九年级数学第一章 证明二练习题及答案全套
一、填空题
1、 如图1，若⊿ABE ?⊿ADC ，则AD = AB ，
DC = ；∠D = ∠
； ∠BAE = ∠ ；
2、如图2，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°则∠DEC ＝ ．
3、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________；
4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________；
5、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。 二、选择题
6、给出下列命题，正确的（ ） ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
7、满足下列条件的两个三角形一定全等的（ ） A 、腰相等的两个等腰三角形 B 、一个角对应相等的两个等腰三角形 C 、斜边对应相等的两个直角三角形 D 、底相等的两个等腰直角三角形
8、已知如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 的度数是（ ）
（A ）30°（B ） 36°（C ）45°（D ）54° 9、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）
（A ）6个 （B ）7个 （C ）8个 （D ）9个 10、如图5，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） （A ）45°（B ）55° （C ）60°（ D ）75° 三、解答题
11、阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，
?????
=∠=∠=AE AE ACE
ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步) 问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程； 12、已知：线段a 、h (如图) 求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h . 请你用尺规作图，并补全作法 作法：(1)作线段BC= . (2)作 . (3) . (4)连结 . 则△ABC 为所求等腰三角形. §1.1.1
证明(二)
一、填空题
1、等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形
2、已知△ABC ，如下左图所示，其中∠B =∠C ，则_______=________.
.
3、如上中图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，则∠C =__________°;CE ∶EA =__________.
4、如上右图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，则∠1__________∠B ， ∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.
5、在△ABC 中，∠A =∠B
=2
1
∠C ，则△ABC
是__________三角形. 二、选择题
6、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（
） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
7、如下左图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =2∠A ，
BD
是∠ABC 的平分线，则图中共有等腰三角形（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8、如上右，△BD C ′是将矩形ABCD ，沿对角线BD 折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形（ ）
A.2对 B 、3 对 C.4对 D.5对
9、如下左图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形（ ）
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
10、如上右图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，若DE =4 cm ，AE =5 cm ，则AC 等于（ ） A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.1 cm 三、解答题
11、已知，如左下图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，AE =6，求四边形AFDE 的周长.
12、如图，DE ∥BC ，CG =GB ，∠1=∠2，求证：△DGE 是等腰三角形.
13、.如右图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A =60°.求证：BD =3AD .
§1.1.2
证明(二)
E
C D
A
D C
B
A 2
1
E
A C B
D
C B
A C
一、填空题
1、已知，等腰△ABC，AB=AC：
（1）若AB=BC，则△ABC为_________三角形；（2）若∠A=60°，则△ABC为_______三角形；（3）若∠B=60°，则△ABC为_______三角形.
2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.
3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.
4、如图上右图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6cm则∠ACD=_____°,AC=______cm,∠DAC=_______°，△ADE是______三角形.
5、如左下图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=
8 cm，则BD=_______cm，∠BDE=_____°,BE=______cm.
6、如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12 cm，则AB=__________cm.
二、选择题
7、下列说法不正确的是
A.等边三角形有三条对称轴
B.线段AB只有一条对称轴
C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线
D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线
8、下列命题不正确的是A.等腰三角形的底角不能是钝角
B.等腰三角形不能是直角三角形
C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
9、在Rt△ABC中，如右图所
示，∠C=90°，∠CAB=60°，
AD平分∠CAB，点D到AB的
距离DE=3.8 cm，则BC等于
A.3.8 cm
B.7.6 cm
C.11.4 cm
D.11.2 cm
三、解答与证明
10、如下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶
∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.
11、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA.
12、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
§1.1.3证明(二
)
一、判断题
1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确
2.定理不一定有逆定理
3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长 二、填空题
4、Rt △ABC 中，∠C =90°，如图下左图，若b =5，c =13，则a =__________；若a =8，b =6，则c =__________.
5、等边△ABC ，AD 为它的高线，下中图所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD =__________，BD ∶AD ∶AB =__________∶__________∶__________.
5、上右图所示，正方形ABCD ，AC 为它的一条对角线，若AB =2，则AC =__________；若AC =2，则AB =__________；AC ∶AB =__________∶__________.
6、如右图，△ABC 中，∠A +∠C =2∠B ，∠A =30°，则∠
C =__________；若AB =6，则BC =__________. 7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a 则
（1）当6,8均为直角边时，a =__________； （2）当8为斜边，6为直角边时，a =__________. 三、选择题
8、如右图，等腰直角△ABC ，AB =2，则S △ABC 等于( ) A.2 B.1 C.4 D.2
9、若三角形的三边分别为a ,b ,c ，则下面四种情况中，构成直角三角形的是(
) A.a
=2,b =3,c =4 B.a =12,b =5,c =13 C.a =4,b =5,c =6 D.a =7,b =18,c =17
10、如左下图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，
BD =5，DC =1，AC =5，那么AB 的长度是
A.27
B.27
C.10
D.25
11、如右上图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，则AD 等于( )
A.4 8
B.24
C.10
D.12 四、解答题
12、已知，如下图，等边三角形ABC ，AD 为BC 边上的高线，若AB =2，求△ABC 的面积.
13、已知：如下图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =4，BC =3，DB =
5
9. （1）求DC 的长；（2）求AD 的长； （3）求AB 的长；（4）求证：△ABC 是直角三角形.
14、如右图，为修铁路需凿通隧道AC ，测得∠A =50°，∠B =40°，AB =5 km,BC =4 km ，若每天凿隧道0.3 km ，问几天才能把隧道凿通？
§1.2.1
证明(二)
一、填空题
1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90
（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.
（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.
（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.
（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（5）若AC=DF，CB=F E，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
2、如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△
__________，其判定依
据是__________，还有
△__________≌△
__________，其判定依
据是__________.
3、已知：如图下左图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.
4、已知：如上中图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.
5、已知：如上右图，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=______°.
二、选择题
6、如下左图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是( ) A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如上右图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )
A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°
8、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等面
B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等
D.一条边和一个角对应相等
三、证明题
9、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.
10、已知：如下图，CD、C′D′分别是Rt △ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB= C′B′，CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.
11、如下图，已知∠ABC=∠AD C=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED.
§1.2.2证明(二
)
一、填空题
1、如下左图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若AB =10 cm ，则BD =__________cm ；若P A =10 cm ，则PB =__________cm ；此时，PD =__________cm.
2、如下中图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线
交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC =5cm ，则AB +BD +AD =________cm ；AB +BD +DC=__________cm ；△ABC 的周长是__________cm.
3、如上右图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°,DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE =5，则AE =_________，∠AEC =_________，AC =__________ .
4、已知线段AB 及一点P ，P A =PB =3cm ，则点P 在__________上.
5、如果P 是线段AB 的垂直平分线上一点，且PB =6cm ，则P A =__________cm.
6、如图下左图，P 是线段AB 垂直平分线上一点，M 为线段AB 上异于A ，B 的点，则P A ，PB ，PM 的大小关系是P A ________PB ________PM .
7、如图下中图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 平分∠ABC 交BC 于D ，则点D 在__________上. 8、如图上右图，BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底，则直线AD 必是__________的垂直
平分线. 二、选择题
9、下列各图形中，是轴对称图形的有多少个 ①等腰三角形 ②等边三角形 ③点 ④角 ⑤两个全等三角形
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 10、如下左图，AC =AD ，BC =BD ，则 A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上结论均不对
11、如上右图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm 12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 三、解答题 13、如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF .求证：OP 垂直平分EF .
§1.3.1
证明(二
)
一、判断题
1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点
2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点
3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
二、填空题
5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则P A__________PB__________PC.
6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.
7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.
8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.
9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形. 10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC 的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=_________度.
三、作图题
11、（1）分别作出点P，使得P A=PB=PC
（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：
当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC 的__________；
当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC 的__________；
当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC 的__________；
反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.
四、类比联想
12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.
§1.3.2证明(二
)
一、判断题
1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上
3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合
4、角平分线是角的对称轴 二、填空题
5、如图下左图，AD 平分∠BAC ，点P 在AD 上，若PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，则PE __________PF .
6、如图下中图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，且PD =PE ，连接AP ，则∠BAP __________∠CAP
.
7、如图上右图，∠BAC =60°，AP 平分∠BAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，若AD =3，则PE =______. 8、已知，如图（4）
，∠AOB =60°,CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，若CD =CE ，则∠COD +∠AOB =__________度. 9、如图（5），已知MP ⊥OP 于P ，MQ ⊥OQ 于Q ，S △DOM =6 cm 2，OP =3 cm ，则MQ =__________cm.
三、选择题
10、下列各语句中，不是真命题的是( ) A.直角都相等 B.等角的补角相等 C.点P 在角的平分线上 D.对顶角相等 11、下列命题中是真命题的是( )
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
12、如左下图，在△ABC 中，∠ACB =90°,BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
13、如右上图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF
②△BDF ≌△CDE ③D 在∠BAC 的平分线上，以上结论中，正确的是
A.只有①
B.只有②
C.只有①和②
D.①，②与③ 四、解答题 14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.
15、如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD .求证：AD 平分∠BAC .
§1.4.1
证明(二)
一、判断题
1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个
2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个
3、三角形三条角平分线交于一点
4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形
二、填空题
6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.
7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.
8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.
9、如右图，E、D
分别是AB、AC上的
一点，∠EBC、∠
BCD的角平分线交
于点M，∠BED、∠
EDC的角平分线交于N.
求证：A、M、N在一条直线上.
证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC
∴NF__________NH，NH__________NK
∴NF__________NK ∴N在∠A的平分线上
又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴__________=__________，__________=__________
∴__________=__________
∴M在∠A的__________上
∴M、N都在∠A的__________上
∴A、M、N在一条直线上
三、作图题
10、利用角平分线的性
质，找到△ABC内部距
三边距离相等的点.
11、在下图△ABC所在
平面中，找到距三边所在直线
．．距离相等的点.
12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.
四、解答题
13、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.
§1.4.2证明(二
)
班级：_______姓名：________得分：__________ 一、填空题
1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.
2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.
3.如下左图，△ABC 中，∠C =90°，AM 平分∠CAB ，CM =20 cm ，则点M 到AB 的距离是
_________.
4.如上右图，等边△ABC 中，F 是AB 中点，EF ⊥AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则AE =_________，AE ∶EC =_________.
5.如下左图，△ABC 中，DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AB 于D ，若AB =10 cm ，AC =6 cm ，则△ACD 的周长为
_________.
6.如上右图，∠C =90°，∠ABC =75°，∠
CDB =30°，若BC =3 cm ，则AD =_________ cm. 7.如下左图，B 在AC 上，D 在CE 上，AD =BD =BC ，∠ACE =25°，∠ADE
=_________.
8.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm.
9.如上右图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形. 10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.
11.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形. 二、选择题
12.等边三角形的高为23，则它的边长为（ ）面A.4 B.3 C.2
D.5 13.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）
A.290οοn -
B.90－2
ο
n
C.2
οn D.90°－n ° 14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A.a =3，b =4，c =5
B.a =1，b =34，c =35
C.a =9，b =12，c =15
D.a =3，b =2，c =5
15.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6 B.7.5 C.10 D.12 16.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小
边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）
A.5 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.8 cm
17.如右图，△ABC 中， AB =AC ，BC =BD ，
单元测试
证明(二)
AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）
A.55°
B.45°
C.36°
D.30°
18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）
A.15
B.12
C.15或12
D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cm
B.
13
30
cm C.1360 cm D.9 cm
20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方
形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ） A.25 B.50 C.100 D.60 21.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.
2
3a B.
3
3 a C.
63a D. 2
1a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三
角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4 cm ，则AD 等于（ ）
A.8 cm
B.7 cm
C.6 cm
D.4 cm 24.下列说法中，正确的是（ ）
A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等
B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
25.如右图，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 长为（ ） A.8 B.5
C.3
D.34
26.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼
成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
27.下列定理中逆定理不存在的是（ ） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C.同位角相等，两直线平行
D.全等三角形的对应角相等
*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A.5
B.2
C.
4
5 D.1
三、解答题
29.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.
30.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =
2
1
∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =2
1DB .
31.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +2
1
和
n 2+n +
2
1
(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.
32.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.
33.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB =2，求BE 的长.
*34.①在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分
线交AC 于N ，交BC 的延长线于M ， ∠A =30°，求∠NMB 的大小.
②如果将①中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小.
③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）
④将①中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？
参考答案
1.1.1全等与等腰三角形
一、1、BE B DAC 2、100 3、17㎝ 4、70 80 5、8
二、6、B 7、D 8、C 9、C 10、C 三11、略12略
1.1.2等腰三角形性质
一、1.锐角2.AB AC 3.高线 中线 平分线 4.30 3∶15.= = 等腰6.等腰直角 二、1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 三、1.解：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠EAD =∠F AD ，且DF ∥AE
∴∠EAD =∠ADF ，∴∠F AD =∠ADF ∴AF =FD .
同理，可得AE =ED ，∠EAD =∠EDA ∴在△ADE 和△ADF 中，
??
?
??∠=∠=∠=∠FDA EDA AD
AD FAD EAD ∴△ADE ≌△ADF （ASA ） ∴AE =AF ，DE =DF
综上，AE =ED =DF =AF =6
∴四边形AFDE 的周长为4AE =4×6=24. 2.证明：∵∠1=∠2，∴AD =AE 又∵DE ∥BC ，
∴∠1=∠B ，∠2=∠C 且∠B =∠C ∴AB =AC ，∴AB －AD =AC －AE 即DB =EC
∴在△DBG 和△ECG 中，
??
?
??=∠=∠=CG BG C B EC DB ∴△DBG ≌△ECG （SAS ）
∴DG =GE ，∴△DGE 是等腰三角形 3.证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°， 又∵∠A =60°，∴∠ACD =30° ∴在Rt △ACD 中，AD =
2
1
AC ， 又∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中，
∴∠B =30°，∴AC =
21
AB ∴AD =4
AB ， 则AD =
3
1
BD ，即BD =3AD . 1.1.3等腰三角形判别
一、1.（1）等边 （2）等边 （3）等边
2.线段、直角、等腰三角形
3.一 三
4.30 12 60 等边
5.4 30 2
6.8
二、1.C 2.B 3.C
三、1.解：∵AD =DC ，且∠A =20°，
∴∠A =∠ACD =20°， 又∵∠ACD ∶∠BCD =2∶3
∴∠BCD =30°，∴∠ACB =50° ∴∠ABC =180°－∠A －∠ACB =180°－20°－50°=110°
2.证明：∵MD ⊥BC ，且∠B =90°， ∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线
∴∠BAD =∠MAD ，∴∠D =∠MAD ， ∴M A=MD
3.证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC ，∠ABE =60° 又∵△BDE 是等边三角形， ∴BE =BD ，∠DBE =60°， ∴∠ABE =∠DBE
∴在△ABE 和△CBD 中，
??
?
??=∠=∠=BD BE DBE ABE BC AB ∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE =CD 1.2.1勾股定理
一、1.× 2.√ 3.√ 二、1.12 10 2.6 3 1 3 2
3.22
2 2 1 4.90° 3
5.(1)10 (2)27.
三、1.B 2.B 3.C 4.C
四、1.解：∵△ABC 为等边三角形，且AD ⊥BC ，
∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD =∠C AD =30°. ∴BD =
2
1
AB =1,而BD 2+AD 2=AB 2 ∴AD 2=AB 2－BD 2=3 ∴AD =3
∴S △ABC =21AD ·BC =2
1
×3×2=3
∴△ABC 的面积为3.
2.（1）解：在Rt △DCB 中，DC 2+DB 2=BC 2 ∴DC 2=9－
251442581=
∴DC =5
12
（2）解：在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2=AC 2
∴AD 2=16－
2525625144=
∴AD =5
16
（3）解：AB =AD +DB=
516+5
9
=5 （4）证明：∵AC 2+BC 2=16+9=25，AB 2=25
∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90°， ∴△ABC 是直角三角形.
3.解：∵∠A =50°，∠B =40°，∴∠C =90°，
∴AC 2=AB 2－BC 2=（3 km ）2
∴AC =3 km ∵3
.03
=10天
∴10天才能将隧道凿通. 1.2.2直角三角形全等的判定
一、1.（1）AA S （2）ASA （3）AA S （4）HL （5）SAS 2.ABC DCB HL ABO DCO AAS 3.ABE DCF 4.6 5.30 二、1.A 2.B 3.D
三、1.证明：连结AC ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB
∴在Rt △ADC 和Rt △ABC 中
??
?==AC
AC AB
AD ∴Rt △ADC ≌△Rt △ABC (HL ) ∴CD =CB .
（本题也可用勾股定理直接证明） 2.证明：∵CD ⊥AB ，C ′D ′⊥A ′B ′ ∴在Rt △CDB 和Rt △C ′D ′B ′中，
?
?
?''='
'=C B BC D C CD ∴Rt △CDB ≌Rt △C ′D ′B ′(HL )
∴∠B =∠B ′
∴在△ABC 和△A ′B ′C ′中，
??
?
??'∠=∠'
'='
''∠=∠B B C B BC B C A ACB ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ).
3.证明：在Rt △ADC 和Rt △ABC 中，
??
?==AC
AC AD
AB ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL ) ∴∠DCE =∠BCE
∴在△DCE 和△BCE
中，
??
?
??=∠=∠=CE CE BCE DCE BC DC ∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴EB =ED 1.3.1线段的垂直平分线
一、1.× 2. × 3.× 4.√
二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.5 30° 215 4.线段AB 的垂直平分线 5.6 6.= ＞ 7.线段AB 的垂直平分线 8.线段BC 三、1.D 2.B 3.D 4.C
四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F
∴∠PEO =90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，
??
?
??=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO ∴△PEO ≌△PFO ，∴PE =PF ，EO =FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上， ∴OP 垂直平分EF .
1.3.2三角形三条中垂线交于一点
一、1.√ 2.√ 3.√ 4.× 二、1.= = 2.= = = 50 50 80 100 3.= AC 4.= = 72° 5.BED CED BAD C AD 等腰 6.60°
三、1.略 （2）内部 斜边的中点 外部 四、类比联想：略 1.4.1角的平分线
一、1.√ 2.√ 3.√ 4.× 二、1.= 2.= 3.1 4.90 5.4 三、1.C 2.A 3.B 4.D
四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.
区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.
2.证明：在△BDF 和△CDE 中
??
?
??=∠=∠?=∠=∠CD BD CDE
BDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF =DE ∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC . 1.4.2三角形三角的平分线交于一点 一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. ×
二、1.= = 2.垂直 3.= 90 90 = = 4.= = = MP MJ MQ MJ MP MQ 平分线 平分线
三、提示：1.三个内角平分线交点
2.一个内角平分线与另外两个角外角平分线的交点
3.略
四、解：过点D 作DE ⊥AB ，则DE 是点D 到AB 的距离
∵BD ∶CD =9∶7，
∴CD =BC ·
16
7
32167?==14 而AD 平分∠CAB ，∴DE =CD =14
第一章单元测试卷 一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20 cm 4.
2
5
1∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.
22或2
1
9.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰
二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B
三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.1
34.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改
最新沪科版九年级数学下册全册教案
最新沪科版九年级数学下册全册教案 24.1 旋转 第1课时旋转的概念和性质 1 ．了解图形旋转的有关概念并理解它的基本性质 ( 重点 ) ； 2 ．了解旋转对称图形的有关概念及特点 ( 难点 ) ． 一、情境导入 飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？ 二、合作探究 探究点一：旋转的概念和性质 【类型一】旋转的概念 下列事件中，属于旋转运动的是 ( ) A ．小明向北走了 4 米 B ．小朋友们在荡秋千时做的运动 C ．电梯从 1 楼上升到 12 楼 D ．一物体从高空坠下 解析： A. 是平移运动； B. 是旋转运动； C. 是平移运动； D. 是平移运动．故选 B .
方法总结：本题考查了旋转的概念，图形的旋转即是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变 . 变式训练：见《学练优》本课时练习“ 课堂达标训练” 第 1 题 【类型二】旋转的性质 如图，△ ABC 绕点 A 顺时针旋转 80 °得到△ AEF ，若∠ B ＝ 100 °，∠ F ＝50 °，则∠ α 的度数是 ( ) A ． 40 ° B ． 50 ° C ． 60 ° D ． 70 ° 解析：∵△ ABC 绕点 A 顺时针旋转 80 °得到△ AEF ，∴△ ABC ≌△ AEF ，∠ C ＝∠ F ＝ 50 °，∠ BAE ＝ 80 ° . 又∵∠ B ＝ 100 °，∴∠ BAC ＝ 30 °，∴∠ α ＝∠ BAE －∠ BAC ＝ 50 ° . 故选 B. 方法总结：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：① 定点——旋转中心；② 旋转方向；③ 旋转角度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“ 课堂达标训练” 第 4 题 【类型三】与旋转有关的作图 在图中，将大写字母 A 绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转 90 °，作出旋转后的图案，同时作出字母 A 向左平移 5 个单位的图案． 解：
初中数学证明题
初中数学证明题Prepared on 21 November 2021
1.如图 1，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC =130°，求∠BAC 的度数． 2.如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，BD ⊥AD ，DE ∥AC 。求证：AE=BE 。 ．3.如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，BP ⊥AD 于P ，AB=5，BP=2，AC=9。求证：∠ABP=2∠ACB 。 4.如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC =130°，求∠BAC 的度数． 5.点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE 求证：BD ＝CE 6.△ABC 中,AB=AC,PB=PC ．求证：AD⊥BC 7. 已知：如图,BE 和CF 是△ABC的高线,BE=CF,H 是CF 、BE 的交点．求证：HB=HC 8 如图,在△ABC 中,AB=AC,E 为CA 延长线上一点,ED⊥BC 于D 交AB 于F.求证:△AEF 为等腰三角形. 9.如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F 。 （1）求证：AN=BM; （2）求证：△CEF 是等边三角形 10 如图,△ABC 中,D 在BC 延长线上,且AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF 平分∠ACB,交AB 于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD. 11.如图：Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC, DE⊥AB．求证：AE=BE ． 12.已知:如图，△BDE 是等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 的延长线上，且AD=AC 。求证：DE+DC=AE 。 13.已知ΔACF ≌ΔDBE ，∠E =∠F ，AD = 9cm ，BC = 5cm ；求AB 的长． 图1 B E C D A A P D C B 图1 A B C D E
人教版九年级数学下册：全套教案
第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ． 解 若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些
初三数学几何证明题(经典)
如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E． 求证：BE=CE 证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； （2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； 相切分两种情况，如图， ①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则：t=4/2=2s； --------------- ②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2; =========
（2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~
九年级数学上册第一章综合练习1新版新人教版
第一章特殊平行四边形 总分120分120分钟 一．选择题（共8小题，每题3分） 1．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（）A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5 2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．不能判断四边形ABCD是矩形的是（0为对角线的交点）（） A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=OD C．ABCD，AC=BD D．ABCD，OA=OC，OB=OD 4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（） A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO 5．能判定四边形ABCD是菱形的条件是（） A．对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD B．对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠C C．对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠C D．对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C 6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1 7．矩形各内角的平分线能围成一个（） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 8．如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（） A．对角线互相垂直且相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等D．对角线互相平分 二．填空题（共6小题，每题3分） 9．如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为_________ ． 10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO； ④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是_________ A、①④?⑥； B、①③?⑤； C、①②?⑥； D、②③?④11．_________ 的矩形是正方形，_________ 的菱形是正方形．
人教版九年级数学下册单元测试题及答案全套
人教版九年级数学下册单元测试题及答案全套 人教版数学九年级下册 第二十六章 反比例函数 单元测试卷 一、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分) 1．若反比例函数y ＝k x 的图象经过点(2，－6)，则k 值为( ) A ．－12 B ．12 C ．－3 D ．3 2．对于函数y ＝4 x ，下列说法错误是( ) A ．这个函数的图象位于第一、第三象限 B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 3．在反比例函数y ＝k －3 x 图象的任一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞3 B ．k ＞0 C ．k ＜3 D ．k ＜0 4．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝k x 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上， O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2 5．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝k x (k≠0)的图象 大致是( )
6．某汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为( ) A ．180千米/时 B ．144千米/时 C ．50千米/时 D ．40千米/时 7．反比例函数y 1＝m x (x ＞0)的图象与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象交于A ，B 两点， 其中A(1，2)．当y 2＞y 1时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ．x ＜1或x ＞2 8．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4 x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分
初二数学下册证明题
（1）求证：BG FG =； （2）若2 ==，求AB的长． AD DC 二：如图，已知矩形ABCD，延长CB到E，使CE=CA，连结AE并取中点F，连结AE并取中点F，连结BF、DF，求证BF⊥DF。 三：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.
求证:AE平分∠BAD. 四、（本题7分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12， AC=18，求DM的长。
五、（本题8分）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 交于点O ， 且AC ⊥BD ，DH ⊥BC 。 ⑴求证：DH=2 1（AD+BC ） ⑵若AC=6，求梯形ABCD 的面积。 六、(6分) 、如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，若CF=3,CE=4,求AP 的长.
七、(8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点． （1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论； （2）判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形？ （3）当等腰梯形ABCD 的高h 与底边BC 满足怎样的数量关系时？四边形MENF 是正方形（直接写出结论，不需要证明）． 选择题： 15、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如 图，依此规律第10个图形的周长为 。 …… 第一个图 第二个图 第三个图 16、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为 （―1，―3），若一反比例函数x k y 的图象过点D ，则其 解析式为 。 M F E N D C A B
人教版九年级下册数学课本知识点总结
人教版九年级下册数学课本知识点总结 第二十六章反比例函数 一、反比例函数的概念 1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式; 3.反比例函数的自变量,故函数图像与x轴、y轴无交点. 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像就是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0 x≠,函数值0 y≠,所以它的图像与x轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;
③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线; ④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图像: (1)图像的形状:双曲线,越大,图像的弯曲度越小,曲线越平直。 越小,图像的弯曲度越大。 (2)图像的位置与性质: 当时,图像的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小; 当时,图像的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大。 (3)对称性:图像关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支。图像关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)与(,)在双曲线的另一支上。. 4.k的几何意义 如图1,设点P(a,b)就是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A 点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积就是|k|(三角形PAO与三
练习题(九年级数学上第一章)
一、填空题 1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），当b 2 -4ac≥0时，它的根是__ ___ 当b-4ac<0时，方程___ ______． 2．方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________． 3．用公式法解方程x 2 = -8x-15，其中b 2-4ac= _______，x 1=_____，x 2=________． 4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________． 5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到 6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 个 7．当x=_____ __时，代数式13 x +与2214x x +-的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________． 二、利用公式法解下列方程 （1）220x -+= （2） 012632=--x x （3）x=4x 2+2 （4）－3x 2＋22x －24＝0 （5）2x （x －3）=x －3 （6） 3x 2+5(2x+1)=0 三、填空题（每小题5分，计35分） 1、()()023112 =++++-m x m x m ，当m=________时，方程为关于x 的一元一次方程；当m__________时，方程为关于x 的一元二次方程 2、方程02=-x x 的一次项系数是___________，常数项是__________ 3、方程062=--x x 的解是_______________________________ 4、关于x 的方程0132 =+-x x _____实数根.（注：填写“有”或“没有”） 5、方程12=-px x 的根的判别式是______________________ 6、已知一元二次方程0132=-+-m x x .（提示：用根的判别式）
最新人教版九年级下册数学全册教案设计框架
2019年春最新人教九年级下册全册教案 第二十六章反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点)2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点)3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入二、合作探究 三、板书设计 1．反比例函数的定义： 形如y＝ k x(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．其中x是自变量，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．2．反比例函数的形式： (1)y＝ k x(k为常数，k≠0)；(2)xy＝k(k为常数，k≠0)；(3)y＝kx －1(k为常数，k≠0)． 3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．4．建立反比例函数模型． 让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义. 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质
1．会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点) 2．理解反比例函数图象的性质．(重点，难点) 一、情境导入 已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？ 二、合作探究 三、板书设计 1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．反比例函数的性质： (1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； (2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大． 通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性. 第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点) 2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点) 3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点)
初中数学几何证明经典题(含答案)
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
人教版数学九年级下册知识点
人教版数学九年级下册 第二十六章二次函数 (1) 26．1二次函数及其图像 (1) 26．2用函数观点看一元二次方程 (6) 26．3实际问题与二次函数 (6) 第二十七章相似 (6) 27．1图形的相似 (6) 27．2相似三角形 (7) 27．3位似 (7) 第二十八章锐角三角函数 (8) 28．1锐角三角函数 (8) 28．2解直角三角形 (10) 第二十九章投影与视图 (12) 29．1 投影 (12) 29．2 三视图 (12) 第二十六章二次函数 26．1二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；顶点式
y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ； 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x -x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式）（如右图） 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳.(优选)
新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳 ※平行四边形 ．．．．．， ．．．．．的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：对边相等,邻边之和等于周长的一半 对角相等,邻角互补 对角线互相平分，共有4对全等的三角形。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距 离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 ※平行四边形的面积公式： 第一章特殊平行四边形-菱形矩形正方形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等, 两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形，所以菱形的面积=对角线乘积的一半 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。 （矩形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴是对边中点的连线所在的直线※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且平分的四边形是矩形） 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（利用对角线相等且平分） 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 正方形是轴对称图形，有四条对称轴。既是轴对称图形又是中心对称图形。※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 鹏翔教图3 ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
新人教版九年级下册数学全册教案
第25章：概率统计 25.1.1随机事件(第一课时) 知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 重点：随机事件的特点 难点：对生活中的随机事件作出准确判断 教学程序设计 一、创设情境，引入课题 1．问题情境 下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ (1)太阳从西边下山； (2)某人的体温是100℃； (3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)； (4)水往低处流； (5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同； (7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。 【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】 2．引发思考 我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】
二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。 【设计意图：“抽签”这个活动是学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的经济性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，事件（3）就是一个典型的事件，它的提出，让学生产生新的认知冲突，从而引发探究欲望】 活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： （1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？ （2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？ （3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 【设计意图：随机事件对学生来说是陌生的，它不同于其他数学概念，因此要理解随机事件的含义，由学生来描述随机事件的概念，进行活动2很有必要，便于学生透过随机事件的表象，概括出随机事件的本质特性，从而自主描述随机事件这一概念】提出问题，探索概念 （1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？ （2）怎样的事件称为随机事件呢？ 【设计意图：教师让学生充分发表意见，相互补充，相互交流，然后引导学生建构随机事件的定义，充分发挥学生的主观能动性。】 三、应用练习，巩固新知 练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。 （1）两直线平行，内错角相等； （2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录； （3）打靶命中靶心； （4）掷一次骰子，向上一面是3点； （5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯； （7）在装有3个球的布袋里摸出4个球
初中数学证明题汇总(含参考答案)
证明（一） 一、选择题 1.下列句子中，不是命题的是（） （A ）三角形的内角和等于180 度（ B）对顶角相等 （C）过一点作已知直线的平行线（ D）两点确定一条直线 2.下列说法中正确的是（） （A ）两腰对应相等的两个等腰三角形全等（ B ）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（C）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（D ）面积相等的两个三角形全等 3.下列命题是假命题的是（） （A ）如果a∥b，b∥c，那么a∥c（B）锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°（C）两条直线被第三条直线所截，内错角相等（D）矩形的对角线相等且互相平分 4. △ABC中，∠A∠B 120，∠C ∠A，则△ABC 是（）． （A ）钝角三角形（ B）等腰直角三角形（ C）直角三角形（D ）等边三角形5. 在△ABC中，∠A，∠B的外角分别是 120°、 150°，则∠C（）． （A ） 120°（ B） 150°（ C） 60°（D ） 90°6．如图 1， l 1∥ l2，∠ 1=50° , 则∠ 2 的度数是（） （A ） 135°（ B ）130°（ C）50°（ D） 40° 7．如图 2 所示，不能推出AD∥BC的是（）图 1 （A ）∠DAB∠ABC 180（B）∠2∠4 （C）∠1∠3（ D）∠CBE∠ DAE 图 2 8. 如图 3，a∥b，c a ，∠1 130 ，则∠ 2 等于（） （A ） 30°（B）40°（C）50°（D）60° 图 3 9.如图4，AB∥CD，AC BC ，图中与∠ CAB 互余的角 有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
10．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（） （A ）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）都有可能 二、填空题 11．将命题“对顶角相等”改写成“如果 ,, ，那么,,”的形式：如果，那么． 12．如图 5 所示，如果BD 平分∠ ABC ，补上 一个条件作为已知，就能推出AB ∥ CD ． 图 5 13．如图 6，AB∥CD，AF交AB、CD于A，C，CE平分∠DCF，∠1120 ，则2． 图6 图 7 14.如图 7，一个顶角为 40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则 ∠1∠ 2． 15.若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶ 2，则这个三角形的最大内角的外角为． 三、解答题 16.如图 8，直线 AB、CD 相交与点 O，∠ AOD =70o， OE 平分∠ BOC，求∠ DOE 的度数。 A C O 70o E D图8B 17．已知：如图9，BE∥DF，∠B=∠D． 求证： AD∥BC．
北师大版九年级数学上册第一章测试题
北师大版九年级(上) 第一章 证明(二)复习题一、选择题 1、已知等腰三角形的一个角为 75°，则其顶角为（）A.36° B.45° C.60° D.72° 2、等腰直角三角形的斜边长为a ，则其斜边上的高为（ ）A.a 23 B.a 2 C.2a D.a 42 3、如图，△ABC 中，AB=BD=AC ，AD=CD ，则∠ADB 的度数是（ ）A.36° B.45° C.60° D.72°(第3题图) (第4题图) 4、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，CD 、BE 是△ABC 的角平分线，CD 、BE 相交于点O ，则图中等腰三角形有（ ）A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 5.逆命题“两直线平行，同旁内角互补”的原命题是（ ）A.两直线平行，同位角相等 B.两直线平行，内错角相等 C.同旁内角互补，两直线平行 D.同位角相等，两直线平行二、填空题 6、已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 、6cm ，则该等腰三角形的周长为cm. 7、如果等腰三角形的有一个角是 80°，那么顶角是度；8、若等腰三角形的腰长为 4，腰上的高为2，则此等腰三角形的顶角为. 9、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，则∠DBC 的度数是. 10、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D 。若DC=7，则D 到AB 的距离是 . 11、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线 MN 与AB 交于D 点，则∠BCD 的度数为. 12、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为 13、已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点， OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10 cm ，则△ODE 的周长 14、在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB=AD ；②∠BAC=∠DAC ；③BC=DC ，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题： 15、在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于 P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 . 三、解答题 16、如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD 、CD 的长. 17、如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一直线 BE 折叠这个三角形，使点C 与AB 边上的一点D 重合。当∠A 满足什么条件时，点D 恰好为AB 的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明 D 为AB 的中点. 18、已知：如图，△ ABC 中，AB=AC ，∠A=120°. (1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交 BC 、AB 于点M 、N(保留作图痕迹，不写作法 ). (2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想。 19、如图，求作一点P 使PC=PD ，并且使点P 到∠AOB 的两边的距离相等 20、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； · D B
初一数学证明题汇集
(一)证明题练习 1.如图，已知AC AB ⊥，,,12EF BC AD BC ⊥⊥∠=∠，请问AC DG ⊥吗？请写出推理过程； 2.如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥CB ，交AB 于点E ， ∠A =45°，∠BDC =60°，求△BDE 各内角的度数． 3.如图，四边形ABCD 中， E 是AD 中点， CE 交BA 延长线于点F ，且CE ＝EF ． (1)试说明：CD ∥AB ； (2)若BE ⊥CF ，试说明：CF 平分∠BCD ． A D C B 3 2 1 E F G
4. 如图,四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O,则有这样的结论:AC+BD>AB+CD, 你能说出理由吗? O A D C B 5如图，AB=EB ，BC=BF ，CBF ABE ∠=∠.EF 和AC 相等吗?为什么 ? 6.如图, AD ∥BC , AD 平分∠EAC,你能确定∠B 与∠C 的数量关系吗?请说明理由。 1D 2 A E C B
7.如图,已知D 为△ABC 边BC 延长线上一点,DF ⊥AB 于F 交AC 于E,∠A=35°, ∠D=42°,求∠ACD 的度数 . F D C B E A 8.如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且BE=CF,试判断AE 、 BF 的关系，并说明理由 9.如图 AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ． （1）求证AD=AE ； (2) 连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．
(二)解方程组练习 （1）???=-=+5 24y x y x （2）22(1) 2(2)24x y x y -=-??-+-=? （3）???-=-=+35y x y x （4）?? ?=+=-7324 23y x y x
北师大版九年级上册数学全册各章知识点汇总
最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴. ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 1.2 矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 .矩形是特殊的平行四边形. ．． ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角.（矩形是轴对称
图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义). 对角线相等的平行四边形是矩形. 四个角都相等的四边形是矩形. ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.3 正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形. ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ※ ※ 鹏翔教图3
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形. ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. ※夹在两条平行线间的平行线段相等. ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程．．．．．． 2.2 ．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．． 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． . ※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解.
2020最新人教版九年级数学下册全册测试卷(含答案)
二次函数测试题 一、填空题（每空2分，共32分） 1.二次函数y=2x 2 的顶点坐标是 ，对称轴是 . 2.函数y=(x －2)2+1开口 ，顶点坐标为 ，当 时，y 随x 的增大而减小. 3.若点（1，0），（3，0）是抛物线y=ax 2 +bx+c 上的两点，则这条抛物线的对称轴是 . 4.一个关于x 的二次函数，当x=－2时，有最小值－5，则这个二次函数图象开口一定 . 5.二次函数y=3x 2 －4x+1与x 轴交点坐标 ，当 时，y>0. 6.已知二次函数y=x 2－mx+m －1，当m= 时，图象经过原点；当m= 时，图象顶点在y 轴上. 7.正方形边长是2cm ，如果边长增加xcm ，面积就增大ycm 2 ，那么y 与x 的函数关系式是________________. 8.函数y=2(x －3)2 的图象，可以由抛物线y=2x 2 向 平移 个单位得到. 9.当m= 时，二次函数y=x 2 －2x －m 有最小值5. 10.若抛物线y=x 2 －mx+m －2与x 轴的两个交点在原点两侧，则m 的取值范围是 . 二、选择题（每小题3分，共30分） 11.二次函数y=(x －3)(x+2)的图象的对称轴是（ ） A.x=3 B.x=－3 C. 12x =- D. 1 2 x = 12.二次函数y=ax 2+bx+c 中，若a>0,b<0，c<0,则这个二次函数的顶点必在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.若抛物线y=0.5x 2 +3x+m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是（ ） A.m≤4.5 B.m≥4.5 C.m>4.5 D.以上都不对 14.二次函数y=ax 2 +bx+c 的图如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A.a<0,b>0 B.b 2 －4ac<0 C.a －b+c<0 D.a －b+c>0 15.函数是二次函数m x m y m +-=-2 2 )2(，则它的图象（ ） A.开口向上，对称轴为y 轴 B.开口向下，顶点在x 轴上方 C.开口向上，与x 轴无交点 D.开口向下，与x 轴无交点 16.一学生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是3 5 321212++- =x x y ，则铅球落地水平距离为（ ） A. 5 3 m B.3m C.10m D.12m 17.抛物线y=ax 2 +bx+c 与y 轴交于A 点，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S ΔABC =4，则c 的值（ ） A.－5 B.4或－4 C.4 D.－4 (第14题)