最新导数及其应用高考题精选(含答案)
导数及其应用高考题精选
1.(2010 ·海南高考·理科T3)曲线2
x
y x =+在点()1,1--处的切线方程为( )
(A )21y x =+ (B )21y x =- (C )23y x =-- (D )22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选 A.因为 2
2
(2)y x '=+,所以,在点()1,1--处的切线斜率1
2
2
2(12)
x k y =-'
==
=-+,所以,切线方程为12(1)y x +=+,即21y x =+,故选A.
2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润y (单位:
万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为3
1812343
y x x =-+-,
则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
(A) 13万件 (B) 11万件 (C) 9万件 (D) 7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选C ,2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去),当9x <时'0y >;当9x >时'0y <,故当9x =时函数有极大值,也是最大值,故
选C.
3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=2
x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为( ) (A )
1
12
(B) 1
4 (C) 13 (D)
712
【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标,再利用定积分求面积.
【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标为
(0,0),(1,1),故所求封闭图形的面积为123
0x -x )dx=
?(111
1-1=3412
??,故选A.
4.(2010·辽宁高考理科·T10)已知点P 在曲线y=4
1
x e +上,α为
曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) (A)[0,4
π) (B)[,)42
ππ 3(,
]24
ππ
(D) 3[
,)4
π
π 【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率。
【思路点拨】先求导数的值域,即tan α的范围,再根据正切函数的性质求α的范围。 【规范解答】选D.
[)224,1444'1
1(1)()21221
0'0,1'01tan 0,30D 4
x
x x x x x x x
x x x y e e e y e e e e e e
e x e
y y ααπ
απαπ=
+---∴===≥=-++++++=<∴-≤<-≤<∈∴
≤<当且仅当=,即时“=”成立。
又。设倾斜角为,则又,,。故选
5.(2010·湖南高考理科·T4)4
2
1
dx x
?等于( ) A 、2ln 2- B 、2ln 2 C 、ln 2- D 、ln 2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
【思路点拨】记住x 1
的原函数.
【规范解答】选D .421
dx x
?=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.(2010·江苏高考·T8)函数y=x 2
(x>0)的图像在点(a k ,a k 2
)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,k N *∈其中,若a 1=16,则a 1+a 3+a 5的值是________
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率,然后求得切线方程,再由0y =,即可求得切线与x 轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x 2(x>0)得,2y x '=,
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为:
22(),
k k k y a a x a -=-
当0y =时,解得2
k
a x =, 所以1135,1641212
k
k a a a a a +=
++=++=. 【答案】21
7.(2010·江苏高考·T14)将边长为1m 正三角形薄片沿一条平
行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记2
(S =梯形的周长)
梯形的面积
,则
S 的最小值是____ ____。
【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用,以及等价转化思想。
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x ,然后用x 分别表示梯形的周长和面积,从而将S 用x 表示,利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x ,
则:22
2
(3)(01)1x S x x -==<<- 方法一:利用导数的方法求最小值。
22(3)()1x S x x -=-
,2222(26)(1)(3)(2)
()(1)x x x x S x x -?---?-'=-
222222
(26)(1)(3)(2)2(31)(3)(1)(1)x x x x x x x x -?---?----==-- 1
()0,01,3
S x x x '=<<=,
当1(0,]3x ∈时,()0,S x '<递减;当
1
[,1)3
x ∈时,()0,S x '>递增; 故当13
x =时,S
。
方法二:利用函数的方法求最小值
令
111
3,(2,3),(,)
32
x t t
t
-=∈∈,则:
2
2
2
441
86
68
331
t
S
t t
t t
=?=?
-+--+-
故当
131
,
83
x
t
==时,S的最小值是323
3
。
【答案】323
3
【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一,高考不但在填空题中考查,还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段,常见的求函数的最值的常用方法有:换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。
8.(2010·陕西高考理科·T13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为;
【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算,属送分题。【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可
【规范解答】阴影部分的面积为11
23
3 1.
S x dx x
===
?
阴影
所以点M取自阴影部分的概率为
11
313
S
P
S
===
?
阴影
长方形
答案:
1
3
9.(2010 ·海南高考·理科T13)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分
1
()f x dx ?
,先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数
1x ,2x …,N x 和1y ,2y …,N y ,由此得到N 个点(,)i i x y (i=1,2,…,N ),在
数出其中满足1y ≤1()f x ((i=1,2,…,N ))的点数1N ,那么由随机模拟方法可得积分1
0()f x dx ?的近似值为 . 【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.
【思路点拨】由随机模拟想到几何概型,然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知,,x y 所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形,而满足i y ≤()i f x 的点(,)i i x y 落在y=f(x)、0y =以及1x =、
0x =围成的区域内,由几何概型的计算公式可知1
0()f x dx ?的近似值为
1
N N
. 答案:
1
N N
10.(2010·北京高考理科·T18)已知函数f (x )=In(1+x )-x +2
2
k x , (k ≥0)。
(Ⅰ)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x )的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用,考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】(1)求出'(1)f ,再代入点斜式方程即可得到切线方程;
(2)由k 讨论'()f x 的正负,从而确定单调区间。 【规范解答】(I )当2k =时,2()ln(1)f x x x x =+-+,1
'()121f x x x
=-++ 由于(1)ln 2f =,3
'(1)2
f =
, 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2
y x -=- 即 322ln 230x y -+-=
(II )1(1)'()111x kx k f x kx x x
+-=
-+=++,(1,)x ∈-+∞. 当0k =时,'()1x
f x x
=-+.
所以,在区间(1,0)-上,'()0f x >;在区间(0,)+∞上,'()0f x <. 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-,单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时,由1()
'()01k
kx x k f x x --
==+,得10x =,210k x k
-=> 所以,在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上,'()0f x >;在区间
1(0,)k
k
-上,'()0f x < 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞,单调递减区间是
1(0,)k
k
-. 当1k =时,2
'()1x f x x
=+ 故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞.
当1k >时,1()
'()01k
kx x k f x x --
==+,得1
1(1,0)k x k
-=∈-,20x =. 所以在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上,'()0f x >;在区间1(,0)k
k
-上,'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞,单调递减区间是
1(,0)k
k
- 【方法技巧】
(1)()y f x =过00(,())x f x 的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-。