吉林省长春市2021届新高考数学一模考试卷含解析

吉林省长春市2021届新高考数学一模考试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题3

00:2,80p x x ?>->，那么p ?为（ ）

A ．3

002,80x x ?>-≤ B ．32,80x x ?>-≤ C ．3

002,80x x ?≤-≤ D ．32,80x x ?≤-≤

【答案】B 【解析】 【分析】

利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】

已知命题0:2p x ?>，3

80x ->，那么p ?是32,80x x ?>-≤. 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．若点

位于由曲线

与

围成的封闭区域内（包括边界），则

的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】 画出曲线

与

围成的封闭区域，

表示封闭区域内的点

和定点

连线的斜

率，然后结合图形求解可得所求范围． 【详解】 画出曲线

与

围成的封闭区域，如图阴影部分所示．

表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，

设，结合图形可得或，

由题意得点A,B 的坐标分别为，

∴

，

∴或，

∴

的取值范围为

．

故选D ． 【点睛】

解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把

看作两点间连线的斜率；二是要正

确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 3．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)??>个单位得到函数sin 26y x π??

=+ ??

?

的图像，则?的最小值为（ ） A ．

6

π B ．

12

π

C ．

1112

π

D ．

56

π 【答案】B 【解析】 【分析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】

将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)??>个单位，

得到sin 2()sin(22)y x x ??=+=+， 此时与函数sin(2)6

y x π

=+的图象重合， 则226

k π

?π=+

，即12

k π

?π=+，k Z ∈，

∴当0k =时，?取得最小值为12

π

?=

，

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 4．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5

C ．{}3,5

D ．{}1,2,3,4,5,7

【答案】C 【解析】

分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .

详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,

{}3,5A B ∴?=,

故选C

点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.

5．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为

(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）

A ．1212,()()p p E E ξξ><

B ．1212,()()p p E E ξξ

C ．1212,()()p p E E ξξ>>

D ．1212,()()p p

E E ξξ<<

【答案】A 【解析】

分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球，

有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，

红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；

如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，

对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.

点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果. 6．若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为60°，则体积为( ) A ．

3

3

π B ．

63

π C ．

23

3

π D ．

26

3

π 【答案】D 【解析】 【分析】

设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为23可得半径r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】

设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，1

23232

r r ??=，解得2r =， 所以圆锥的体积2

133

V r r π=?=26

3

π. 故选：D 【点睛】

本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.

7．函数1()1x

x

e f x e

+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．

D ．

【答案】D 【解析】

由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称， 且()1111()1111x

x x x

x x e e e f x f x e e e ----+

++-=

==-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.

8．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且

||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22

1255

x y +=

B ．22

13616

x y +=

C ．22

13010x y +

= D ．22

14525

x y +

= 【答案】B 【解析】

由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．

在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=(

)

2

222PF 45

48FF -=

-='，

由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣

=16，

所以椭圆的方程为22

13616

x y +=．

故选B ．

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．

9．已知a r ，b r ，c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r

，则232a c a b c +++-r r r r r 的最小值（ ）

A B ．

C D ．5

【答案】A 【解析】 【分析】

由于a b ⊥r r

，且为单位向量，所以可令()1,0a =r ，()0,1b =r ，再设出单位向量c r 的坐标，再将坐标代入

232a c a b c +++-r r r r r

中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．

【详解】

解：设(),c x y =r ，()1,0a =r ，()0,1b =r ，则22

1x y +=，从而

232+++-=

r r r r r a c a b c

=

=

≥=

故选：A 【点睛】

此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 10．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．

1

2

B ．12

-

C ．

12

i D ．12

i -

【答案】A 【解析】 【分析】

由()1i z i +=得1z i

i

=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】 因为(1)i z i +=,

所以22

(1)1111(1)(1)1122

1i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为1

2

. 故选A. 【点睛】

本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共

轭复数,转化为乘法运算.

11．已知函数()x

f x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）

A B ．

14

C ．

1

16

D ．

1

4

或4 【答案】C 【解析】 【分析】

对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】

分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a m

a m ?=?=?，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，

22m m

a m a m ?=?=?

，所以12m

a =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】

本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养. 12．在3

11(21)x x ?

?++ ???

展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ．7

【答案】D 【解析】 【分析】

求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。 【详解】

3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项分别为：

()()3

33121C x =,()1

123216C x x ?=，

所以3

11(21)x x ?

?++ ???展开式中的常数项为：11167x x

?+?=. 故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．()6

2122x x x ??+- ??

?的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. 【答案】3 -260 【解析】 【分析】

(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出6

12x x ??- ??

?展开式中的常数项与含21x 的系数，再求

()6

2

122x x x ?

?+- ??

?展开式中的常数项.

【详解】

将1x =代入()6

2

122x x x ??+- ??

?，得所有项的系数和为3.

因为的展开式中含21x 的项为()424

621602C x x x ??-= ???，6

12x x ??- ??

?的展开式中含常数项()33

3

6

12160C x x ??-=- ???，所以()6

2122x x x ?

?+- ??

?的展开式中的常数项为60320260-=-.

故答案为：3； -260 【点睛】

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.

14．已知非零向量,a b r r 的夹角为3

π

，且

1,2b a b =-=r r r a =r

______.

【答案】1 【解析】 【分析】

由已知条件得出2244||||cos ,3a a b a b b -??<>+=r r

r r r r ,可得22||||10a a --=r r ，解之可得答案.

【详解】

向量a b r r ，的夹角为3

π,且2||a b -=r r ,||1b =r ,可得:2244||||cos ,3a a b a b b -??<>+=r r r r r r ,

可得2

2||||10a a --=r

r , 解得||1a =r

， 故答案为:1. 【点睛】

本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.

15．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外

商不同的投资方案有____种． 【答案】60 【解析】

试题分析：每个城市投资1个项目有3

3

43C A 种，有一个城市投资2个有2

1

2

423C C C 种，投资方案共

33

43C A 2124

23243660C C C +=+=种. 考点：排列组合.

16．函数()f x __________． 【答案】(],0-∞ 【解析】

由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()ln 1

x ax f x x

++=

.

（1）若对任意x >0，f （x ）<0恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2（x 1

1221

2x x x x +>. 【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出()'

f

x ，判断函数()f x 的单调性，求出函数()f x 的最大值，即求a 的范围；

（2）由（1）可知， ()()120,1,1,x x ∈∈+∞.对2x 分()21,2x ∈和[

)22,x ∈+∞两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论． 【详解】 （1）由()ln 1ln 1x ax x f x a x x x ++==++，得()'2ln x

f x x

=-.

令()'

0,1f

x x =∴=.

当01x <<时，()'

0f

x >；当1x >时，()'0f x <；

()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()()max 11f x f a ∴==+.

Q 对任意()0,0x f x ><恒成立，10,1a a ∴+<∴<-.

（2）证明：由（1）可知，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，

()()120,1,1,x x ∴∈∈+∞.

若()21,2x ∈，则()220,1x -∈， 令()()()()ln 2ln 11

2,0122x x g x f x f x x x x x x

-=--=

+--<<-- ()()()

()()2

'22222

ln 11ln 2ln 2ln ln 02x x x x x g x x x x x x ??--+--??∴=-->--=->-

()g x ∴在()0,1上单调递增，()()()()10,2g x g f x f x ∴<=∴<-，

()()()1122f x f x f x ∴->=.

()110,1,21,x x ∈∴->Q 又21>x ，()f x 在()1,+∞上单调递减，

12122,2x x x x ∴-<∴+>.

若[

)22,x ∈+∞，则122x x +>显然成立. 综上，122x x +>.

又22122112212,2x x x x x x x x +≥=+≥= 以上两式左右两端分别相加，得

()22122112212x x x x x x x x +++≥+，即22121221

x x x x x x +≥+， 所以22

1221

2x x x x +>. 【点睛】

本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.

18．已知函数()2

x ax f x e

=，直线1y x e =为曲线()y f x =的切线（e 为自然对数的底数）．

（1）求实数a 的值；

（2）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()()1min ,0g x f x x x x ?

?=->????

，若函数

()()2h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．

【答案】（1）01a x ==；（2）31,2e ??-∞- ??

?. 【解析】