②传递性：a＞b，b＞c?______.

③同向加法：a＞b，c＞d?_____________.

④同向乘法：a＞b＞0，c＞d＞0?________.

推论：(乘方法则)a＞b＞0?_______________.

7．一元一次不等式

(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是_______，系数不等于0的_____________________________叫作一元一次不等式．

(2)解一元一次不等式的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.

8．不等式的解集

(1)一元一次不等式的解集

①一元一次不等式最终可化为ax ＞b(a ≠0)的形式，当a ＞0时，不等式的解集为____________；当a<0时，不等式的解集为___________． ②要注意不等式ax ＞b 与一元一次不等式ax ＞b 的区别，对于不等式ax ＞b 的解集要讨论a ＝0的情况．当a ＝0时，若b ＜0，则不等式的解集为______；若b ≥0，则不等式的解集为______．

(2)一元一次不等式组的解集

①含有___________的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

②几个一元一次不等式的解集的________叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．特别地，如果各个不等式的解集的________是空集，那么由它们组成的不等式组的解集就是空集．

(3)一元一次不等式组的解法

若a ＜b ，则不等式组

①?

??x ＞a x ＞b 的解集为____________； ②?

??x ＞a x ＜b 的解集为____________； ③???x ＜a x ＜b

的解集为____________； ④?

??x ＜a x ＞b 的解集为____________． 9．区间

设a ，b ∈R ，且a ＜b ，则

(1)满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作________．

(2)满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作________．

(3)满足a ≤x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作________．

(4)满足a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作________．

(5)①满足x ＜a 的全体实数x 的集合，可记作__________；②满足x ＞a 的全体实数x 的集合，可记作____________；③满足x ≤a 的全体实数x 的集合，可记作____________；④满足x ≥a 的全体实数x 的集合，可记作____________；⑤其中“－∞”和“＋∞”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”，实数集R 可记作____________．

10．实数的绝对值

(1)绝对值的定义：|a|???

(2)实数绝对值的几何意义：|a|的几何意义是数轴上表示实数a 的点

到______的距离．

11．含有绝对值的不等式

(1)最简单的含绝对值的不等式如果m ＞0，则①|x|≤m ?_____________；②|x|≥m ?_____________.

(2)含有绝对值的不等式的解法

①当c ≥0时，|x ＋b|≤c 的解集为_____________________；|x ＋b|＞c 的解集为_____________________；

②当c ＜0时，|x ＋b|≤c 的解集为_____________________；|x ＋b|＞c 的解集为_____________________．

12．一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是_________________________．

(2)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组成的集合，叫作一元二次不等式的解集．

13．一元二次不等式的解法

(1)配方法：首先将一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0

利用配方法化为(x+b 2a )2＞b 2-4ac 4a 2或(x+b 2a )2x ＜b 2-4ac 4a 2

的形式，不妨设a>0(a<0时，可转化成a>0后解决)．

①当Δ=b 2

－4ac>0时，(x+b 2a )2＞b 2-4ac 4a 2等价于________________，即________________________________；

(x+b 2a )2＜b 2-4ac 4a 2

等价于____________________，即____________________________________．

由此可得不等式ax 2＋bx ＋c ＞0解集为不等式ax 2＋bx ＋c ＜0解集为

②当Δ＝b 2－4ac ＞0时，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0解集为__________；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0解集为____ __．

③当Δ＝b2－4ac ＜0时，不等式ax2＋bx ＋c ＞0解集为______．

(2)由函数的图象与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次

方程的根，再根据函数图象与x轴的位置关系确定不等式的解集．

具体过程如下：将一元二次不等式整理成ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx

＋c＜0(a＞0)的形式，设其相应方程的两个根为x1，x2，且x1＜x2，

不妨设a>0(a<0时，可转化成a>0后解决)．

①若Δ＝b2－4ac＞0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是___________；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是____ ___；

②若Δ＝b2－4ac＝0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是___________；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______；

③若Δ＝b2－4ac＜0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是______；不

等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______．

方程与不等式组知识点总结

方程与不等式组知识点总结方程与方程组一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。四、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

讲义-第二章《方程与不等式》

第二章方程与不等式 ★ 2.1 一元二次方程定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数是 2的整式方程。 2 整式单项式：数或字母的乘积，如 4，a, 4a , 3????2 多项式：若干个单项式的和或差如4a+2c, a-5b ' ?? 分式：形如方的式子，且A, B 为整式，B 中有字母。无理式：带有广且广下含有字母的式子 3.解一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a 丰0）的常用方法: （1）配方法：二次项系数化为 1 ?移向（把常数项移到方程右边）？配方（方程的两边各加上一次项系数一半的平方），把方程化成（x+m ） 2=n 的形式？用直接开平方的方法求解。 6. 解题时要理解“且”和“或”的关系，且是取交集，表示都得满足，或是取并集，表示都可以满足。例如：x-3 v 0或x+4W 0的解集是？ 7. 解含有绝对值的不等式的思路：把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式。在解含有绝对值的不等式时，常用数轴来表示其解集。 8. 一元二次不等式（一般形式 ax 2+bx+c > 0或ax 2+bx+c > 0, a * 0）的解法：一元二次不等式经过配方再开方，变成含有绝对值的不等式，最后转化成一元一次不等式（组），从而求出解集。当 m > 0 时，X < m? |x| < m ,即-m < x < m X 2> m? |x| > m 即 x > m 或 x < -m ☆你能分清不等式与不等式组的解集到底取并集还是取交集吗? 1. 2. 衔接：有理式代数式（2）求根公式法：？？= -??±V ??2- 4???? 2 ，— 2 注意条件厶=b-4ac >0时，方程有2个不相等的实数根，△ =b-4ac=0 时，方程有2个相等的实数根，△ 2?? =6-4ac v 0时，方程无实数根。（3）因式分解法或直接开平方法：适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。女口： X 2=9X ， 4 x 2=5 等 4.注意会丢根。 ★ 2.2不等式 1. （复习）任意两个实数 a,b 具有的基本性质： a-b > 0? a > b a-b=0 ? a=b 2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。方法是：把要比较的两个实数（或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解, 直到能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。元二次方程的实数根或者有 2个，或者没有。例如 x 2 =2x ，不能把 x 约去，否则 a-b v 0? a v b a > b? a+c > b+c (或 a-c > b-c ) 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 (2) a > b ，、?? ?? c >0? ac >bc (或??>??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变 ?? ?? (3) a > b , c v 0? ac v bc (或？?v ??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变 4.解一元一次不等式组的解集是求他们各自解的交集！遵循的口诀是: 5.表示不等式的解集常用 2种方法: 集合表示：性质描述区间表示：开区间，闭区间及半开半闭区间大大取较大小小取较小大小交叉中间找大大小小无处找

高中不等式知识点总结

1．不等式的解法（1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解；（2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；（3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。一般地有： |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)?()()()11当时，a f x g x >>； ()()()201当时，<<?（1）当a >1时， g x f x g x ()()()>>?? ???0；（2）当01<在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式