《概率论与数理统计》习题及答案 第八章

《概率论与数理统计》习题及答案

第 八 章

1.设12,,

,n X X X 是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指

数分布，λ未知,给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设00:H λλ≥的2

χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥

选统计量 2

001

22n

i

i X

nX χλλ===∑

记

2

1

2n

i

i X

χλ

==∑

则2

2

~(2)n χχ,对于给定的显著性水平α，查2

χ分布表求出临界值2

(2)n αχ,使

22

((2))P n αχχα≥=

因 22

χχ>，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥?≥，从而 2222

{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥ 可见00:H λλ≥的否定域为22

(2)n αχχ≥.

2．某种零件的尺寸方差为2

1.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32．５6, 29.6６, 31.64, 30.00, 2１.87, 3１．0３。设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是3２.50毫米(0.05α=）．

解 问题是在2

σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中

29.4632.50

2.45 6.771.1

X u -=

=

?=-

0.025

1.96u =，因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是3２．５

毫米。

3．设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本,计算平均值15８0，问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于160０。

解 问题是在2

σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥

0H 的否定域为/2u u α<-，其中 15801600

5.1 1.02100X u -==?=-.

0.05

1.64u -=-.

因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于１600.

４．一种元件,要求其使用寿命不低于1０00小时，现在从这批元件中任取２５件,测得其寿命平均值为９5０小时,已知该元件寿命服从标准差为

100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格?（0.05α=)

解 设元件寿命为X ，则2

~(,100)X N μ,问题是检验假设0:1000H μ≥． 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中

9501000

5 2.5100

X u -=

=

?=-

0.05 1.64u = 因为

0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格.

5.某批矿砂的５个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？

解 问题是在2

σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=

0H 的否定域为 /2||(4)t t α>

52

2

1

13.252,(5)0.00017,

0.0134i i X S X X S ===-?==∑

0.005(4) 4.6041t =

3.252 3.25

2.240.3450.013

X t -==?=

因为

0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=

所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3．２5.

6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为１00公斤，每天开工后要检

验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05α=；已知包重服从正态分布)?

解 99.98X =,92

2

1

1(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =,

问题是检验假设0:100H μ=

0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中

99.98100

30.051.21

X t -==?=-

0.025(8) 2.306t =

因为

0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.

7．按照规定,每10０克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于2１毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取1７个,测得维生素C 的含量（单位：毫克)如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.

已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。

(0.025)α=

解 设X 为维生素C 的含量，则2

~(,)X N μσ，

220,419.625X S ==,20.485S =，17n =. 问题是检验假设0:21.H μ≥

（1）0:21H μ≥．

（2）选择统计量t 并计算其值:

0.20X t =

==- （3)对于给定的0.025α=查t 分布表求出临界值0.025()(16) 2.2t n t α==.

（４)因为0.025(16) 2.200.20t t -=-<-=。所以接受0H ，即认为维生素含量合格．

8．某种合金弦的抗拉强度2

~(,)X N μσ,由过去的经验知10560μ≤(公斤/厘米2)，今用新工艺生产了一批弦线，随机取1０根作抗拉试验，测得数据如下：

10512，1０623，1０６６8,10554,107７6，

1０7０7,1０5５７,10５81，1066６,10670．

问这批弦线的抗拉强度是否提高了？(0.05α=)

解 10631.4X =，2

6558.89S =，80.99S =,10n =． 问题是检验假设

0:10560H μ≤

（1)0:10560H μ≤. (2)选统计量并计算其值.

X t =

=

2.772=

（3）对于0.05α=,查t 分布表,得临界值0.05(9)(9) 1.833t t α==. (4）因0.05(9) 1.833 2.772t t =<=，故否定0H 即认为抗拉强度提高了。 9．从一批轴料中取1５件测量其椭圆度,计算得0.025S =,问该批轴料椭圆

度的总体方差与规定的2

0.0004σ=有无显著差别？（0.05α=,椭圆度服从正态分布）。

解 2

0.025,0.00065,15S S n ===,问题是检验假设2

0:0.0004H σ=.

(1)22

00:0.0004H σσ==.

（2）选统计量2

χ并计算其值

2

2

20

(1)140.00065

22.750.0004

n S χσ-?=

=

=

(3）对于给定的0.05α=，查2

χ分布表得临界值

222

/20.0251/2(14)(14)26.119,(14)ααχχχ-==20.975(14) 5.629χ==. （4）因为222

0.9750.0255.62922.7526.119χχχ=<=<=所以接受0H ，即

总体方差与规定的2

0.0004σ=无显著差异。

10．从一批保险丝中抽取1０根试验其熔化时间,结果为 42,６5，75,78，71，59，５7，68，54,55．

问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？（0.05α=，熔化时间服从正态分布).

解 62.4X =,2

121.82,

10,S n == 问题是检验假设20:80H σ≤.

(１）22

00:80H σσ≤=；

(２)选统计量2

χ并计算其值

2

2

20

(1)9121.82

13.70580

n S χσ-?=

=

=

(3）对于给定的0.05α=,查2

χ分布表得临界值

22

0.05(1)(9)16.919n αχχ-==.

(4）因22

0.0513.70516.919χχ=<=,故接受0H ，即可以认为方差不大于80。

11．对两种羊毛织品进行强度试验,所得结果如下 第一种 13８，12７，134,１2５;

第二种 134，１37，13５,１40，１３0,１34.

问是否一种羊毛较另一种好?设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。(0.05)α=

解 设第一、二种织品的强度分别为X 和Y ，则2

1~(,),X N μσ

22~(,)Y N μσ

211131,36.667,4X S n ===

2

22135,

35.2,

6Y S n ===

问题是检验假设012:H μμ= （１)012:H μμ= （2)选统计量T 并计算其值.

T =

=

1.295=-

(3）对于给定的0.05α=,查t 分布表得临界值/212(2)t n n α+-

0.025(8) 2.3069t ==.

(４)因为0.025|| 1.295 2.3069(8)t t =<=，所以接受假设,即不能说一种羊毛较另一种好。

12.在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为

旧品种 78.1, 72.4, 76．2， 74.3, ７7.4, 7８.4, 76.0, 7５.5， 7６．7， ７7.3; 新品种 ７９．1， ８1.0, ７7.３, ７9.1, ８0.０, 79.1, ７9．1, ７７.３, ８0.2， 82.1;

设这两个样本相互独立,并都来自正态总体（方差相等),问新品种的产量是否高于旧品种?(0.01α=）

解 设X 为新品种产量，Y 为旧品种产量;2

1~(,)X N μσ，

22~(,)Y N μσ,问题是检验假设

012:H μμ≥

79.43X =，2

1 2.2246S =,110n = 76.23Y =，2

2 3.3245S =，210n =

选统计量T 并计算其值：

T =

4.2956=

=

对给定的0.01α=,查t 分布表得临界值0.01(18)(18) 2.5524t t α==． 因为0.014.2956 2.5524(18)T t =>-=-故接受0H ,即新品种高于旧品种.

1３.两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件,量其长度得

22

120.345,0.357S S ==，假定零件长度服从正态分布,问可否认为两台机床加

工的零件长度的方差无显著差异?(0.05)α= 解 2

110.345,6,S n ==

2

220.357,9S n ==

问题是检验假设

22012:H σσ=

选统计量F 并计算其值

21220.345

0.96640.357

S F S ===

对给定的0.05α=查F 分布表得临界值/20.025(5,8)(5,8) 4.65F F α==，

0.9751

(5,8)0.14796.76

F =

=． 因 0.9750.025(5,8)0.14790.9664 4.65(5,8)F F F =<=<=故接受0H ,即无显著差异.

1３.甲、乙两台机床加工同样产品,从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位:mm)为

甲:２0.5, 19.8, 19.7, 20.４, 20.1, 2０.０, 19.0, １９．９; 乙:19．７, 20．８, 20.5, １9．8, 19.４, 20．6, １9.２.

问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？(0.05α=,产品直径服从正态分布。)

解 设甲加工的直径为X ，乙为Y . 2

11~(,)X N μσ，2

22~(,)Y N μσ．

19.925X =，2

10.2164S =,18n = 20Y =, 2

20.3967S =，27n =

问题是检验假设

22

012:H σσ=

选统计量F 并计算其值 120.21640.54550.3967

S F S ===. 对

于

给定

的

0.05α=，查F

分布表得临界值

/20.025(7,6)(7,6) 5.70F F α==,0.9751

(7,6)0.19535.12

F =

= 因0.9750.025(7,6)0.19530.5455(7,6) 5.70F F F =<=<=,故接受0H ,即精度无显著差异.

14．一颗骰子掷了1２０次,得下列结果：

问骰子是否匀称?(0.05α=）

解 用X 表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1,2，3，4，５，6。问题是检验假设

01

:(),1,2,,6.6i H p P X i i ===

= 这里6k =，01

,120,6

i p n ==

020i np =，{}i A i =故

226

2

0110

()(20)96

4.82020k

i i i i i i n np n np χ==--====∑∑

查2χ分布表，得临界值220.05(1)(5)11.071k αχχ-==因为22

0.05

4.8 1.071χχ=<=

故接受0H ，即骰子匀称。

15．从一批滚珠中随机抽取5０个，测得它们的直径(单位:mm)为

是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布?（0.05α=)

解 数据中最小的为１４.2，最大者为15.９，设14.05,16.15a b ==，

欲把[,]a b 分成七个（相等的)区间，则区间长度（组距)为16.1514.05

0.37

-=得

分点12314.35,14.65,14.95,y y y ===45615.25,15.55,15.85.

y y y ===它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组:

设钢珠的直径为X ,其分布函数为()F x ，我们的问题是检验假设：

0:()(

)x H F x μ

σ

-=Φ． 其中2,μσ未知.

在0H 成立之下，

μ和2σ的极大似然估计为

15.1X μ==,2

21

1()0.1849n

i i X X n σ==-=∑,0.43σ=．

在上面的表中第1组和第７组的频数过小,把它们并入相邻的组内,即分成５组，分点为114.65t =,214.95t =，315.25t =，415.55t =.

1114.6515.1

()()1(1.04)0.14920.43

p F t -==Φ=-Φ=

21214.9515.1

()()()0.14920.43

p F t F t -=-=Φ-

1(0.35)0.14920.214=-Φ-=

32315.2515.1

()()()0.36320.43

p F t F t -=-=Φ-

(0.35)0.36320.2736=Φ-=

43415.5515.1

()()()0.43

p F t F t -=-=Φ-

(1.04)0.63680.218=Φ-=

4515.5515.1

1()1()0.14520.43

p F t -=-=-Φ=

统计量

2

5

2

21

()~(2)i i i i

n n p n p χχ=-=∑

即2 1.24997χ=,对于0.05α=查2χ分布表得临界值22

0.05(2)(2) 5.991αχχ==.

因22

0.051.24997 5.991(2)χχ=<=，故接受0H ，即认为钢珠直径服从

正态分布(15.1,0.1849)N ． 1６．设413

(

,),1,2,3,(,2)222

i i i A i A -===，假设随机变量X 在(0,2)上是均匀分布的，今对X 进行10０次独立观察,发现其值落入(1,2,3,4)i A i =的频数分别为３0,20，3６,14,问均匀分布的假设,在显著性水平为

０.05下是否可信。

解 检验假设:0:~[0,2]H X U

统计量

4

2

221()

11.68,~(41)i i i i

n np np χχχ=-==-∑

对于0.05α=，查得2

0.05(3)7.815χ= 因为

22

0.0511.687.815(3)χχ=>=

所以不接受0H ,即不能相信~[0,2]X U .

习 题 九

1.一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理,然后进行缩水试验，设每种工艺处理４块布样，测得缩水率的结果如下表

问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响(0.01)=

解 123455,4,20m n n n n n n =======,查附表5得

0.010.01(1,)(4,15) 4.89F m n m F --==.

因为9.6095 4.89>，所以工艺对缩水率有显著影响.

2.灯泡厂用４种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验,得到下表的结果(单位:小时）,问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响?(0.01α=）

解 12344,7,5,8,6,26m n n n n n ======,查附表5得

0.010.01(1,)(3,22) 4.82F m n m F --==

2(124)591.38526

P ==,1286.092Q =，2937R = 1650.908e S R Q '=-=，1

16.509100e e

S S '== 694.707A S Q P '=-=，1

6.947100

A A

S S '==

因为0.013.18 4.82(3,22)F F =<=,故不显著.

3.在单因素试验方差分析模型式(9.２）中,i μ是未知参数(1,2,,)i m =,

求i μ的点估计和区间估计．

解 因为2

~(,)i i X N μσ,所以i μ的点估计为

?,1,2,,i i X i m μ

?==．

由定理9．１知22

/~()e S n m σχ-,再由定理 6.1知i X ?与

221

1()1i

n i

ij i j i S X X n ?==--∑相互独立,又由ij X 独立,知i X ?与22212,,,m S S S 独立,

从而21

(1)m

e i

i i S n

S ==

-∑与i X ?独立,又

~(0,1)N

由t 分布的定义知

~()t n m -

其中 /()e e S S n m =-

对于给定的α,查t 分布表求出临界值/2()t n m α-，使

/2()1P t n m αα?

?<-=-??

在上式括号内将i μ暴露出来得i μ在置信度1α-下的置信区间

/2/2((.i i X t n m X t n m αα???--+- ?

4．在单因素试验方差分析模型式(9.2）中,2

σ是未知参数，试证

2

e S n m

σ=

-是2σ的无偏估计，且2

σ的1α-下的置信区间为 22

/21/2,.()()e e

S S n m n m ααχχ-?? ?--??

证:因为22/~()e S n m σχ-,所以2

(/)e E S n m σ=-,即

2()e ES n m σ=-

于是

21e e S E ES n m n m

σ??== ?--?? 故

e S n m

-是2

σ的无偏估计; 因为22

/~()e S n m σχ-

所以对于给定的α，查2

χ分布表求出临界值2

/2()n m αχ-和2

1/2()

n m αχ--

使得

221/2/22

(()())1e

S P n m n m ααχχασ

--<

<-=-

式中将2

σ暴露出来得

222/21/21()

()e e

S S P n m n m αασαχχ-??<<=- ?--??

故2

σ的置信度为1α-下的置信区间为

2

2

/21/2,.()()e

e

S S n m n m ααχχ-?? ?--??

证毕 5．验证式（９.24)的解,a b 能使21

(,)()n

i

i i Q a b y

a bx ==--∑达到最小值.

证:,a b 是函数21

(,)()n

i

i i Q a b y

a bx ==

--∑的驻点. 而

2222

22

112,2,2n n

i i i i Q Q Q A n B X C X a a b b ==???======????∑∑ 222

114n n i i i i AC B n X X ==?????=-=-?? ???????

∑∑

由柯西不等式知0?>,而0,0A C >>所以(,)a b 是(,)Q a b 的极小点，而(,)Q a b 存在最小值，故,a b 能使(,)Q a b 达到最小值．

６．利用定理9.2证明,在假设0:0H b =成立的条件下,统计量

~(2)xx b

t L t n =

- 并利用它检验9.２中例1所得的回归方程的显著性(0.01)α=

证：因为2

~(,

)xx

b N b L σ ~(0,1)xx b b

L N -

在0:0H b =~(0,1)xx b

L N

又

2

22

(2)~(2)n S n χσ

--

由t 分布的定义知

~(2)xx

xx b

L b t L t n σ

==-. 证毕

今利用t 统计量检验回归方程的显著性.

6.133xx b t L =

== 对于给定的0.01α=查t 分布表得临界值0.01(10) 2.7638t =.

因为0.016.133 2.738(10)t t =>=，所以回归方程显著. 7．利用定理９.2证明回归系数b 的置信区间为

/2/2(2),(2)b t n b t n L L αα?? ?--+- ???

并利用这个公式求9.２中例1的回归系数b 的置信区间(置信度为0．95）.

解 由定理9．2知

~(2)xx b b

t L t n -=

- 对于给定的α,查t 分布表求出临界值/2(2)t n α-，使

/2/2{(2)(2)}1xx b b

P t n L t n ααα---<

<-=- 在上式的大括号内，将b 暴露出来得

/2/2{(2)

(2)

}1P b t n b b t n L L ααα--<<+-=-

故b 的置信度为1α-下的置信区间为

/2/2(2),(2)

b t n b t n L L αα??

?--+- ???

证毕 在例1中 27.156b = 12n =，10.897S =, 6.056xx L =

0.025(10) 2.228t =.

所以b 的置信度为0.9５下的置信区间为(17.291,37.021)

8．在钢线碳含量(%)x 对于电阻(20y ℃时，微欧)效应的研究中,得到以下的数据

x

０.０0．３0 0.4０ 0．55 0.70 ０．80．95

１

０

y

15

１8

19

21

22.６ ２

３.8

2６

设对于给定的,x y 为正态变量，且方差与x 无关. (1）求线性回归方程y a bx =+； (２）检验回归方程的显著性;

（3)求b 的置信区间（置信度为0．95）；

（4）求y 在0.50x =处的置信度为0.95的预测区间．

0.543x =, 20.77y = 7

22

17 2.595 2.0640.531xx i i L x

x ==

-=-=∑,

7

22173104.23019.7584.45yy i

i L y

y ==-=-=∑,

7

1

785.6178.947 6.663xy i

i i L x

y xy ==-=-=∑,

(1) 12.55xy xx

L b L =

=， 13.95a y bx =-=,

所以回归方程为 13.9512.55.y x =+ (2）我们用方差分析表来检验回归方程的显著性

其中 ,

,2

xy yy U bL Q L U Q n ==-=

-． 查F 分布表求出临界值0.01(1,5)16.62F =

因为 0.01503.6116.62(1,5),F F =>= 所以回归方程高度显著．

（3)由第7题知,b 的置信度为1α-下的置信区间为

/2/2(2),(2)b t n b t n L L αα

?? ?--+- ???

此处

0.02512.55,7,0.05,(5) 2.5706

b n t α====，

2()yy xy S L bL =- /(2)0.166n -

=．

所以b 的置信度为0.9５下的置信区间为(１１.112, １３.98７）

（４）0.0257,0.53,0.531,0.407,(5) 2.5706xx n x L s t =====，

00.50x =.

0/2()(1)x t n αδ=-

2.57060.407 1.12=?=

013.9512.550.520.225y =+?= 故y 在0.50x =处的置信度为0．95的置信区间为

00((0.5),(0.5))(19.105,21.345)y y δδ-+=

9.在硝酸钠3()NaNO 的溶解度试验中，对不同的温度t C 测得溶解于100ｍl 水中的硝酸钠质量Y 的观测值如下：

i t ０ 4 １ ８ i y

６6．7

71.0

7６.3

８0.6

8５．7

92.９

99.6 1１

3.６

125.1

从理论知Y 与t 满足线性回归模型式（9.20） (１)求Y 对t 的回归方程；

(2)检验回归方程的显著性(0.01)α=；

（3）求Y 在25t =℃时的预测区间（置信度为０．95）. 解

26,

90.2t y ==

9

22191014460844060,tt i

i L t

t ==-=-=∑

91924646.621106.83539.8ty i

i i L t

y t y ==-=-=∑, 9

221

976317.8273224.363093.46yy i

i L y

y ==-=-=∑

0.87187,67.5313,ty tt

L b a y bt L =

==-=

2

()/7 1.0307, 1.0152yy ty S L bL S =-==

（１)Y 对t 的回归方程为

67.53130.87187y t =+；

（２)方差分析表如下

查Ｆ分布表求出临界值0.01(1,7)12.25F =

因 0.012996.3612.25(1,7)F F =>>=，故方程高度显著. (3)067.53130.871872589.3281y =+?=

/2(25)(2)t n S αδ=-? 2.3646 1.0152 1.05 2.53=??=

Y 在25t =℃时的置信度为0.95下的预测区间为

00((25),(25))(86.79,91.85))y y δδ-+=.

１0.某种合金的抗拉强度Y 与钢中含碳量x 满足线性回归模型式(9.20）今实测了92组数据(,)(1,2,

,92)i i x y i =并算得

0.1255,45.7989,0.3018,2941.0339,26.5097xx yy xy x y L L L ===== (1）求Y 对x 的回归方程;

(2)对回归方程作显著性检验(0.01)α=;

（3)当含碳量0.09x =时求Y 的置信度为0.９5的预测区间;

(4）若要控制抗拉强度以0．95的概率落在(38，５２)中,那么含碳量x 应控制在什么范围内？ 解 （1）87.8386,34.7752,xy xx

L b a y bx L ===-=

所以回归方程为

34.775287.8386y x =+；

(2)2328.575xy U bL == 612.4589yy Q L U =-=

方 差 分 析 表