【例4】求满足200
300(1)
3x ->的x 的最小正整数
【解法指导】将左右两边变成指数相同的幂的形式 解：∵200
300(1)
3x ->
∴2100
3100[(1)]
(3)x ->
∴2
(1)27x -> ∵x 为正整数
∴1x ->
1x >
∴x 的最小正整数为7 【变式题组】 01．求满足200300
5n ＜的最大整数值n.
02．如果x 、y 是正整数，且2232x y
?=，求满足条件的整数x 、y
03．求满足2
2
(1)1n n n +--=的整数n.
演练巩固 反馈提高
01．下列运算正确的是（
）
A ．3
4
12x x ?=
B ．6
2
3
(6)(2)3x x x -÷-=
C ．23a a a -=-
D ．23
6
(2)6x x -=-
02．下列各式计算正确的是（
）
A ．2
3
5
23a a a +=
B ．23
5
(2)6b b = C ．2
(3)()3xy xy xy ÷= D ．56
236x x x ?=
03．当n 为正整数时，221
()
n x +-等于（
）
A ．42
n x
+-
B ．41
n x
+-
C ．41
n x +
D ．42
n x
+
04．计算32
2
4
()a a a +?的结果为（
）
A ． 9
2a
B ．6
2a
C ．68
a a +
D ．12
a
05．下列命题中，正确的个数是（
）
（１）m 为正奇数时，一定有等式(4)4m
m
-=- （２）等式(2)2m
m
-=，无论m 为何值时都不成立
（３）三个等式：236326236
()()[))]a a a a a a -=-=--=，
，（（都不成立；
（４）两个等式：3
434(2)2m
m
m
m x y x y -=-，3434(2)2n n n n x y x y -=-都不一定成立.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
06．下列各题中，计算正确的是（
）
A ．32
23
6
6
()()m n m n --=
B ．32
233
1818
[()()]m n m n --=-
C ．2
22
23
98
()()m n mn m n --=- D ．2
3
23
99
()()m n mn m n --=- 07．已知2
2
|2||238|0y
x
x x y x y y x -+-+=?-?，则＝_______________ 08．3
21
25a
a x x x
x +??=，则关于y 的方程ay ＝a ＋14的解是________________
09．在5
5
5
5
1
1(2)(3)()()2
3
----，，，中，最大的数是_________________ 10．一块长方形草坪的长是1
m a
-米，宽是3
m a
+米（m 、n 均为大于1的正整数），则该长方
形草坪的面积是______________2
米. 11．计算
⑴2001100021
()(2)34-?＝_______________ ⑵200120022003113(1)(1)()345
?-?-＝____________________
12．计算 ⑴1
22n n y y y y +?-?
⑵4
3
4
4
()()2()()x x x x x x x -+?-+?---?
⑶42
24
22
3
3
22
()()()()()()x x x x x x x x +-?--?-?-
⑷2
3
22
2
3
()7()()()x y x x y -+?-?-
13．若2
(32)|235|0a b a b ++++=，化简：232223
1()()()a a ax y bxy x y z a
?-?
14．已知n 是正整数，216n
x =，求322211
()()1616
n n x x -的值
15．已知a 、b 、c 为自然数，且227371998a
b
c
??=，求2010
()a b c --的值
培优升级 奥赛检测
01．若1
122
222n n n n x y +--=+=+，，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（
）
A ．x ＝4y
B ．y ＝4x
C ．x ＝12y
D ．y ＝12x
02．化简4322(2)2(2)
n n n ++-得（
）
A ．1
12
8
n +- B ．12n +-
C ．
78
D ．
74
03．化简223
1
424
m m m ++--＝__________________ 04．15
8
25?的位数为_____________________ 05．2001200220033
713??所得积的末位数字是____________________
06．若3436x
y
==，，求29
27x y
x y --+的值
07．是否存在整数a 、b 、c 满足91016()(
)()28
915
a
b c
??=？若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，说明理由.
08．如果整数x 、y 、z 满足10981()()()271615256
x y z ??=
，求()x y
x y z ---的值
09．已知311n m +能被10整除，求证：4
2311n m +++也能被10整除
10．设a 、b 、c 、d 都是非零自然数，且5432
19a b d c a ==-=，c ，，求d b -的值
11．已知k 、x 、y 、z 是整数，且k >x >y >z ，若k 、x 、y 、z 满足方程16(2222)330k
x
y
z
+++=，
求k 的值
八年级上册——幂的运算(培优难题教案)
幂的运算 考点·方法·破译 幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）： 1．m n m n a a a +?= 2．()m n mn a a = 3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a -=≠=≠， 经典·考题·赏析 【例1】下列算式，正确的个数是（ ） ①3412a a a ?= ②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a -- A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【变式题组】 01.计算212()()n n c c +?的结果是( ) A ．42n c + B ．44n c + C ．22n c + D ．34n c + 02．计算100101(2) (2)-+-＝_______________ 03．如果3915()n m a b b a b ?=，则m ＝_________，n ＝____________ 04．计算2323()()()n n x y x y +-?-＝_______________ 【例２】若2n+12 448n +=，求n 的值.
【变式题组】 01．若24m =，216n =，求22m n +的值 02．若35n x =，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值 03．若3m x =，6n x =，则32m n x -＝________. 04．已知33m a =，32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-???的值
05．已知23212 2192m m ++-=，求m 的值 【例３】552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ） A ．a >b >c >d B ．a >b >d >c C ．b >a >c >d D ．a >d >b >c 【变式题组】 01．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．a >c >b C ．a c >a 02．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a 的x 的最小正整数 【变式题组】 01．求满足2003005 n ＜的最大整数值n.
(完整word版)《幂的运算》提高练习题-(培优)
《幂的运算》提高练习题 一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分） 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=(﹣a m)2；（4）a2m=(﹣a2)． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a=a10；③﹣a4?（﹣a）5=a20；④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分） 6、计算：x2?x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2=_________． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n=_________． 三、解答题（共17小题，满分70分） 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值． 9、若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值． 10、已知2x+5y=3，求4x?32y的值． 11、已知25m?2?10n=57?24，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值．
新人教版八年级数学上册培优资料
新人教版八年级数学上册培优资料（中考题 型） 第16讲认识三角形经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围 是______________，周长l的取 值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝ 13，则以a，b，c为边的三角形， 共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全 部用完，能摆出不同形状的三角 形个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为 5818 2 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.
【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长 是( ) A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中 能作为第三条边的是( ) A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10 两部分，则此等腰三角形的腰长 为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________. 【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC ＝16. 【变式题组】 01．如图，已知点D、E、F 分别是BC、AD、BE的中 点，S△ABC＝4，则S△EFC＝ ______________. 02．如图，点D是等腰△ABC底边BC 上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若一腰上的高为4cm，则 DE+DF＝______________. 03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD ＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD， DF⊥AE于F，则DF与AB的数量 关系是______________. 【例４】已知，如图，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ______________. 【解法指导】这是本章的一个基 本图形，其基本方法为构造三角形或 四边形内角和，结合八字形角的关系 (第2题图)
幂的运算培优训练题
幂的运算提高练习题 例题： 例１． 已知3x(x n 5) 3x n1 45，求 x 的值． 例２． 若１＋２＋３＋?＋ n ＝a ，求代数式(x n y )(x n 1y 2)(x n 2y 3) (x 2y n 1)(xy n )的 值． 例３． 已知２ x ＋５ y －３＝０，求 4x ?32y 的值． 例８． 比较下列一组数的大小． 例４． 已知 25m ?2?10n 57 ?24 ，求 m 、n ． 例５． 已知 a x 5,a x y 25,求a x a y 的值． 例６． m 2n 若x n 16,x n 2,求x m n 的值． 例７． 已知 10a 3,10b 5,10c 7, 试把１０５写成底数是１０的幂的形式． 81 31 41 ，2741 ，9 61
例９． 如果 a 2 a 0（a 0）, 求 a 2005 a 2004 12的值 例１ ０． 已知 9 n 1 32n 72 ，求 n 的值． n ﹣ 5 n+1 3m ﹣ 2 2 n ﹣ 1 m ﹣ 2 3 3m+2 例 11、计算： a ﹣ （a b ﹣ ） +（a ﹣ b ﹣ ） （﹣b ） 12、若 x=3a n ，y=﹣ ，当 a=2，n=3 时，求 a n x ﹣ ay 13、已知： 2x =4y+1 ，27y =3x ﹣ 1 ，求 x ﹣y 的值． 14、计算：（a ﹣b ） ? （b ﹣ a ） ? （a ﹣b ） ? （b ﹣ a ） 15、若（ a m+1b n+2）（ a 2n ﹣ 1b 2n ）=a 5b 3 ，则求 m+n 的值． 练习： 1、计算（﹣ 2）100+（﹣2）99所得的结果是（ ） A 、﹣299 B 、﹣ 2 C 、299 D 、2 2、当 m 是正整数时，下列等式成立的有（ ） （1）a 2m =（a m ）2；（2）a 2m =（a 2）m ；（3）a 2m =（﹣a m ）2（4）a 2m =（﹣a 2） A 、4 个 B 、3个 C 、2 个 D 、1个 3、下列运算正确的是（ ） 的值．
八年级数学培优练习题及答案大全
八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且
AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。
沪科版七年级数学下册 第8章 8.1幂的运算 综合培优练习(含答案)
8.1幂的运算 （一） 1、算式22222222???可化为（ ） A.42 B.28 C.82 D.162 2、若a m =2，a n =3，则a m +n 的值为（ ） A.5 B.6 C.8 D.9 3、下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是（ ） A.100×102=103 B.1000×1010=103 C.100×103=105 D.100×1000=104 4、12)(3)(4b b b b b =?=?． 5、若2009222x x x x x c b a =???，则=++c b a ． 6、计算： （1）322)()()(x x x x -?-?-? （2）856)()()(y x x y y x -?-?- （3）54m m x x x -?? 7、光的速度是5103?km/s ，太阳系外有一恒星发出的光，需要6年时间才能到达地球，若一年以7103?s 来计算，求这颗恒星和地球间的距离． （二） 1、[]5 4)(a -等于（ ） A. 9a B. 20a C. 9a - D. －20a 2、53可以写成（ ） A. 23)3( B. 32)3( C. 3)3(22? D. 3)3(22+ 3、已知510=a ，则a 100的值是（ ） A.25 B.50 C .250 D. 500
4、直接写出结果：2332)()(y y y ??= ． 5、如果2221682=??n n ，则n 的值为 ． 6、计算： （1）52)(a -- （2）2754)()(m m -?- （3）3242)()()(x x x -+-?- 7、现在要想做一个棱长为40cm 的正方体，但是我们身边只有1m 2的硬纸板，那么到底能不能做成？ （三） 1、化简()2 3x 正确的是（ ） A. 23x B. 29x C. x 6 D. x 9 2、计算9200920021132??? ??-???? ??结果正确的是（ ） A. 1 B. 32 C. 2 3- D. 1- 3、2)()(m m m a a ?不等于（ ） A.m m a )(2+ B.m m a a )(2? C.22m m a + D.m m m a a )()(13-? 4、计算：32)(y x = ；33)102(?-= ． 5、若9638b a x -=，则x = ． 6、计算：（1）[]5 22)(c ab -- （2）32235)2()2(a a a a -++? 7、若3915()2n m m n a b b a b +=，求的值．
初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的 定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A B C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2
幂的运算培优测试卷含答案(供参考)
幂的运算培优测试卷 (时间：90分钟总分：100分) 一、填空题(每空2分，共22分) 1．计算：a2·a3＝_______；2x5·x－2＝_______；－(－3a)2＝_______．2．(ab)4÷(ab)3＝_______． 3．a n－1·(a n＋1)2＝_______． 4．(－3－2)8×(－27)6＝_______． 5．2(x3)2·x3－(3x3)3＋(5x)2·x7＝_______． 6．若3x＋2＝n，则用含n的代数式表示3x为_______． 7．(1)20÷(－1 )－2＝_______． 3 (2)(－2)101＋2×(－2)100＝_______． 8．过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3 120 000 t，把3 120 000用科学记数法表示为_______． 二、选择题(每题2分，共22分) 9．计算(a3)2的结果是( ) A．a6B．a9 C．a5D．a8 10．下列运算正确的是( ) A．a·a2＝a2 B．(ab)3＝ab3 C．(a2)3＝a6 D．a10÷a2＝a5
11．计算4m ·8n 的结果是 ( ) A ．32m ＋n B ．32m －n C ．4m ＋2n D ．22m ＋3n 12．计算(125)－4×513的结果为 ( ) A ．2 B ．125 C ．5 D ． 125 13．下列各式中，正确的是 ( ) A ．(－x 3)3＝－x 27 B ．[(x 2)2]2＝x 6 C ．－(－x 2)6＝x 12 D ．(－x 2)7＝－x 14 14．等式－a n ＝(－a)n (a ≠0)成立的条件是( ) A ．n 是偶数 B ．n 是奇数 C ．n 是正整数 D ．n 是整数 15．a 、b 互为相反数且都不为0，n 为正整数，则下列各组中的两个数一定互为相反数的一组是( ) A ．a n －1与b n －1 B ．a 2n 与b 2n C ．a 2n ＋1与b 2n ＋1 D ．a 2n －1与－b 2n －1 16．已知a ≠0，b ≠0，有以下五个算式： ①a m ．a －m ÷b n ＝b －n ；②a m ÷b m ＝m a b ?? ???；③(a 2b 3)m ＝(a m )2·(bm)3；④(a ＋b)m ＋1－a ·(a ＋b)m ＝b ·(a ＋b)m ；⑤(a m ＋b n )2＝a 2m ＋b 2n ，其中正确的有 ( ) A ．2个 B ．3个
超级资源：(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案(15套)
超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式
变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= = ?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() 对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨：
八年级上数学培优试题及标准答案
八年级上数学培优试题及答案
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第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段 专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表： 在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 完成下表： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第 三边x的长．
状元笔记 【知识要点】 1．三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性． 【温馨提示】 1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种． 2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线． 【方法技巧】 1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边． 2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等． 参考答案: 1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D． 2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21． 3．解：填表如下： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015) 解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015． 4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B． 5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，
八年级数学培优作业
河南省固始县第三中学八年级数学培优作业 （考查内容:整式的乘除与因式分解） 命题人：吴全胜 一、 选择题 1、化简23()a -的结果是（ ） A ．5a - B ．5a C ．6a - D ．6 a 2、下列计算错误的是 ( ) A ．2m + 3n=5mn B ．4 26a a a =÷ C ．632)(x x = D ．32a a a =? 3、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）. A 、2222)1(xy y x x xy -=-； B 、)3)(3(92-+=-x x x ； C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-； D 、c b a x c bx ax ++=++)(. 4、下面是某同学在一次作业中的计算摘录： ①ab b a 523=+； ②n m mn n m 33354-=-； ③5 236)2(4x x x -=-?； ④a b a b a 2)2(423-=-÷； ⑤523)(a a =； ⑥2 3)()(a a a -=-÷- 其中正确的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） （A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x 6、 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A 、4x 2+1 B 、4x 2－4x －1 C 、x 2+xy +y 2 D 、x 2 －4x +4 7、△ABC 的三边长分别a 、b 、c ，且a+2ab ＝c+2bc ，△ABC 是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8、 把（－2）2009＋（－2）2010分解因式的结果是（ ）. A. 22008 B. －2 2008 C. －2 2009 D. 22009 9、一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2 ，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 二、填空题
八年级数学上册培优讲义(人教版)
2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义 第一讲认识三角形 考点·方法·破译 1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为 58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818 2 ＝20，则三边为20， 20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC 的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
幂的运算性质培优训练
幂的运算性质培优训练 一．例题解析 例1、若52 =m ，62=n ，求n m 22+ 例2、已知y x y x x a a a a +==+求,25,5的值． 例3、若 3521221))(b a b a b a n n n m =-++（，则求m ＋n 的值． 例4、已知,710,510,310===c b a 试把105写成底数是10的幂的形式． 例5、已知２x ＋５y －３＝０，求y x 324?的值． 例6、比较大小： （1）4488，5366，6 244 （2）61 413192781，， 例7、已知272＝a 6＝9b ，求2a 2＋2ab 的值．
二、训练题 1、计算：2 332)()(a a -+-＝ ． 2、若2m =5，2n =6，则2 ＝ ． 3、计算：9910022）（）（-+-= 。 4、如果（a n b m+1）3=a 9b 15，则m= ，n= 。 5、当x =－6，y=6－1时，则x 4n+1y 4n+3= 。 6、下列等式中正确的个数是（ ） （1）a 5+a 5=a 10，（2）（－a ）6·（－a ）3·a=a 10，（3）－a 4·（－a ）5=a 20，（4）25+25=26。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、有下列等式：（1）a 2m =（a 2）m ，（2）a 2m =（－a m ）2，（3）a 2m =（a m ）2，（4）a 2m =（－a 2）m 。 其中正确的有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8、计算： （1）（－a －b ）5（a+b ）6 （2）（a －b ）（a+b ）（a －b ）2（b －a ）3（a+b ） （3） [－（－23）3]6+[－（－83）2]3 （4）24422 ()()a a a +? （5）2 33342)(a a a a a +?+? （6） （a －b ）2m －1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1 （7）()()2 22320173232 12y y x x ??--?-?- ???
八年级数学培优讲义下册
第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x
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目录 第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11) 第2讲角平分线的性质与判定(P12----16) 第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24) 第4讲等腰三角形(P25----36) 第5讲等边三角形(P37----42) 第6讲实数(P43----49) 第7讲变量与函数(P50----54) 第8讲一次函数的图象与性质(P55----63) 第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80) 第11讲幂的运算（P81----86) 第12讲整式的乘除((P87----93) 第13讲因式分解及其应用(P94----100) 第14讲分式的概念?性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125) 第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146) 第19讲勾股定理(P147-----157) 第20讲平行四边形(P158-----166) 第21讲菱形矩形(P167-----178) 第22讲正方形(P179-----189) 第23讲梯形(P190-----198) 第24讲数据的分析(P199-----209) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三
B A C D E F 第01讲 全等三角形的性质与判定 考点·方法·破译 1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等； 3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法； 4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典·考题·赏析 【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一 对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. 解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =?? =??=? ∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中 A D AED DEC AB DC =?? =??=? ∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中 BE CE EF EF =?? =? ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等
八年级数学下册培优讲义(人教版)
2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义 第1讲 二次根式的概念及性质 考点·方法·破译 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一 个非负数时， 才有意义． 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式 记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()( )a aa 20 =≥ 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一 个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥() ()20 3. a a a a a a 200==≥-3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 -4 3 --x x
3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=++2009，则x+y= 解题思路：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014 【变式题组】 1、 ，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 1+取值最小，并求出这个最小值 。 4、已知a b 是1 2 a b + +的值 。 5、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 6、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值 . 【例4】若则 ． 【变式题组】 1、若0)1(32 =++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长 为 . 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 【例5】 化简： 的结果为（ ）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 【变式题组】 1、在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1-＝ 5-x x -5a 50 ,50x x -≥??-≥? 5x =2 ()x y =+()2 240a c --=，= +-c b a 21a -+
