多面体外接球半径常见的5种求法(柯建华)

多面体外接球半径常见得5种求法

如果一个多面体得各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体就是球得内接多面体,这个球称为多面体得外接球、有关多面体外接球得问题，就是立体几何得一个重点,也就是高考考查得一个热点、研究多面体得外接球问题，既要运用多面体得知识，又要运用球得知识,并且还要特别注意多面体得有关几何元素与球得半径之间得关系,而多面体外接球半径得求法在解题中往往会起到至关重要得作用、知识回顾：

1、球心到截面得距离ｄ与球半径Ｒ及截面得半径r有以下关系

2、球面被经过球心得平面截得得圆叫．被不经过球心得平面截得得圆叫

３、球得表面积表面积S＝;球得体积Ｖ=

4、球心一定在过多边形（顶点均在球面上)外接圆圆心且垂直此多边形所在平面得垂线上

方法一:公式法

例1一个六棱柱得底面就是正六边形，其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上,且该六棱柱得体积为,底面周长为３，则这个球得体积

为、

解设正六棱柱得底面边长为,高为,则有

∴正六棱柱得底面圆得半径，球心到底面得距离、

∴外接球得半径、、

小结：本题就是运用公式求球得半径得,该公式就是求球得半径得常用公式、（R-球得半径;d—球心到球截面圆得距离，注意球截面圆通常就是顶点在球上多边形得外接圆;r-顶点在球上多边形得外接圆得半径)

方法二：多面体几何性质法

例2已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4，体积为16，则这个球得表面积就是( ）

Ａ、Ｂ、 C、D、

解：设正四棱柱得底面边长为,外接球得半径为,则有，解得、

∴、∴这个球得表面积就是、选C、

小结：本题就是运用“正四棱柱体(包括正方体、长方体)对角线得长等于其外接球得直径"这一性质来求解得、

方法三:补形法

例３：若三棱锥得三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是、

解:据题意可知,该三棱锥得三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为得正方体,于就是正方体得外接球就就是三棱锥得外接球、

设其外接球得半径为,则有、∴、

故其外接球得表面积、

小结:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径、设其外接球得半径为,则有、

PＡ、PB、PC两两垂直采用补形法

方法四:寻求轴截面圆半径法

例４正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为,点都在同一球面上，则此球得体积为、

解设正四棱锥得底面中心为,外接球得球心为,如图3所示、

∴由球得截面得性质，可得、

又,∴球心必在所在得直线上、

∴得外接圆就就是外接球得一个轴截面圆,外接圆得半径就就是外接球得半径、在中，由，得、

∴、

∴就是外接圆得半径,也就是外接球得半径、故、

小结:根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素得外接球得一个轴截面圆,于就是该圆得半径就就是所求得外接球得半径、本题提供得这种思路就是探求正棱锥外接球半径得通解通法,该方法得实质就就是通过寻找外接球得一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究、这种等价转化得数学思想方法值得我们学习、

方法五:确定球心位置法

例5在矩形中，,沿将矩形折成一个直二面角，则四面体得外接球得体积为Ａ、 B、 C、D、

解:设矩形对角线得交点为,则由矩形对角线互相平分,可知、∴点到四面体得四个顶点得距离相等,即点为四面体得外接球得球心,如图2所示、∴外接球得半径、故、选Ｃ、

小结:若四面体或三棱锥得一条棱所对得两个顶角都就是直角，则利用直角三角形知识可知:四面体外接球得球心就就是这条棱得中心，球得半径等于此棱长度得一半。

【练习巩固】

【参考答案】

练习1 【补形法】

【轴截面法】

练习2【补形法】

【轴截面法】

练习3 【补形法】