小升初数学专项训练

超越自我巩固提高针对训练

查漏补缺

目录

第一讲小升初专项训练计算篇 (2)

第二讲小升初专项训练几何篇（1） (8)

第三讲小升初专项训练几何篇（2） (16)

第四讲小升初专项训练行程篇（1） (23)

第五讲小升初专项训练行程篇（2） (29)

第六讲小升初专项训练找规律篇 (36)

第七讲小升初专项训练工程篇 (43)

第八讲小升初专项训练期中篇 (50)

第九讲小升初专项训练比例百分数篇 (52)

第十讲小升初专项训练数论篇（1） (58)

第十一讲小升初专项训练数论篇（2） (64)

第十二讲小升初专项训练方程篇 (70)

第十三讲小升初专项训练计数方法与原理 (76)

第十四讲小升初专项训练综合练习 (80)

第十五讲小升初专项训练逻辑推理篇 (86)

第十六讲小升初专项训练期末测试 (93)

-1-

-2-

第一讲 小升初专项训练 计算篇

一、小升初考试热点及命题方向

计算是小学数学的基础，近两年的试卷又以考察分数的计算和巧算为明显趋势（分值大体在6分～15分），学员应针对两方面强化练习：一 分数小数的混合计算；二 分数的化简和简便运算；

二、2012年考点预测

2012年的小升初考试将继续考查分数和小数的四则运算，命题的热点在分数的拆分技巧以及换元法的运用，另外还应注意新的题型不断出现．例如通过观察、归纳、总结，找出规律并计算的题型，这类题型为往往用到了等差数列的各类公式，希望同学们熟记。

三、考试常用公式

以下是总结的大家需要了解和掌握的常识，曾经在重要考试中用到过。 1．基本公式：()2

1321+=++n n n

2、()()6

121212

2

2

++=

+++n n n n

[讲解练习]：20193221?++?+?

()()

()

1921192112

2

2

2 ++++++=∴+=+=原式n

n n n a n

3、()

()4

121212

22

3

3

3

+=++=+++n n n n

4、131171001???=?=abc abc abcabc

6006610016131177877=?=???=??如：

[讲解练习]：2007×20062006-2006×20072007=____.

5、()()b a b a b a -+=-2

2

[讲解练习]：82-72+62-52+42-32+22-12

____. 6、

742851.071 = 428571.07

2 = …… （成达杯考过2次，迎春杯考过1次） [讲解练习]：

7

1

化成小数后，小数点后面第2007位上的数字为____。

-3-

7

n

化成小数后，小数点后若干位数字和为1992，问n=____。 7、1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2

8、1211111=? 12321111111=? 112345654321111112

=

[讲解练习]：123456787654321×(1+2+3+4…8+…4+3+2+1)是一个数的平方，则这个数是_____

9、等比数列求和偶尔会考 ()

q

q a s n --=111 为公比为项数，为首项，q n a 1

[讲解练习]：2+22+23……22008=____ 1、代上面公式。

2、建议用“差项求和”的方法：S=2+22+23……22008 2S=22+23……22008+22009 两式相减：S=22009

-2 （提醒学生不能再接着算了！）

[拓展]：2

2008

-2

2007

=2×2

2007

-2

2007

=2

2007

10、111111111912345679=?

[讲解练习]：5555555550501111111115091234567945012345679=?=??=?

【编者注】：更多的知识需要大家活学活用，希望大家在学习过程中要注意总结归纳，不断充实和巩固自己的知识。

1 分数，小数的混合计算

【例1】（★★）（7

185－61511）÷［21514＋（4－215

14）÷1.35］

【来源】北京市第十届“迎春杯”决赛第一题第2题

【例2】（★★★）

)19956.15.019954.01993(22.550

276951922.510939519+??÷+--+ 【来源】第五届“华杯赛”复赛第1题 2 庞大数字的四则运算

【例3】（★★）19+199+1999+……+

9

19999991个=_________。

-4-

【来源】第七届华杯赛复赛第7题

【例4】（★★）11111111112222222222÷3333333334 【来源】第十届《小数报》数学竞赛决赛填空第1题

【例5】（★★★）35255

1855612590921934833344807

÷÷＝＿＿＿＿＿

【来源】北京市第十届“迎春杯”决赛第二题第2题 3

庞大算式的四则运算（拆分和裂项的技巧）

【例6】（★★）420

12020141213612

21

1+++++ 【来源】第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题

【例7】（★★★）

42

13

3011209127657653+

+++++ 【来源】人大附中考试题

【例8】（★★★）

21

156

151051064633312?+

?+?+?+? 【来源】人大附中考试题 4

繁分数的化简

【例9】（★★）已知

18

111

1121

4

x =

++

+ ，那么x=_________. 【来源】2005小学数学奥林匹克预赛A 卷第3题 5 改变运算顺序简化计算

【例10】（★★★）所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。 【来源】第八届《小数报》数学竞赛决赛填空题第2题

【例11】（★★★）分母为1996的所有最简分数之和是_________。 【来源】北京市第二届“迎春杯”初赛第二第6题

-5-

6 观察，找出规律并计算

【例12】（★★★）在下表中，所有数字的和为_______.

1 2 3 …… 50 2 3 4……..51 3 4…………… ………………….. 50 51 52 99

【来源】 2005年我爱数学夏令营活动试题

【例13】如果1=1! 1×2=2! 1×2×3=3!

… …

1×2×3×…×99×100=100! 那么1!+2!+3!+…+100!的个位数字是________· 【来源】 北京市第四届“迎春杯”决赛第二题第8题

7 换元法的运用

【例14】（★★★）

?

?? ??+++???? ??+

+++-??? ??+

++???? ??+

+++199913

1

212000131

2112000131

21199913

1

211

【来源】（我爱数学夏令营活动试题）

8 其他常考题型

【例15】（★★）小刚进行加法珠算练习，用1＋2＋3＋……，当数到某个数时，和是1000。在验算时发现重复加了一个数，这个数是＿＿＿。 【来源】北京市第十一九届“迎春杯”刊赛第22题

【拓展】小明把自己的书页码相加，从1开始加到最后一页，总共为1050，不过他发现他重复加了一页，请问是＿＿＿页。

【例16】（★★★）某学生将3

2.1 乘以一个数a 时，把32.1 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3。则正确结果应该是________。

-6-

【来源】北京市第一届“迎春杯”决赛第一题第9题

【附加题】（★★★）6

43c

b a 、、是三个最简真分数，如果这三个分数的分子都加上

c ，则三个分数的和为6，求这三个真分数。

【来源】第三届“从小爱数学”邀请赛第2题

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）分数，小数的混合计算。参见例1，2 2）庞大数字的四则运算。 参见例3，4，5

3）庞大算式的四则运算。（拆分和裂项的技巧）参见例6，7，8 4）繁分数的化简。参见例9

5）改变运算顺序简化计算。参见例10，11 6）观察，找出规律并计算。参见例12，13 7）换元法的运用。参见例14 8）其他常考题型。参见例15，16

作业题

（注：作业题--例题类型对照表，供参考）

题1—类型1；题2—类型2；题3—类型4；题4—类型6； 题5—类型3 ；题6—类型7；题7—类型8

1、（★★）

)

5246.5(402

3

23153236-??+÷

【来源】北京市第八届“迎春杯”决赛第一题第2题

2、（★★★）221

411713313151)199511286651176

(+

+÷+

【来源】北京市第十一届“迎春杯”刊赛第24题

-7- 3、（★）将右式写成分数

2

1

212121+

+

+

4（★★）有A 、B 两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有25个数。A 组数中前几个是这样排列的1、6、11、16、21、……；B 组数中最后几个是这样排列的……、105、110、115、120、125。那么，A 、B 这两组数中所有数的和是＿＿＿＿＿＿＿。 【来源】第五届《小数报》数学竞赛初赛填空题第1题

5、)1999

11()311)(211(19991)411)(311)(211(41)311)(211(3121121+++++++++++++

【来源】南京市第三“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D 卷第1题

6、（★★★）

??

? ??+???? ??+++-??? ??++???? ??++947458358739207378947458358739126621207378947458358739947458358739126621 7、（★★★）有一串数 、、、、、、、、4

2

41333231222111它的前1996个数的和是多少？ 【来源】北京市第十三届“迎春杯”初赛第三题第2题

名校真题 测试卷1 （计算篇）

时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （06年人大附中考题）

1111(12)(23)(34).....(78)344556910

?+

+?++?+++?+????=________________

2 （06年清华附中考题） 计算：39×148149＋148×86149＋48×74

149

=________________

3 （06年西城实验考题）

-8-

一串分数：12123412345612812

,

,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111

其中的第2000个分数是

____

4 （06年三帆中学考题）

六年三班有40名同学，每人都向希望工程捐了款.其中有一名同学捐了2.80元。但是统计数字时把这个数字搞错了，结果计算出的全班平均每人捐款数比实际平均每人捐款数高了0.63元。统计数字时把这个数字当成了 ____元.

5 (06年首师附中考题)

16

84126384242196

124729348622431??+??+??+????+??+??+??=________________

第二讲 小升初专项训练 几何篇（一）

一、小升初考试热点及命题方向

几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小题）。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。

从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。

二、2012年考点预测

2012年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形面积里的运用．同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理，请老师重点补充沙漏原理的讲解。

1 等积变换在三角形中的运用

首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2×底×高 因此我们有

【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比 【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比

这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能

-9- 发挥巨大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。

【例1】（★★）如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面积=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？

【练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？

【例2】（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？

燕尾定理在三角形中的运用 下面我们再介绍一个非常有用的结论: 【燕尾定理】:

在三角形ABC 中，AD,BE,CF 相交于同一点O,那么S △ABO:S △

ACO=BD:DC

-10-

【例3】（★★★）在△ABC 中

DC

BD =2:1, EC AE =1:3，求OE OB

=?

【例4】（★★★）三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM ，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？

5

平行线定理在三角形中的运用（热点★★★） 下面我们再来看一个重要定理：

平行线的相关定理：（即利用求面积来间接求出线段的比例关系）

同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了．相交线段AD 和AE 被平行线段BC 和DE 所截，得到的三角形ABC 和ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．体现在右图中， 就是AB ：AD=BC ：DE=AC ：CE=三角形ABC 的高：三角形ADE 的高．这种关系称为“相似”

，同学们上了中学将会深入学习．相似三角形对应边的

-11-

比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．

在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下图），往往不易看出相似关系．如（右下图）AB 平行于DE ，有比例式AB ：DE=AC ：CE=BC ：CD ，三角形ABC 与三角形DEC 也是相似三角形．下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式．

【例5】（★★）如图所示，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，△DEF 的面积是4 cm 2，△CED 的面积是6cm 2。问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？

【例6】（★★★）如右图，单位正方形ABCD ，M 为AD 边上的中点，求图中的阴影部分面积。

【例7】（★★★）如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米。 【解】：解：延长EB 到K ，使BK=CD 。

6

利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系

-12-

【例8】（★★）如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米？

【例9】（★★）如下图所示，四边形ABCD 与DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等。

5 差不变原理的运用

【例10】（★★★）左下图所示的

ABCD 的边BC 长10cm ，

直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm ，已知两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2

，求CF 的长。

【例11】（★★★）如图，ABCG 是4×7的长方形，DEFG 是2×10的长方形，那么，三角形BCM 的面积与三角形DCM 的面积之差是多少？

-13-

[拓 展]：如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD 的长度

?

6 其他常考题型

【例12】（★★）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？

【例13】用同样大小的22个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和。

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型： 1）等积变换在三角形中的运用。参见例1，2 2）燕尾定理在三角形中的运用。 参见例3，4 3）平行线定理在三角形中的运用。参见例5，6，7

4）利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系。参见例8，9 5）差不变原理的运用。参见例10，11 6）其他常考题型。参见例12，13

作业题

（注：作业题--例题类型对照表，供参考） 题1，2—类型1；题3，4—类型5；题5，6—类型6；

-14-

1、（★★）如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。

2、（★★）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？

3、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？

4、（★★★）如下图，已知D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且ADG ?的面

积比EFG ?的面积大6平方厘米。?的面积是多少平方厘米

ABC ? A

B

C

D

E

F G

5、（★★）长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？

7、（★★）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。

名校真题 测试卷2 （几何篇一）

时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________

1 （06年清华附中考题）

如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=

13

AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.

2 （06年西城实验考题）

四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5

平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边

-15-

长度是______米.

3 （05年101中学考题）

王师傅热情地招呼，说：这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)南部各需10分钟，16分钟，20钟？

4 （05年三帆中学考题）

右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE 的面积是 平方厘米．

5 (06年北大附中考题)

三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM ，那么三

角形AMN （阴影部分）的面积为多少？

第三讲 小升初专项训练 几何篇（二）

一、小升初考试热点及命题方向

圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。

二、2012年考点预测

2012年的小升初考试如果考察圆与立体几何，不会难度太大，只需掌握我们本讲中所介绍的

-16-

几类基本题型，就可成功在握。考试热点将会出现在诸如水位问题和三维视图问题等题型。

1 与圆和扇形有关的题型

【例1】（★★）如下图，等腰直角三角形ABC 的腰为10厘米；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。

【例2】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

【例3】（★★）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。

【例4】（★★★）如图，ABCD 是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。（取π＝3）

【例5】（★★★）如下图，AB 与CD 是两条垂直的直径，圆O 的半径为15

厘米，

-17-

与立体几何有关的题型

小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。

在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。

2 求不规则立体图形的表面积与体积

【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？

【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）． 求挖洞后木块的表面积和体积．

【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2

厘米的小洞；第

-18-

三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

3 水位问题

【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有

2

1

容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米?2厘米?3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？

4 计数问题

【例11】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？

【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？

-19-

5 三维视图的问题

【例13】现有一个棱长为1cm 的正方体，一个长宽为1cm 高为2cm 的长方体，三个长宽为1cm 高为3cm 的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。 例：

6 其他常考题型

【例14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？

【例15】左下图是一个正方体，四边形APQC 表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC 的四条边。

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）与圆和扇形有关的题型。参见例1，2，3，4，5 2）求不规则立体图形的表面积与体积。参见例6，7，8 3）水位问题。参见例9，10 4）计数问题。参见例11，12 5）三维视图的问题。参见例13