使用变分法的理由
在热力学系使用变分法的理由及结果
摩尔熵分布函数”的导出
摘 要：当热力学体系达到平衡态时，具有“无耗散”（ 即“无熵产”）的特点。本文就依据这一“平衡态原理”（ “熵增原理”）使用了“变分法”进行“泛函分析”；导出了“欧勒方程”的解──“比熵平衡方程”，还给出了“即使在外场中处于密度不均匀的无‘熵产’状态，类似于最大熵状态时，体系仍然保持着均匀的．．．．．．‘比．熵．’分．布”．．
这个新结果。同时，这都因为大胆地在 “热统”领域引进了“间接变分法”的结果，这增强了对体系“熵函数”的探讨能力；最后还作了一些展望。
1．引言
若有一绝热封闭的刚性壁容器，内盛有一摩尔单原子理想气体，在桌面上静置了一百年；试问该容器内不同高度上的气体密度、压力、温度这三个热力学参量沿着高度的分布情况究竟是怎样的？依据经验,假如容器处在无外力场中且保持惯性运动状态, 则容器内气体必将有0=?P ，0=?ρ，0=?T ,这只是经验认识；对此，笔者一直心存余悸，在惯性空间，究竟当热力学体系达到平衡态时，虽然可以肯定体系的熵达到了极大值，但体系的密度、温度、压力是否真的会均匀分布，这决不能满足于主观臆测，必须建立相应的数学模型进严格的
规范的推导求证。
波尔兹曼早就用统计力学的方法推导出，无论体系是否处在外力场中，体系的平衡态都将保持温度均匀分布的状态；所以教科书将温度均匀分布作为物系达到平衡态的标志。
笔者试图另辟蹊径，依据“最大熵原理”借用“（间接）变分法”（破解相应的“欧勒方程”）首先解出惯性空间的热力学平衡态体系的参量分布函数，接着再导出当存在外场（即当g≠0）时，热力学平衡态体系的参量分布函数……
2．对热力学体系尝试“变分法”的理由
其实上面的问题可以归结为，当体系的“熵产生率”等于零或曰热孤立体系的总熵不再增长时（最大熵原理），惯性空间中的热力学体系各点介质的‘比熵’（即某小局域的熵与该小局域所含介质的摩尔数的比值）将保持什么样的关系问题；或曰热力学参量的分布函数将是怎样的？这个问题一直困扰着笔者……久思不得其解；思来想去一筹莫展（无从下手）。经过长期的沉思……笔者突然联想到人们在寻求极限条件下的尝试函数，常常运用“变分法”进行泛函分析……譬如在力学中为了寻求最快捷的下滑轨道方程（函数），使用了“间接变分法”，求解“欧勒方程”；也就是说欲使某一滑块从某一点下滑到另一点需要的时间最短，其路径（轨迹曲线）的方程（函数）是怎样的（即“捷线问题”）？“捷线问题”与本文的问题颇为相似。本文的问题就是指一摩尔理想气体在特定的绝热封闭的刚性容器中经过长期静置，试问其最终死寂（平静）状态时的密度、温度、压
力的分布函数究竟是怎样的？在物体下滑轨道例子中要求其下滑时间最短的那一条轨道，类似地在此热力学死寂态例子中是要求体系的总熵不再增加（熵值最大）的那个状态，而热力学体系的行为必然遭受 “最大熵原理”（熵增原理）的强行支配；这就是本课题使用“变分法”进行泛函分析的逻辑基础。其程序是将体系的总熵（体系各局域的熵的积分）作为“泛函”，接着讨论该泛函的变分问题（密度、温度分布函数作微小的变动，泛函即体系的总熵也随之作微小的变动，其比值的极限趋于零），从而获得 “欧勒方程”。最后从“欧勒方程”（微分方程）解出热力学体系达到无熵增状态（平衡态）时的密度、温度分布函数；这就是运用变分法寻求热力学死寂态参量分布函数的理由和思路（基本思想）
下面就以理想气体为例，本文试从 “间接变分法”中的“欧勒方程”[2]首先解出惯性空间热力学体系达到平衡态时必然服从的热力学平衡条件，最后依据无论有无外场，体系都终将死寂（达到无熵增）状态的“平衡态原理”，进一步导出：在重力场中死寂态的热力学体系的参量分布函数。
2.1 理想气体系统
为了简便，首先考虑静置于匀强力场中的绝热刚性壁柱形封闭容器所盛的n 摩尔理想气体系统，其中封闭容器内的摩尔数n ，可用下式定积分表示
()()0[()] 1h
N z z A d z n ρρ≡=?
()1式中n 为体系所拥有介质的摩尔数,A 为柱形容器的底面积,z 为柱
高方向的变量, ()z ρ为气体数密度沿着高度的分度函数,h 为容器的顶部高度。在这里体系所拥有的内能（对于理想气体系统）即为热能是否一直为定值呢？答案是否定的！因为体系在自发地趋近于无“熵产”（死寂状态 ）的过程中，不免因其密度分布函数的变化而改变体系质心的高度，即改变了体系在外场中的势能，同时由于粘滞性耗散（生热）；故体系的热能在死寂之前并不是守恒的常数；但这并不能阻止 “有限‘源’体系”归宿于死寂状态的进程，因为体系在恒定外场中的势能不可能无休止地改变下去；再加上粘滞性耗散，体系总是要死寂的（即必将终止一切形式的宏观运动），即该体系必将达到无“熵产”的死寂状态；即处在外场中的绝热（刚性壁）封闭的久置着的热力学简单体系也必将达到死寂的状态。用),(T s ρ表示z 高度层的“摩尔熵”。“摩尔熵),(T s ρ”表达式为)(ln ln
s T c R v ≡+-ρ [3]， 其中，R 为气体普适常数，v c 为等容摩尔热容量；所以该体系所拥有
的总熵()[(),]S z T z ρ为
()()()()0[(),], 2h
S z T z z s T A d z ρρρ≡?
2.2“变分问题”——“欧勒方程”
利用密度、温度在位形空间的分布函数()()z T z ρ、的泛函()[(),]S z T z ρ之极值点（或拐点，因为并没有考察欧勒方程的二阶导数如何）来确定“极（值）点（或拐点）”的密度、温度分布规律，也就是寻求由“欧勒方程”所蕴涵的未知函数()()z T z ρ、与自变量参考高度z 的依赖关系。我们必须首先明确泛函()[(),]S z T z ρ就是体系的总
熵。所谓泛函达到极值点（或拐点），就是在该种特定的情境下，体系的总熵()[(),]S z T z ρ随着介质密度分布、温度分布的“自然调整”达到了极点值（或拐点值）；故必须以“无熵产状态”作为“变分问题”的物理基础。同时还应明确体系的总熵()[(),]S z T z ρ是由遍及整个体系所占“区域”（在此为三维欧氏几何空间）的定积分来确定。)2(式为体系的总熵——密度、温度分布函数的泛函，其中)1(式则为“（该）变分问题”的约束条件。
随着体系密度、温度分布函数()()z T z ρ、的“自然调整”——自发地趋向“死寂”态，体系的总熵（即密度的泛函()[(),]S z T z ρ）也将随之而变；当该体系的总熵在特定的情境 [即在第)1(式所示的约束条件下]取得极点值（或拐点值）时；本课题的变分表达式为：
()()[]()[]{})2( 0,0'=-z N s z T z S ρρδ
由其得欧勒方程组为：
()0 30F F T ρ??=????
??=???
这就是简单情形时的“欧勒方程组”的一般表达式。其中F 由“拉格朗日乘子法”()()[]()[]z N s
z T z S ρρ0,- [4]获得0s s F ρρ-≡；这里0s -为待定“乘子”（常数）。
亦即
()()00,0 (4),0s T s s T s T ρρρρρρρ?
???-=??????
?
???-=?????
这就是本课题将要使用的“殴勒方程组”的具体表达式。
值得指出的是，这个“殴勒方程组”似乎没有充分的条件保证其必属于最大熵状态，因为本文只关心绝热封闭的理想气体系统达到定熵状态即“死寂态”时的温度与密度之间的依赖关系；本文并不关心也无法知道更完全没有必要知道：当绝热封闭的理想系统达到死寂状态时体系的总熵究竟是否会达到极大值，也许会停留在 “拐点”；只知道其必然达到定熵的死寂状态，这已完全满足了变分法的要求；因为“间接变分法”中的欧勒方程仅仅明确了其一阶微商等于零，并没有给出其二阶微商究竟如何；所以我们仅仅凭借欧勒方程式无法判定该热力学体系的死寂状态究竟是否属于最大熵状态，但可以断定其死寂状态必然属于 “定熵”状态。
2.3 均熵方程的推导及其讨论
由)4(式亦可得：
()()()()000 50 s s s A s s s B T T ρρρρ??-+=????
???-+=????
解该微分方程组得一组解，
()() 2 1 00?????+== s s s s ρλ
这里有两个解，第()1个解，表明 平衡态体系的“比熵”保持一个常
λ
=
(6)
积。
大家知道当热力学系统的体积作绝热可逆胀缩的过程其总熵S必
?s
=
(8)
这第(7)式亦可称谓“均熵方程
．．．．”；这就是外场中物系必须遵循的一条规律。
3．均熵方程的理论意义
从许多方面可以看出人们已经离不开()7式：1，在推导理想气体中的声学方程时需要第()7式（即绝热可逆方程）[5]；2，在流体热力学中讨论“定熵流动[6]”，也就是假定处处比熵相等；3，《大气科学》的“多元大气”模型中计算出的温度梯度也需要假定在不同的高度大气的比熵相等[7]；4，在讨论多电子电子云中也需要假定电子云
的比熵处处相等[8]。5、利用文中的第()8式再结合静力平衡条件即可
导出《(可压缩)流体力学》中的“流体静力学方程(即比焓加比势能等于常数)”，若结合的是“达兰伯原理”则可导出“可压缩无粘滞流体动力学方程(即比焓加比势能再加比动能等于常数)”……所有这些都表明，人们早就自觉不自觉地利用均熵方程，只不过人们并不知道在客观上“摩尔熵”究竟是否真的趋于均等，只是作为一种“假设”来使用。
可见“均熵方程”的导出对于诸多力学领域都是一种补救，这使诸多力学结论从“假说”上升为严格的理论；否则那些力学结论的推导过程就不敢面对质疑……这也符合人类认识自然的规律，即从不太精辟到接近精辟的过程。
笔者可以运用均熵方程导出,处于外力场的绝热体系内存在着稳
恒的温度梯度, 即0
?T,且不需付出熵流代价。由此笔者可以证明
≠
热力学第零定律、热力学第二定律、热流定律仅适用于等势面上,或者说在地球表面只是近似适用；进而可以解释宇宙为何不会出现热寂,源于引力可导致散发到太空中的热能重新聚集与活跃；重力场是形成和维持地热的首要因素。这将成为热统理论的新鲜血液,因此,本题课具有明显的理论意义！
感谢沈建其的指导
https://www.360docs.net/doc/d37445787.html,/showmembers.php?id=16
参考文献
[1]朗道·栗弗席兹(前苏联) 著杨训恺等译 1964统计物理学(人
民教育出版社)第 90页 ( Landau,L、D、and Lifshitz E、M、,Statistical Physics,Pergamon Press,1958,)
[2] 梁昆淼，《数学物理方法》,北京：人民教育出版社，1978.7。
[3]汪志诚，《热力学·统计物理》（第三版），北京：高等教育出版社，2003.3。第53页，（1.15.4）
[4]梁昆淼，《数学物理方法》,北京：人民教育出版社，1978.7。第510页。
[5]梁昆淼，《数学物理方法》,北京：人民教育出版社，1978.7。第157页，（31.21）式。
[6]邱信立，廉乐明，李力能，《工程热力学》（第三版），北京：中国建筑工业出版社，1992.10。第151页（9-5）式。
[7]赵凯华，罗蔚茵，《热学》，北京：高等教育出版社，1998.2 第1版，第157页（3.43）式。
[8]曹阳，《量子化学引论》，北京：人民教育出版社，1980.1。第231页。（9-66）式。
越南数学家Ngo Bao Chau证明的一个基本引理被《时代》杂志列为2009年度十大科学发现
过去三十年相关领域的数学家一致期望Langlands Program中的一个基本引理会被证明的确是精确的。Ngo Bao Chau一位在法国Université Paris-Sud 和普林斯顿Institute for Advanced Study (IAS) 工作的越南数学家（1972年生于越南河内），证明了这一引理，2009年相关领域的数学家验证了他的证明。这一结果被《时代》杂志列为2009年度十大科学发现的第七项。 The Fundamental Lemma, Solved ?????? In 1979 the Canadian-American mathematician Robert Langlands developed an ambitious and revolutionary theory that connected two branches of mathematics called number theory and group theory. In a dazzling set of conjectures and insights, the theory captured deep symmetries associated with equations that involve whole numbers, laying out what is now known as the Langlands program. Langlands knew that the task of proving the assumptions that underlie his theory would be the work of generations. But he was convinced that one stepping stone that needed confirmation — dubbed the "fundamental lemma" — would be reasonably straightforward. He, his collaborators and his students were able to prove special cases of this fundamental theorem. But proving the general case proved more difficult than Langlands anticipated — so difficult, in fact, that it took 30 years to finally achieve. Over the past few years, Ngo Bao Chau, a Vietnamese mathematician working at Université Paris-Sud and the Institute for Advanced Study (IAS) in Princeton, formulated an ingenious proof of the fundamental lemma. When it was checked this year and confirmed to be correct, mathematicians around the globe breathed a sigh of relief. Mathematicians' work in this area in the last three decades was predicated on the principle that the fundamental lemma was indeed accurate and would one day be proved. "It's as if people were working on the far side of the river waiting for someone to throw this bridge across," says Peter Sarnak, a number theorist at IAS. "And now all of sudden everyone's work on the other side of the river has been proven." ? 《时代》杂志列为2009年度十大科学发现 1.??????? Our Oldest Ancestor, "Ardi" 2.??????? The Human Epigenome, Decoded 3.??????? Gene Therapy Cures Color Blindness 4.??????? A Robot Performs Science 5.??????? Breeding Tuna on Land 6.??????? Water on the Moon 7.??????? The Fundamental Lemma, Solved 8.??????? Teleportation! 9.??????? The Large Hadron Collider, Revived 10. ?A New Planet (or Brown Dwarf?) Discovered
变分原理与变分法
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
零基础数学学高数的方法
零基础数学学高数的方法 零基础数学学高数的方法1、数学基础要打牢 mba数学考试不像高考更不像奥数，要考察某一知识点的延伸，通过研究近几年的真题可以发现，试卷中的大多数题目都是对大纲知识点的直接考察。所以大家一定要把基础打牢，不要盲目追求深度，力争把基础分都拿到。如果连基础分都拿不到，难度分再没搞利索，那就得不偿失了。 那么如何打好数学基础呢?首先要通读教材，整理出大纲要求的知识点，形成知识网络，便于记忆;其次是深究各个知识点，对定义及用法着重分析。最后是对知识点进行融会贯通，通过做习题来巩固。 2、不同阶段，习题量应有所调整 一提起数学，很多人就会想起题海战术，题是需要做，但什么时候做，做多做少都是有讲究的。刚开始复习，基础又不是很好，应该以理论理解为主，先把相关概念弄清楚，可以用少量的习题来辅助理解。习题的选择也要注意，选择一些有针对性的习题来做，真正做到一个题消化一个知识点。 切忌一开始就以做题为主，不但会经常做错，打击信心，还得不到效果，浪费大量的时间。基础打牢之后习题就要多做了。通过做大量的习题来消化和巩固知识点，了解试题考查的维度，熟悉出题规律，另外，还要注意锻炼答题速度。在保证准确性的
基础上，还要提高速度，确实不是一件容易的事，必须通过大量的练习来实现。 3、合理规划复习时间并严格执行有的小伙伴们特别随便......没有一个严格的学习计划，想学了就学点......不想学就就去干别的......甚至学着后面的望着前面的......还有的考生复习之前有一个计划，但一到真正实施就管不住自己了，总是不能保质保量的完成任务。当然，我们也不建议完全脱产学习，但不对自己残忍就是对竞争对手的仁慈，要用对待阶级敌人的态度对待学习任务。 4、心态(老话长谈，但一定要说) 现在大家工作生活上的压力都比较大，每个人在mba复习过程中都会遇到一些困难，情绪上也会出现波动。适当聊聊天喝喝茶散散步是百试不爽的，实在没人聊可以找加油菌，总之要把自己的负面情绪发泄出来。 零基础数学学高数的技巧一、背数学 我曾经有一位学生数学成绩一塌糊涂，甚至都想放弃数学，去参加不要求数学成绩的院校招生。直至一天他想到“背数学”的学习方法，他写到： 这个技巧是：不懂的问题，直接看解答，先背起来再说。如此一来，一题一般只要5分钟便背下来，从量来看，可以追赶得上成绩好的同学。 各位猜猜看看，从开始背数学后，她的成绩变好了吗?结果是，她的成绩进步神速，高中三年级时，数学模拟考试成绩还进入全国排名，并应届考上东京大学医学院。比她小一岁的弟弟采用了
变分原理及变分法
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1 max ；21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分： 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
6.第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验 定律进行推证 2.1 反射定律和折射定律 在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i 等于反射角i '，或i ＝i '。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。 我们已经学过nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。 2.2费马原理 费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P 和Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为： Q P nds =?极值（极小值、极大值或恒值） （2-1） 费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。 几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。 2.3 折射定律的推导 设光线由P 点传播到Q 点， P 和Q 两点分别在折射率为1n 和2n 的均匀媒质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y 平面，选过P 和Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为yz 平面，如果P 和Q 两点的连线与分界
费马原理
费马原理的运用 王瑞林（03010425） （东南大学能源与环境学院，南京 210010） 摘要：本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。 关键词：费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理 The use of Fermat’s principle Wangruilin (The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 ) Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle. key words: Fermat’s principle；Law of ref raction；Optical properties of coni c；Brachistochrone；Principle of least action 我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。 费马原理简介 一、费马定理的表述 关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。”其中光程的定义为光通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。费马原理的数学表述形式为 其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。 费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。”其实就是把光程换成了时间t
初等数论中的几个重要定理 引理 和推论
初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。并定义中和互质的数的个数， 称为欧拉（Euler）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…， 中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。 引理：；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。 分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而 也是与互质的个数，且两两余数不一样，故 （），而（）＝1，故。 证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由 于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系 是一一的，从而，。
，，故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。 设为质数，若是的倍数，则。若不是的倍数，则 由引理及欧拉定理得，，由此即得。 定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。 定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。 分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。 证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为 则好是的一个剩余系去0。 从而对，使得； 若，，则，，故 对于，有。即对于不同的对应于不同的，即 中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或， 或。 除外，别的数可两两配对，积除以余1。故。
变分原理
变分原理 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。 例如：实际上光的传播遵循最小能量原理： 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 一、举一个例子（泛函） 变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。 在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。 Poisson 方程的Neumann 问题 设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题 (N) ??? ? ??? =??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数 这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足 01 ,=+Γ Ω ? g f d x 其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H . 问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数 ΩΩ∈Ω=,1) (/)(1 1i n f ?v v H v R H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R H v /)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v . 定义双线性泛函R V V →?: V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?（ 和线性泛函 V v v v u g fdx v l ∈∈?+→Γ Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上 ,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ -Ω Ω +≤v g v f v l
优化理论课件(变分法与最优控制理论)
优化理论课件（2） 第二部分动态优化：变分法和最优控制理论 变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。 目录 一、什么是动态优化？ (3) （一）动态优化问题的基本要素 (4) （二）泛函及其相关概念 (4) （三）可变终结点 (5) （四）横截条件 (7) （五）目标泛函 (7) 二、变分法 (8) （一）基本问题：固定终结点问题 (8) （1）基本问题及其假定 (8) （2）一阶条件：欧拉方程 (8) （二）推广：多状态变量与高阶导数 (11) （1）多状态变量 (11) （2）高阶导数 (11) （三）可变端点问题 (12) （1）一般性横截条件 (12) （2）垂直终结线问题 (13) （3）水平终结线问题 (14) （4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。 (14) （5）截断的垂直终结线问题 (14) （6）截断的水平终结线问题 (14) （7）多变量和高阶导数情形 (15) （四）二阶条件（充分条件） (15) （1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (15) （2）凹凸性充分条件 (16) （3）变分 (17) （五）无限期界问题 (18) （1）收敛性 (18) （2）横截条件 (19)
（3）充分条件 (19) （六）带约束的优化问题 (19) （1）等式约束 (19) （2）不等式约束 (21) （3）积分约束（等周问题） (21) 三、最优控制理论 (22) （一）最优控制理论导论 (22) （二）最大值原理及其横截条件 (23) （1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (23) （2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (26) （3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (29) （4）推广到多变量 (29) （三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (30) （1）最大值原理的经济学解释 (30) （2）现值的汉密尔顿函数 (32) （四）充分条件（二阶条件） (32) （1）曼加萨林定理 (32) （2）阿罗条件 (34) （五）无限期界问题 (35) （1）横截条件与反例 (35) （2）作为充分条件一部分的横截条件 (36) （六）有约束的最优控制问题 (36) （1）涉及控制变量的约束 (37) （2）状态空间约束 (43) 四、拉姆齐模型 (47) （一）相关理论发展背景 (47) （二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (49) （三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (53) （1）稳定性与渐进稳定性 (53) （2）稳定性判别基本定理 (53) （2）平面动力系统的奇点 (54)
费马原理与光的反射和折射
费马原理与光的反射和折射 福建省石狮市石光中学 陈龙法 1650年法国数学家费马对光的传播传播原理作了一个概括性的叙述：光从空间一点A 到另一点B,光沿着所需的时间为极值的路径传播。 1.光的反射 光线由A 点入射，经介面MN 反射到B 点（如图）。试求光线以最短时间所通过的路径。 分析 建立如图坐标系。A 点B 点是已知的， C 为界面上的任一点。设光的传播速度是V ，光线 由A 点经C 到B 经历时间 )(1 )(CB AC V x t += ()? ? ? ? ?+-++=2222121h x a h x V 式中V 、h 1、h 2及a 都是已知的，现在的问题是：光线AC 有怎样的一个已知方向（或x 取何值），才能使它由A 点出发到B 点的时间为最短。 为了求得最短时间，我们求t 对x 的导数： ()()???? ??+--- +='22221 21h x a x a h x x V x t 令()0='x t ，则 () 22 2 2 1 2 h x a x a h x x +--= + 若C 点的法线为CC ’,则由图知， Sin α=Sin β 所以，α=β，即入射角等于反射角。 又因为 ()() ()()()?????? ????? ?? ?+-+--+ +-- - ++- += ''2 2 2 2 2 22 22 2 2 122 12221 2 1h x a h x a x a h x a h x h x x h x V x t () ()[ ] ??? ??? ? ? +-+ +=2 /32222 2 2 /32 12211h x a h h x h V 式中所有值都是正的，所以()0>''x t ，故当α=β时，光线由A 点到B 点所需要的时间为最短。 2.光的折射 光线由A 点入射，经介面MN 折射到B 点（如图）。试求光线以最短时间从A 射到B 发生折射所通过的路径。 分析 建立如图坐标系。A 点B 点是已知的，C 为界面上的任一点。设光在第一介质中的传播速度 2)
考研数学：必考的定理证明整理
考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而2016 年考研数学真题释放出一个明确信号——考生需重视教材中重要定理的证明。下面跨考教育为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。 一、求导公式的证明 2015 年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015 年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2017 考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。 当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x) 在点x0 处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能 用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!) 。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0 的任意性，便得到了f(x)*g(x) 在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x) ，f(x)-g(x) ，f(x)/g(x) 的导数公式的证明。 二、微分中值定理的证明 这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。 费马引理的条件有两个：1.f(xO)存在2. f(xO)为f(x)的极值，结论为f(xO)=O。考虑函数 在一点的导数，用什么方法？自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f(xO)的极限形式。往下如何推理？关键要看第二个条件怎么用。“f(x0为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)
变分原理与变分法
第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x
费马原理的最新表达形式及其应用
费马原理的最新表达形式及其应用 马国梁 （山东省章丘市第一职业中专明水250200 ） 《中国当代思想宝库》2006/6/发表 网上发表时间: 2006/10/31 08:10 点击:178次 摘要本文从另一角度提出了费马原理的表达形式，并据此推出了球面平行介质和平面平行介质的折射方程. 关键词费马原理折射方程 在一般教科书和报刊中，常将费马原理写成如下的微分形式 d（∫n d l ）= 0 (积分区间A→B) （1） 式中n为介质的折射率，A、B是空间中固定的两点，d l为连接A、B两点空间曲线上的微元段。然而在实用上，这个公式却极不方便。它使推导过程及结果往往都变得非常复杂。 笔者经研究发现，费马原理还有另外一种表达形式，其微分式是 d (n r sinα) = 0 （2） 式中α是光线与介质中微元面法线的夹角，在该微元面上折射率处处相等；r是在由光线与法线决定的平面内微元面的曲率半径。虽然n、r和sinα都在随地点变化，但其乘积却始终保持不变。该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。在有些情况下用起来特别方便。 1. 在球面平行介质中，因每个微元面的法线都在其半径方向上，此时折射率只是其半径的函数。 n = n(r) （3） 设光线的出发点仍然是A，则根据（2）式得 n r sinα= n A r A sinαA（4） 在球心极坐标系中，设极角为φ 因为dφ= dr tanα/r = dr sinα/ r sqrt (1- sinαsinα) 所以将（4）式代入此式可求得得 dφ= dr / r sqrt [ (nr/ n A r A sinαA )^2 – 1 ] （5） 这就是光线在球面平行介质中的折射方程。它适用于宇宙中所有星球表面的大气折射。例如在地球表面上，沿地平线穿过大气层发射到太空中的光线偏折角可这样计算. 设n = 1+（n。-1）e ^ [- (r-r。) / H ] （6） 其中n o = 1.0002926 r o = 6371 km H = 8 km 那么利用（5）式积分，r的积分区间是从r o→∞ 可得光线所对的地心角是φ= 90°39.7′ 光线的偏转角为39.7′，这与实际情况是相符的。 2. 在平面平行介质中，因为各微元面的曲率半径都相等且为无穷大，所以（2）式变为 d(n sinα) = 0 （7） 由此可以推出现在最为常见的形式 n1 sinα1 = n2 sinα2（8） 此公式不仅适用于折射率渐变的介质，也适用于折射率突变（有分界面）的两种介质间的光折射。
(完整版)Barbalat引理证明
Barbalat 引理证明 一、Barbalat 引理的基本形式： 引理1 设:[0,)x R ∞→为一阶连续可导，且当t →∞时有极限，则如果 (),[0,)x t t →∞&一致连续，那么lim ()0t x t →∞ =&。 如果()x t & &存在且有界，那么引理1中()x t &的一致连续性条件可用()x t &&的有界性来代替，从而可以得到如下形式的引理。 引理 2 设:[0,)x R ∞→为一阶连续可导，且当t →∞时有极限，则如果 (),[0,)x t t →∞&&存在且有界，那么lim ()0t x t →∞ =&。 可以得到如下推论。 推论1 若:[0,)x R ∞→一致连续，并且0lim ()t t x d ττ→∞ ?存在且有界，那么 lim ()0t x t →∞ =。 其中引理1的证明如下： 因为(),[0,)x t t ∈∞&一致连续，所以： 0ε?>0δ?>，对任意的1t 有： 11()()2 x t x t ε δ+-< && 另外由lim ()t x t K →∞ =可知： 对于给定的ε，0t ?，当10t t >时有： 1()4 x t K δ ε-< 同理： 1()4 x t K δ δε+-< 利用泰勒展开则： 11()()()x t x t x δξδ+=+&其中：11(,)t t ξδ∈+ 所以： 11()()()4 x t K x t K x δ δξδε+-=-+< & 由此可知： 1()()42 x x t K δδ ξδεε<+-<&
则： ()2 x ε ξ< & 显然：1t ξδ-< 所以由()x t &的一致连续性可知： 1()()2 x x t ε ξ-< && 则： 1()()2 x t x ε ξε< +<&& 即：对于0ε?>，0t ?，当10t t >时有： 1()x t ε<& 由此得证：lim ()0t x t →∞ =& 二、Barbalat 引理的集中变形形式： Barbalat 引理的基本形式虽然在一定程度上能判断系统的渐近收敛性，但由于不易与Lyapunov 理论相结合，故在实际应用中具有一定局限性。为此，对Barbalat 基本形式进行延展和变形，得到如下集中Barbalat 引理的表达形式。 引理 3 若:[0,)x R ∞→一致连续，且存在[1,)p ∈∞，使得p x L ∈，那么 lim ()0t x t →∞ =。 注：:{:[0,)p L x x R =∞→，且1/0(})p p x t dt ∞?? ???? <∞?，[1,)p ∈∞。 证明： 当1p =时，因2121x x x x -≤-，则由x 的一致连续性可知x 亦为一致连续的。令()0()d ,0t F t x t ττ=≥?。则应用引理1易证()()F t x t =，进而得到()x t 的 收敛性。 当1p >时，用反证法证之。假设lim ()0t x t →∞ =不成立，那么存在常数00ε>， 对任意0T >,存在0T t >，有0()T x t ε≥。基于此，可以得到无限时间序列 {},1,2,i t i Ω==L ，使0()i x t ε≥，i t ?∈Ω。因为()x t 是一致连续的，故对给定的
变分原理与变分法
变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的 （映射）关系 第一章 光线最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； AE+ EB A AC +CB ③
特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量： n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能： 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能： )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ；|A L = max 2 a ij ； I A 2 仁 )12 ②函数的积分：函数空间i 数域 b J = a f n （X ）dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ： ①判定下列那些是泛函： c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少（x ）i ； ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支；x =
费马原理
2011年8月17日，是费马（Pierre de Fermat）诞辰410周年。今天，谷歌推出新涂鸦——费马大定理以纪念这位最专业的业余数学家。 除了费马大定理，相信大家也一定都听说过费马原理。它通常被表述为过空间中两定点的光，实际路径总是光程（或者时间）最短。费马原理是一条十分令人着迷的原理，从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律，几乎包含了几何光学的全部内容。然而，对于这个原理，很多人都存在着或多或少的误解，这是由于费马原理表述有误造成的。在今天这个有纪念意义的日子里，本文就来一一澄清。 首先说明一点，在费马原理的表述中，光程和光传播所用的时间是等效的，因为这两个量之比就是真空中的光速c。所以本文中后面只说光程而不说时间。 百度百科的不靠谱说法 不妨先看看百度百科给出的费马原理的定义：光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。这是一种很常见的错误表述，只要看下面这个平面镜反射的例子就知道了。 从A发出的光线，经过平面镜的反射到达B点，这条光线必然是可以真实存在的。可是这是光程最短的路径吗？显然不是，从A发出直接到达B的光线光程更短。所以使用“最小”一词是绝对错误的，费马原理其实是个局域性的原理，所有诸如最小的词均应当替换为极小。只要光程取极小值，无论是否是最小，它都是真实存在的光线。 用“极值”表述正确吗 那如果费马原理表述成：过两个定点的光总走光程极小的路径，是不是就正确了呢？其实这仍是一种错误的表述。光程取极小值只是一种常见情形，也存在其他情形。
首先举一个光程是定值的例子，如下图的椭圆形反射镜。 从椭圆的一个焦点A出发的光线，经过椭圆形镜子上任意一点的反射，一定会汇聚到另一个焦点B。这是因为椭圆的数学性质保证了这样光线的反射角一定等于入射角。在这个例子当中，任何一条真实光线都不是极小值了，因为不管反射点是椭圆上的哪个点，光程都是定值（是椭圆的定义：到两定点的距离之和为常值的点的轨迹）。 再举一个光程取极大值的例子，如下图： 图中A、B是蓝色椭圆的两个焦点，在椭圆内任取一条黑色曲线为镜面。假设椭圆对称轴上的O点为黑色曲线和蓝色椭圆的切点。根据椭圆的性质，我们可以知道过O点的黑色光线确为真实光线。而在镜面上随意选取O’作为反射点形成的红色光线，则比黑色光线光程更短（只要记得椭圆的定义并注意到黑色曲线在椭圆内部即可知道这一点）。然而红色光线却并不满足反射角等于入射角，也就说它并非真实的光线。因此在这个例子中，光选取的路径实际上取了极大值。 什么是最正确的表述 那如果费马原理表述成：过两个定点的光总走光程为极大值、极小值或者定值的路径，是不是就正确了呢？这是物理专业课本中的表述，但仍然不够准确。仍以上图为例，说黑色光线取了极大值，其实是不准确的。因为只要本该是直线的光线稍微一弯曲，光程就会变得更长，从这个角度来讲，这又是一种极小值了。所以单说它是极大值还是极小值都不够准确。理解这种既极大又极小的函数也很简单，看看双曲抛物面的形状就可以了