2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B(含答案解析)

2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B

选择题（本大题共10小题，共50.0分）

设集= {x∣x>l}, B = {X ?X 2

-2X -3<0}.则AnB =（）

A. {x ?x < —1}

B. {x ?x < 1}

C. {x∣ — 1 < % ≤ 1}

D. {x∣l < % < 3} 已知命题3% ≥ SinX > 1,则卡为（）

A. VX ≥ 7? SinX <

1 B ??x < 7* SinX < 1

C. ≡x ≥ =, SinX < 1 D ?V ￡ SinX < 1 函^f （X ）= %3-5的零点所在的区间是（）

A. (‰2)

B. (2,3)

C. (3,4)

D.(勺5)

下列函数中，既是偶函数，又在(-8,0)上单调递减的函数是()

命题 7 ∈ [-‰2], %2-α≥ 0”是真命题的一个充分不必要条件是（） A. α ≥ 4

B. α ≤ -1

C. α S 0 D ? α S 1 已知函数n>)为偶函数，且函数f(x)与0(幻的图象关于直线y =兀对称，若0(2) = 3,贝∣J∕(-3)= () A. —2 B. 2

C. —3

D. 3 已知函数f(x)=x-±, g(x) =x 2- 2ax + 4,若任 j?jc 1 ∈ [0,1]? 存在 ×2 e [X 2]? 使f(xι) ≥ 0(牝)，则实数“的取值

范围为(

)?

9 A.α≥3 B. a≥- C ? a≥2

D ? a ≥4

4 已知函^f(X)=Xlx-2∣f 直线y = α与函数Λ>)的图象有三个交点A 、B 、C,它们的横坐标分 别为Xj., ×2* ×3 ?则x l ÷ x 2 ÷ x 3的取值范围是()

A. (3,4 + √2)

B. (4,3 + √2)

C. (3,4 + √2]

D. R

填空题(本大题共6小题，共30.0分)

计算：G) i ÷ 8s+(2019)° = _________________ 函数y = (% + 2)° — <2 + X 的泄义域是 _______ .

1. 2. 3. 4.

5. 6.

7. &

9. 10. —\

11.

12.

13. A. y = -X 2

B ? y = 2"1x1 C. y = 已知α

A. α > - > -?

B. -? > - > α

C. - > α > -? ^ B ? b b?

b? b b b? 若XV 0,则函数y = χ + ?有（）

A.最小值4

B.最大值4

C.最小值-4 Dy = Igkl D ? l>^>a

D.最大值-4

函数f(x) = -X2 + 6% - 10在区间[0,4]的最大值是____________________

14.若关于A-的方程cos?% - SinX+ α = 0?[0,π]内有解，则实数"的取值范国是______________ ?

15.已知函= e x-x, g(χ)=χ2-bx + 4,若对任意x1∈ (-1,1), x2∈ [1,2],使/(X l) ≥

g(X2)则实数b的取值范围为 ______________ .

16.已知函数f U) = {蔦；；'I 1若直线y = m与函数/XE的图象只有一个交点，则实数加的取

值范围是________ .

三、解答题(本大题共4小题，共40.0分)

17.设集合力={咒哙<2-”<4}, B = {x?x2 - 3mx + 2m2 -Tn-I < 0}?

(1)当%∈Z时，求A的非空真子集的个数;

(2)若B = 0,求m的取值范I科：

(3)若求以的取值范用?

18.已知函=2X2 - 4% - 5.

⑴当XG [-2,2]时，求函数f(x)的最值；

(2)当X ∈ [t,t+ 1]时,求函数fU)的最小值g(t):

(3)在第(2)问的基础上，求g(0的最小值.

19.某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图)，一条海岸线AO {￡城市O的正东方向, 另一条

海岸线OB在城市O北偏东0(tan8 =扌)方向，位于城市O北偏东f 一α(cosα =春)方向

15如2的P处有一个美丽的小岛?旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市。出发沿海岸线OA到达C处，再从海而宜线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市0.设OC =tkm9这条旅游观光线路所围成的三角形区域而积为S(◎?

(1)建立如图所示的平而直角坐标系，请求岀P点坐标并写出写出S(◎关于『的函数关系式:

(2)要使^OCD而积最小，C应选址何处？并求出最小而积?

20.已知二次函= ax2 +bx +c满足下列3个条件：@/(x)的图象过坐标原点：②对于任意X ∈ R都有f(扌

+%) = f(^一X): ③对于任意X ∈ R都Wf(X) ≥X-1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)令g(x) = /(x) + XlX -4m∣-x2 + 5x-32,(其中m为实数)求函数g(x)的单调区间：

(3)?(%)?(0,+∞)±有三个零点，求加的范風

第4贞.共13页

答案与解析

1?答案：D

解析：解：集合力={x∣x>l},

B = {x?x2 - 2x - 3 < 0} = {x∣ - 1 < % < 3}, 则AC?B = [x?l

故选：D.

化简集合B,根据交集的左义写出A∏B.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

2.答案：A

解析：解：由特称命题的否左是全称命题，

所以命题P：3% ≥ ￡, SinX > 1,则飞')、NX≥ 夕，SinX < 1.

故选:A.

利用特称命题的否左是全称命题，写岀结果即可.

本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考査.

3.答案：A

解析：解：由函数f(x) = ∕-5可得f(l)=l-5 = -4V0, /(2) = 8-5 = 3>0, 故有f(l)f(2) V 0,

根据函数零点的判左立理可得，函数∕?(x)的零点所在区间为(1,2),

故选:A.

求得f(l)f(2) V 0?根据函数零点的判左迫理可得函数f(x)的零点所在的区间. 本题主要考査函数的零点的判左泄理的应用，属于基本知识的考查.

4.答案：D

解析：解：y = -x2ι y = 2^,x,? y = |^|? y = IgIXl都是偶函数，

但是y = IglXl在(一8,0)上单调递减.

故选：D.

判断函数的奇偶性与函数的单调性即可得到结果.

本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题.

5?答案：D

解析：?? f>0'莹 V 。' ???> 出豊 - a =丛拧=d ：>H ?.? Q v 0, b + ] V 0,???(!■ —b)> 0,

a a a

历>G ???S> 葩>α?

6.答案：D

解析：

【分析】

本题主要考查基本不等式求最值问题，属于中档题.

? (_?),从而得到y 的

最大值.

【解答】

解：??? XV 0,

.?.y = χ + ^ = -[(-X)+ (-；)] ≤ -町(F )?(-》= 当且仅当一X = --, KPX = -2时等号成立.

X

???函数y = % + '的最大值为一4?

X

7.答案：B

解析：

【分析】

本题考查了充分条件和必要条件，考查不等式恒成立问题，属于基础题.

问题转化为α≤ (x 2)min ,求岀"的范用，结合充分条件和必要条件的龙义判断即可.

【解答】

解:V VX ∈ [—1,2], X 2 — a ≥0t

??. α ≤ (x 2)min = 0,

.?. Wx ∈ [-1,2], x 2-α≥ 0”是真命题的一个充分不必要条件是：α ≤ -1.

故选B.

&答案：B

因为XV0,所以一x>0,结合基本不等式可得一[(—X)+(—?)]< 一2斤孑

_4,

解析：解：???f(x)与g(x)的图象关于直线y = X对称，且g(2) = 3:

??? f(3) = 2：

f(χ)为偶函数;

???/*( 一3) =A3) = 2.

故选:B.

根据Λ>), g(χ)的图象关于直线y = χ对称及g⑵=3便可得到几3) = 2,这样再根据f(χ)为偶函数即可求岀∕,(-3)的值.

考査关于直^y = X对称的点的关系：(χ,y)关于y = χ对称点为(y,χ)>以及偶函数的左义.

9.答案：B

解析；

【分析】

本题以函数为载体，既考査了不等式恒成立的问题，又考查了不等式解集非空的问题.采用变虽分离避免讨论，简化运算，是解决本题的捷径.

【解答】

解：函数Λ>) = χ-±在[o,i]上为增函数，

因此若?x1∈ [0,1],则/(0) =-1≤/(x1) ≤/(1) = ∣,原问题转化为Bx2∈ [1,2],使/(0) =-1 ≥

2)>

即—1 ≥ ×2 — 2ax2 + 4，在区间[1,2]上能够成立，

变形为/+2≤ 2α,在区间[1,2]±至少有一个实数解，

令h(x) =x+由对勾函数性质，1?(1,2)递减，∕ι(2) ≤ h(x) < h(l), h(2) = P

所以2α≥?即α≥j.

故选B.

10.答案：B

解析:

【分析】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质，属中档题, 由分段函数的图象的作法得：fU)=刘尤一21 ={$(；：)；；；(；；；；，作岀y = f(E的图象，由函数图象的性质得x1+ x2 = 2,

2

【解答】

(X-1)2-‰(X≥2)

解: f(x)=x∣x-2∣ =

-(X-I)2+‰ (% < 2)

设函数y = f(x)的图象与直线y = α的交点对应横坐标分别为X1、x2-

则XI +x2 = 2f

令(x-l)2-1 = 1,解得X=I ±@, 所以2 < x3< 1 + √2>

所以4 VXl + %2 + %3 V 3 + V2?

故选:B.

M?答案：7

解析：

【分析】

本题考查有理指数幕的运算性质，是基础的汁算题.

直接利用有理指数幕的运算性质化简求值.

【解答】

解:(τ )"1+ θ + (2019)° =2 + (23) r +1 = 2 +2?+ 1 = 7, 故答案为7.

12?答案：(—2, +∞)

解析：

【分析】

本题考查求函数左义域，属基础题，需要注意：常用的最基本的有(1)分母不为零：(2)偶次根式的被开方数非负：(3)/中x≠0.

【解答】

解：由题意知，x+2≠0且2+x≥0,

.? x>-2, Λ函数的定义域为(一2,+8),

故答案为(-2,+∞).

13.答案：-1

解析：

【分析】

本题主要考査求二次函数在闭区间上的最值，属于基础题.

函=-X2+6X —10 = —(久一3)2 — 1,图象是抛物线，开口向下，关于直线X = 3对称，由此求得函数n>) = -X2 + 6x- 10在区间［0,4］的最大值.

【解答】

解：函^/(x) = -X2 + 6X-IO = -(X - 3)2 - 1,图象是抛物线，开口向下，关于直线X = 3对称, 故在区间［0,4］上，当X = 3时函数f(x)取得最大值为一1,

故答案为：—1.

14.答案：［-1,1］

解析：

【分析】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想.

由题意可得方程* +t-α-i = 0i?［-l,l］上有解，函数f(t) = t2 + t-a- 1的对称轴为t = 一扌，故有f(0) ?f(l) ≤ 0,解此不等式组求得"的取值范围?

【解答】

解：???方程Cos2X —SinX+ α = O, RPSin2x + SinX—α — 1 = 0.

由于％∈ ［0,7r］tΛO ≤ SinX < 1.?

故方程严+t-a-l = O在［0,1］上有解.

又方程* + t-a-l = O对应的二次函数f (t) = t2 + t-a- 1的对称轴为t = 一扌，

故?∕(0) ?∕(l)≤0,即(α-l)(α+l)≤O.

解得一l≤a≤l.

故答案为［-1,1］?

15.答案：[2√3,+∞)

解析：

【分析】

对于任意的"，总存在x2使f(") ≥g(x2)成立成立，只需函数可以转化为f(x)min ≥ g(x)min, 从而问题得解. 本题主要考査函数恒成立问题以及函数单调性的应用，属于对基本知识的考查，是中档题.

【解答】

解：若对任意的xl∈ [-1,2],使Wf(XI) ≥ P(X2),只需f(χy)min ≥ g(x2)^

V Xl ∈ (-1,1), f l(χ) = β* - 1,则心)在(-1,0)上递减，在(0,1)上递增，f(x)min=/(0) = 1, 所以l≥g(x2),由1 ≥ g(x) = x2 - bx + 4得b≥x + [,而(x + ^)mιn= 2√3,

存

故答案为[2√3,+∞).

16.答案：m ≥ 2或m = 0

解析：解：作出函数f(x)的图象如图，

则当x

当x≥l时，f(x)≥0,

则若直线y = Tn与函数f(x)的图象只有一个交点,

则m≥ 2或Tn = 0,

故答案为：m≥ 2或Tn = 0

作出函数f(x)的图象，判断函数的单调性和取值范

围，利用数形结合进行判断即可.

本题主要考査分段函数的应用，作出函数的图象, 利用

数形结合是解决本题的关键.

17?答案：解：因为= W ? ≤ 2"x≤ 4} = {%∣ - 2 ≤ % ≤ 5},

B = {x?x2 - 3mx + 2m2 -Tn-I < 0} = {x?(x -m + I)(X - 2m - 1) < 0}

CL)当尤GZ时，i4 = {-2,-lAlΛ3AS},共有8 个元素,

非空真子集的个数是254个.

(2) 若B = 0,则Zn-I = 2m + 11 所以得τn =—2?

(3) 当B = 0时，则Tn-I = 2m+ 1.所以得Tn= -2,此时4 R 8；

当m < —2时，B = {x ?2m + 1 < % < m — !}?若力 2 B 、

Cm < —2 则2m+l≥-2,解得 Im-I ≤ 5 当m > —2时? B = ［x ?m — 1 < % < 2m + !}?若A B B 、

m > —2

m-l≥-2,解得-ISm ≤ 2,

2m + 1 ≤ 5

综上所述：实数加的取值范围是m = -2或一ISm ≤2.

解析：本题考査不等式的解法.子集的概念，集合关系中参数的范圉等，属基础题??

(1) 化简集合A, B.根据子集圮义求解即可：

(2) 若B = 0,则m — 1 = 2m + If 彳?n = —2：

(3) 若分B = 0,当mV-2时，当m >—2时三种情况考虑，即可解答.

18. 答案：解：(l)f(x) =2(x-I)2-7,

??? f(x)的图象开口向上，对称轴为X = 1,

.?.当X = 1时，f(x)取得最小值/?⑴=-7,当X = 一2时，f(x)取得最大值产(一2) = 11.

(2)若t ≥ 1,则f(x)在［t,t + 1］上单调递增,

??? g(t) = f(t) = 2t 2-4t-5,

若t + ι≤ IRPt < 0,则畑在［t, t + 1］上单调递减，

??? g(t) = f(t + 1) = 2t 2 - 7,

若 t< l

???g(0 =A l ) = 一7?

2t 2-7,t ≤0

-7,0 < t < 1 ?

2t 2-4t-5,t ≥ 1

(3)当t≤0时，g(t)是减函数，

??? g(t)在(-∞, 0］上的最小值为g(0) = -7, 当 0 VtV 1时，g(r) = -7,

当t≥ 1时，g(t)是增函数，

??? g(t)在［l,+8)上的最小值为g(l) = -7,

???g(t)的最小值为一 7?

{ { m < —2

3 ——≤ TM ≤

此时无解:

解析：(1)利用对称轴和开口方向判断f(x)的单调性，再求出最值；

(2) 讨论区间［t f t + 1］与对称轴X = I 的关系，得出f(x)在?t, t + 1］上的单调性，从而得出最小值:

(3) 判断g(t)的单调性，得岀最小值.

本题考查了二次函数的单调性与最值的计算，分类讨论思想，属于中档题.

19. 答案：解：(1)以O 为原点，直线OA 为X 轴建立平而直角坐标系. 据题意，直线OB 的倾斜角为￡—&，

从而直线OB 的方程为y = 3x.

由己知厶POC = a, OP = 15, COSa = 得点P 的坐标为(9,12).

1

74 IllJ I It = 9 时，SAOCD = — × 9 × 27 = > 120.

当t= 10时，S“CQ 取最小值120.

答：当C 地处于城市O 正东方向10佔”处时，能使三角形区域而积最小，其最小而积为120km 2

. 解析：本题考查函数的实际应用和基本不等式的实际应用，考査实际应用能力、推理能力和讣算能 力，属于中档题.

⑴求出％ =总，利用S(t) = ?θC ?y D =→?总即可求解;

(2)利用基本不等式即可求解.

20.答案：解:⑴因为/(0) = 0,所以c = 0.

因为对于任意XGR 都W∕?Q + x)=∕?(∣-x).

所以对称轴‰=p 即一三=?即b = -a,所VλfM=ax 2-ax,

又因≥x -l,所以αx 2 - (α + l)x + 1 ≥ 0对于任意X ∈ R 都成立，

直线PC 的方程为：y =^(x-t)(t≠9), 联立y = 3x,得y =总(寸一七)，y D = 贝肮>5.

当且仅当t-5 = ?>0, RPt = 10时取等号.

L5

(2)①g(X) = XlX 一4m∣ + 4%,

当兀≥ 4τn时，g(χ) = x2 + (4 - 4m)x = [x - (2m _ 2)]2 _ (2m _ 2)2

若2m —2 > 4τn,即m < —1? 则g(x)在(4m, 2m — 2)上递减，在(2τn —2f +8)上递增,

若2m — 2 <4m? 即m≥-1,则g(x)在(4m, +∞)上递增，

当尤 V 4m时，g(x) = -x2 + (4 + 4τri)x = -[x- (2m + 2)]2 + (2m + 2)2,

若2m + 2 < 4m,即Zn > 1,贝巾Cr)在(―∞, 2m + 2)上递增，在(2m + 2,4m)上递减，

若2m + 2 ≥ 4m? 即m ≤ 1? 贝IJg(X)在(―∞j4m)上递增，

综上得：

当Tn > 1时，g(x)的增区间为(一8, 2m + 2), (4m,+∞),减区间为(2m + 2,4m)：

当mV-l 时，PU)的增区间为(一8,4m), (2m - 2,+∞),减区间为(4m, 2m- 2)；当一l≤m≤l时，g(x)的增区间为(一8,+8)；

(3)由(2)得2√J-1

解析：本题主要考查二次函数的知识.

(1)根据题目条件求函数f (X)的解析式.

(2)求解函数的单调性.

(3)求解函数的零点问题.