斐波那契数列与黄金分割

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3. 黄金矩形 1) 定义:一个矩形,如果从中裁去 一个最大的正方形,剩下的矩形的宽与长 之比,与原矩形的一样(即剩下的矩形与 原矩形相似),则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
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31
2) 试求黄金矩形的宽与长之比(也称为
黄金比)
解:设黄金比为 x,则有
即 tn tn1 tn2 。综合得递推公式
tt1n
t2 tn1
1
tn2
(n 3, 4,5,L)
容易算出,跳格数列 tn就是斐波那契数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
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2. 连分数
x
1
1
1 1
1
1
1
1
这不是一个普通的分数,而是一个分
母上有无穷多个“1”的繁分数,我们通常
1 1
1
1 1
1
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发现规律后可以改一种方法算,
un 1 vn 1 un1
vn1
例如 u5 1 1 5 , u6 1 1 8 , v5 1 u4 1 3 8 v6 1 u5 1 5 13
v4
5
v5
8
顺序排起来,这个连分数的近似值逐次为
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , , un1 , un , 1 2 3 5 8 13 vn1 vn
如果把该连分数从第 n 条分数线截住,即
把第n 1条分数线上、下的部分都删去,就
得到该连分数的第n 次近似值,记作 un 。
vn
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对照
x
1
1
1 1
1
1
1
1
可算得
u1 1, u2 1 1 , u3 1 2 , u4
1
3
v1 1 v2 1 1 2 v3 1 1 3 v4 1 1
5
1
Байду номын сангаас1 1
解:设跳到第n格的方法有 tn种。
由于他跳入第1格,只有一种方法;跳入 第2格,必须先跳入第1格,所以也只有一
种方法,从而 t1 t2 1
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而能一次跳入第n格的,只有第 n 1
和第 n 2 两格,因此,跳入第 n 格的方法
数,是跳入第n 1格的方法数 tn1,加上跳入
第 n 2 格的方法数 tn2 之和。
x
b a
a
b b
a
b
a b
1 b a
b
1 x x
a
a
将 x 1 x 变形为 x2 x 1 0 ,解 x
得 x 1 5 ,其正根为 x 5 1 0.618。
2
2
32
3) 与斐波那契数列的联系
为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系,我们
把黄金比化为连分数,去求黄金比的近似值。化 连分数时,沿用刚才“迭代”的思路:
(L.Fibonacci,1170-1250)
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兔子问题
假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期,而一对成熟兔子每月会生一对兔子, 那么,由一对初生兔子开始,12 个月后会 有多少对兔子呢?
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1月 1对
解答
8
1月 1对 2月 1对
解答
9
1月 1对 2月 1对 3月 2对
解答
10
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对
解答
11
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
12
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
13
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
14
解答
可以将结果以列表形式给出:
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
称这样的分数为“连分数”。
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上述连分数可以看作是 x 1
1 x
中,把 x
的表达式反复代入等号右端得到的;例如,
第一次代入得到的是
x 1 11 1 x
反复迭代,就得到上述连分数。
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x
1
1
1 1
1
1
1
1
上述这一全部由1构成的连分数, 是最简单的一个连分数。
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通常,求连分数的值,如同求无理数的 值一样,我们常常需要求它的近似值。
5 1 2
1 2
1 1 2( 5 1) 5 1
5 1 51
2
1
1 5 1 1
1 1
2
1 5 1
2
1 5 1 2
2
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反复迭代,得
5 1 2
1
1
1 1
1
1
1
1
34
它竟然与我们在上段中研究的连分数
一样!因此,黄金比的近似值写成分数表
到十二月时有大兔子144对,小兔子89对, 共有兔子144+89=233对。
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2. 斐波那契数列
1) 公式
用 Fn 表示第 n 个月大兔子的对数,则
有二阶递推公式
F1 Fn
F2 Fn
1
1
Fn
2
,
n
3,
4,
5L
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2) 斐波那契数列 令n = 1, 2, 3,… 依次写出数列,就是 1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144,233,377,… 这就是斐波那契数列。其中的任一个 数,都叫斐波那契数。
7月 8月 9月 10月 11月 12月 13 21 34 55 89 144
因此,斐波那契问题的答案是 144对。 以上数列, 即“斐波那契数列”
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规律
兔子问题的另外一种提法: 第一个月是一对大兔子,类似繁殖;到第十二
个月时,共有多少对兔子?
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
第三节
斐波那契数列与黄金分割
1
我们先来做一个游戏!
2
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??
十秒钟加数
请用十秒,计算出 左边一列数的和。
时间到!
答案是 231。
3
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
十秒钟加数
再来一次!
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[思]:请构造一个3阶递推公式。
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二、 相关的问题
斐波那契数列是从兔子问题中抽象出 来的,如果它在其它方面没有应用,它就 不会有强大的生命力。发人深省的是,斐 波那契数列确实在许多问题中出现。
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1. 跳格游戏
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如图,一个人站在“梯子格”的起点处 向上跳,从格外只能进入第1格,从格中, 每次可向上跳一格或两格,问:可以用多 少种方法,跳到第n格?
时间到!
答案是 6710。
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这与“斐波那契数列”有关
若一个数列,前两项等于1,而从第三项 起,每一项是其前两项之和,则称该数 列为斐波那契数列。即:
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
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一、兔子问题和斐波那契数列
1. 兔子问题 1) 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 (1202年)
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