最新大一下学期解析几何考试试卷及答案(西南大学)

一、填空题（共7题，2分/空，共20分）

1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______.

2.已知向量(1,1,1)a →

=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→

→→??c b a )(=__(-2,-1,0)____.

3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66

11___________.

4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__

3

147

___________. 5.曲线C:220

1

x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,

对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.

6.曲线C:220

x y

z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线

C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.

7.椭球面125

492

22=++z y x 的体积是_________________.

二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）

1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里

,,a b c 是3个非零实数.

解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-，

13(0,,)M M b c =-

于是1M ，12M M ，13M M 所确定的平面方程是000

x a

y b z a

c b

c

---=-

即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .

2.已知空间两条直线:1l 0

10x y z +=??+=?,:2

l 010

x y z -=??-=?. (1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是

1

110

x y z +==

-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是

2

110

x y z -==

，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是

1212003

(,,)1106110M M v v =-=0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

(2) 由于12(0,0,2)v v ?=，122v v ?=

1l 和2l 间的距离121212

(,,)

6

32

M M v v d v v =

=

=? (3)公垂线方程是1110000

221100002x y z x y z ?+?

-=????-??=?

??，即

x y x y +=??

-=?。

3.求曲线221

x y

z ?=?=?绕x 轴旋转产生的曲面方面.

解：设1111(,,)M x y z 是母线221x y

z ?=?=?上任意一点,则过1111(,,)M x y z 的纬圆方程是

222222

11110x y z x y z x x ?++=++?

-=?

，（1）

又211121

x y z ?=?=? ，（2） 由（1）（2）消去111,,x y z 得到2222220x y z --+=.

4.已知单叶双曲面22214925

x y z +-=,)0,0,2(P 为腰椭圆上的点,

(1)求经过点P 两条直母线方程及其夹角;

(2)求这两条直母线所在的平面π的方程及平面π与腰椭圆所在平面的夹角.

解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是()(1)253

()(1)253x z

y w u x z y u w ?+=+????-=-??与

()(1)253

()(1)25

3x z

y t v x z y v t ?+=-???

?-=+?? 把点)0,0,2(P 分别代入上面两方程组，求得,w u t v ==代入直母线方程，

得到过点)0,0,2(P 的两条直母线12531253x z y x z y ?+=+????-=-??与1253

125

3x z

y x z y ?+=-????-=+??，即

15106300

15106300x y z x y z -+-=??

+--=?与 15106300

15106300x y z x y z ++-=??

---=?

两直母线的方向向量可分别取1(0,3,5)v =和2(0,3,5)v =-，设两直母线的夹角是θ，则有12128cos 17v v v v θ?-=

=，8

arccos 17

θπ=-. （2）两直母线所在平面π的方程是

2

03

50035

x y z

-=-，即2x =

显然平面π与腰椭圆所在的平面的夹角是0.

四、证明题(共2题,第一题10分,第二题15分,共25分)

1.求证:曲线23

222

()(,,)111t t t r t t t t t t t

→

=++++++在一个球面上,这里的(,)t ∈-∞∞.

证明:设()(,,)r t x y z =，则有222x y z y ++=，即22211

()24x y z +-+=

所以曲线23222

()(,,)111t t t r t t t t t t t →

=++++++在球心为1(0,,0)2,半径为1

2

的球面上。

2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:

(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.

证明: (1) 双曲抛物面的u 族直母线中任一条直母线都平行于平面0=+b

y

a x , v 族直母线中任一条直母线都平行于平面0=-b

y

a x ,

因而结论成立.---------5分

(2)不妨取u 族直母线来证明，任取u 族直母线中两条直母线

1l ：?????=-=+z b y a x u u b y a x )(211①和 2l ：?????=-=+z b y a x u u b y

a x )(222

②

其中21u u ≠.由于①的第一个方程表示的平面平行于②的第一个方程表示的平面,即1l 和2l 在两个平行平面上,因而1l 和2l 不会相交.

又由于直线1l 的方向向量为)2,1,1()1,,()0,1,1(1111ab u a b b u a u b a v --=--?=

直线2l 的方向向量为)2,1,1()1,,()0,1,1(2222ab

u

a b b u a u b a v --=--?=

由于21u u ≠,因此1l 和2l 不会平行,从而证明了双曲抛物面的同族的两

条直母线异面. 呼吸系统

【小气道】临床上将吸气状态下内径<2mm的细支气管称为“小气道”,包括第6级分支以下的细支气管和终末细支气管(内径约0.5mm)。由于小气道管壁无软骨支持、气体流速慢、易阻塞，病变时不易被感觉，是呼吸系统常见的病变部位。

【肺弥散量】肺弥散功能（DL）的测试是检查肺的某种肺泡气通过肺泡毛细血管途径到血液内与血红蛋白结合的能力。一氧化碳（CO）是测定气体弥散功能的理想气体。除大量吸烟者外，正常人血浆内CO含量几乎是零

【呼吸系统疾病患者常见症状】咳嗽、咳痰；肺源性呼吸困难；胸痛；咯血

【痰液颜色等的护理评估】A.慢性咳嗽伴咳痰常见于慢性支气管炎、支气管扩张、肺脓肿和空洞型肺结核等；脓性痰常常是气管、支气管和肺部感染的可靠标志；慢性支气管炎、支气管扩张、肺脓肿等疾病，咳嗽常于清晨或体位变动时加剧，且排痰量较多。B.痰液颜色改变常有重要意义，如肺结核、肺癌、肺梗死出血时，应痰中含血液或血红蛋白而呈红色或红棕色；铁锈色痰见于肺炎球菌肺炎，但由于抗生素广泛使用，目前已经很难见到；红褐色或巧克力色痰考虑阿米巴肺脓肿；粉红色泡沫痰提示急性肺水肿；砖红色胶冻样痰或带血液者常见于克雷伯杆菌肺炎；灰黑色或暗灰色痰常见于各种肺尘埃沉着病或慢性支气管炎；痰有恶臭味常见于厌氧菌感染。

【促进有效排痰的方法】深呼吸和有效咳嗽、吸入疗法（分湿化和雾化治疗法）、胸部叩击、体位引流、机械吸痰

1.胸部叩击：适于久病体弱、长期卧床、排痰无力者。禁用于未经引流的气胸、肋骨骨折、有病理性骨折史、咯血、低血压及肺水肿等病人。每一肺叶叩击1～3min，每分钟120～180次，叩击时发出一种空而深的拍击音则表明手法正确。

2.体位引流：利用重力作用使肺、支气管内分泌物排出体外，又称重力引流。适用于肺脓肿、支气管扩张等有大量痰液排出不畅时。禁用于呼吸衰竭、有明显呼吸困难和发绀者、近1～2周曾有大咯血史、严重心血管疾病或年老体弱不能耐受者。

（1）目的：主要促进脓痰的排出，使病肺处于高位，其引流支气管的开口向下，促使痰液借重力作用，顺体位引流气管咳出，有助于痰液的引流。

（2）原理：将患者安置适当的体位，抬高患侧肺的位置，使引流支气管开口向下，利用重力的作用使呼吸道的分泌物流入大支气管、气管而后随着咳嗽反射排出体外。

（3）步骤

A.引流前准备：

向患者解释体位引流的目的、过程及注意事项。

测量生命体征，听诊肺部，明确病变部位。

B.采取适宜的引流体位：根据病变部位、患者经验、患者耐受程度，采取适当的体位。

原则是抬高患侧肺位置，引流支气管开口向下，有利于潴留的分泌物随重力作用流入大支气管和气管排出。头部外伤、胸部创伤、咯血、严重心血管疾病和病人情况不稳定者，不宜采用头低位进行体位引流。

C.引流时间及观察：根据病情和患者体力，每天1~3次，每次15~20分钟，一般在餐前进行，或餐后1-2h进行。

引流过程中护士或家人协助，注意观察病情，如出现脸色苍白、发绀、心悸、呼吸困难等异常，应立即停止，并采取相应的措施。

D.采取促进痰液引流的措施：痰液粘稠的病人，引流前15分钟遵医嘱给予雾化吸入。可吸入生理盐水，也可加入抗生素、化痰剂、支气管扩张剂，以降低痰液粘度，避免支气管痉挛。