幂函数常见题型解析

幂函数常见题型解析

学习幂函数重点是掌握幂函数的图象特征及有关性质，会根据题意求出函数的定义域、值域，下面就一些常见题型选解如下．

例1 求函数22k

n n y x a =-（其中0a ≠，n *∈N ）的定义域和值域，并讨论其奇偶性与单调性．

解：分两种情况讨论：

（1）当k 为偶数时，函数的定义域由220n n x a -≥决定．故22n n x a ≥，得x a ≥，即函数的定义域为{}|x x a x a -，或≤≥．

函数显然是偶函数，它在区间)a ?+?，

∞上为增函数，所以[)0y ∈+，∞；在区间(a --??，∞上为减函数，[)0y ∈+，∞．故函数的值域为[)0+，∞． （2）当k 为奇数时，函数的定义域为R ．

函数显然是偶函数，由于在区间[)0+，∞内函数为增函数，所以)2k

n y a ?∈-+?，∞，在区间(]0-，∞内函数为减函数，所以)2k n y a ?∈-+?，∞，故其值域为)

2k n a ?-+?，∞． 评注：此题将幂函数与根式相结合，运用了分类讨论的思想．关键是分k 为偶数和奇数两种情况讨论，然后根据幂函数的性质解答，所以要求同学们对幂函数的性质要“了如指掌”． 例2 已知幂函数21()()m f x x m -∈Z 的图象与x ，y 轴都无交点，且关于原点对称．

（1）求函数21()m f x x -=的解析式；

（2）讨论函数2()()()b F x a f x f x =-

的奇偶性． 解：（1）因为函数图象与x 轴，y 轴都无交点，所以210m -≤，解得11m -≤≤． 又图象关于原点对称，则21m -为奇数，又因为m ∈Z ，所以0m =，故1()f x x -=．

（2）21()b a F x a x bx x x --=-

=-． ()a F x bx x -=

+，()a F x bx x -=-+，

因此，()F x 的奇偶性，由参数a b ，是否为零决定．

①当0a ≠，且0b ≠时，()F x 是非奇非偶函数；

②当0a =，且0b ≠时，()F x 是奇函数；

③当0a ≠，且0b ≠时，()F x 是偶函数； ④当0a =，且0b ≠时，()F x 既是奇函数又是偶函数．

评注：本题考察了幂函数的图象和解析式的联系．对于幂函数y x α=的图象：

（1）若图象与x ，y 轴都无交点，则0α≤；

（2）若图象过原点，则0α>；

（3）若图象关于y 轴对称，则α为偶数；

（4）若图象关于原点对称，则α为奇数． 例3 已知123x x >，求x 的取值范围．

解：注意到2y x =与13y x =均为幂函数，所以在同一个坐标系中作出它们的图象，不难看出，x 的取值范围是0x <或1x >．

评注：数形结合是解决数学问题的一类重要的思想方法，它将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，使问题变得简单易懂．通过幂函数的图象，可以直观、明了的掌握幂函数的性质．

提示：要特别注意下面的错误．

解：当1x >时，()f x x α=是增函数， ∵123

>，∴123x x >恒成立，故1x >； 当0＜x ＜1时，()a f x x =是减函数，此时有123x x <； 当0x <时，20x >，而13

0x <，

∴123x x >恒成立，故0x <． 当0x =或1x =时，213

x =

． 综上所述，x 的取值范围是1x >或0x <． 以上解法混淆了指数函数和幂函数的概念．指数函数(01)x y a a a =>≠，且中，自变量为指数x ，底数a 为常数；幂函数y x α=中，自变量为底数x ，指数α为常数．我们可以通过比较下面两组数的大小来加深对它们的理解． ①比较0.13与0.53的大小；②比较0.53与0.53.1的大小． 解析：①中两个幂底数相同，则联想指数函数(01)x y a a a =>≠，且，因为3x y =是增函数，所以0.10.533<．②中两个幂指数相同，则联想幂函数y x α=，因为0.5(0)y x x =>为增函数，所以0.50.53 3.1<．

相信通过本篇文章的学习同学们对幂函数又有了新的认识，自己总结一下吧！