例谈二次函数中的恒成立问题
二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)
二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2
∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；
恒成立与存在性问题的基本解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导
二次函数综合应用专题归纳训练一
二次函数综合应用专题归纳训练一 一、相似三角形的存在性问题 1.在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A（1,0）B（3,0）两点. （1）写出这个二次函数图像的对称轴； （2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y轴交与点C，它的对称轴与x轴交与点E，连接AC、DE和DB.当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式. 二、等腰三角形的存在性问题 2.如图，直线3 y交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x =x 3+ 轴于另一点C（3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ 存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最 小时，求点P的坐标； (3)在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角 形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标； 若不存在，请说明理由．
三、平行四边形的存在性问题 4.（2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N 的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
二次函数恒成立问题
二次函数恒成立问题 2016年8月东莞莞美学校 一、恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ， （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈
二次函数、不等式恒成立
川越教育讲义 日期 老师 科目 第 次课 学生 年级 一、简易逻辑 基础题目： 1．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 （a ，b ∈R ）”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 2.已知p:{}:,0q ?φ {}{}.2,11∈由他们构成的新命题“q p ∧”，“q p ∨”, “p ?”中，真命题有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 4．有下列四个命题： ①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 5．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是（ ） A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数 6．条件p ：1>x ,1>y ，条件q ：2>+y x ,1>xy ，则条件p 是条件q 的（ ）条件 7．设原命题：若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ） 8．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是（ ） 9．命题“03x -x R,x 2>+∈?”的否定是______________命题；命题“01x R,x 2<+∈?”的否定是______________命题。 10 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空： （1）是的 ；（2）是的 （3）是 的 ；（4）是 的 （5）“”是“”的 （6）“”是“”的 （7）“”是“”的 （8）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补” （9）设，的半径为，，则“”是“两圆外切”的 10．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为___ _____。 11．有下列命题： x A B ∈ x A ∈x A B ∈ x B ∈()U x A ∈ex U ∈()U x A A ∈ 饀x A ∈A =?A B B = A B üA B A = x A ∈x A B ∈ 1O 2O 1r 2r 1212OO r r =+
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案 一、二次函数 1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D . （1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点， ①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标； ②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2 ||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围. 【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最 ，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或 332t ≤<或72t =. 【解析】 【分析】 （1）先利用对称轴公式x=2a 12a --=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式； （2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； （3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+
高中数学专题-二次函数综合问题例谈
二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f .
二次函数恒成立问题
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二次函数恒成立问题 2016年8月东莞莞美学校 一、恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ， （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 类型4： 二、恒成立问题常见的解题策略： 策略一：利用二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需???<---=?>-0 )1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。 策略二:利用函数的最值（或值域） （1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥?min )(； （2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例2.已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3; 三角函数与二次函数综合卷2 1．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论： ①∠AEF=∠BCE ； ②AF+BC ＞CF ； ③S △CEF =S △EAF +S △CBE ； ④若= ，则△CEF ≌△CDF ． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 2．已知：BD 是四边形 ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C=60°，AB=1， （1）求tan ∠ABD 的值； （2）求AD 的长. 3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A 、B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B 点是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得AE ＝ 10海里，DE ＝30海里，且DE ⊥EC ，cos ∠D （1）求小岛两端A 、B 的距离； （2）过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，求sin ∠BCF 的值. A B 4．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，AC BC =，点P 是△ABC 内一点，且135APB APC ∠=∠=． A B C P （1）求证：△CPA ∽△APB ； （2）试求tan PCB ∠的值． 5．如图，在梯形A B CD 中，?=∠=∠ 90B A 点E 在AB 上，?=∠45AED ，6=DE ,7=CE . （1）求AE 的长； （2）求BCE ∠sin 的值． 6．如图，在△ABC 中， AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，AD=4． （1）求BC 的长； （2）求tan ∠DAE 的值． 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8内的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若4=?BOD S ， (1)求反比例函数解析式； (2)求C 点坐标． 8．如图,在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ， ,,并且. 求的长. AB =BD = 12 ABD CBD ∠=∠AC □ 孙朝仁 朱松林 二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高 ．解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题 ．下面略举几例，谈谈二次函数综合题的常见的解题策略 ． 一、得意知“形”，由“形”想“数” 例1 已知函数y ＝x 2＋bx ＋2的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的关系式； （2）画出它的图象； （3）根据图象指出：当x 取何值时，y ≥2？ 分析 首先，利用待定系数法，可以求出b 的值， 从而获得函数表达式；其次，根据函数关系式不难知“形”—— 用描特殊点法画出函数图象；第三，借助函数图象，由“形”想 “数”，要“确定y ≥2时，x 的取值范围”就是要求位于“直线 y=2上方”图象的自变量取值范围． 解 （1）根据题意，得 2＝9＋3b ＋2， 解得 b ＝－3． ∴函数关系式为y ＝x 2－3x ＋2． （2）易求该抛物线与x 轴的两个交点坐标为（1，0）、（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，2），对称轴为2 3 x ．函数y ＝x 2－3x ＋2的图象如图1所示． 图1 （3）根据图象可得，当y ＝2时，对应的x 的值为0和3 ．因此，当x ≤0或x ≥3时，y ≥2． 评析 充分利用函数图象的直观性，分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面．本题还可以直接指出“当x 取何值时，y ≤2？”以及根据图象写出“不等式x 2 －3x ＋2≤0的解集”，这两个问题，请同学们自行写出. 二、函数与方程“攀亲”，由方程求函数 例2 如图2，一元二次方程0322 =-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）． (1)求此二次函数的解析式； (2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标． 分析 （1）求出方程的两个根，就相当于知道了B ，C 两 点的坐标，进而由A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法，很 让容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点Q 的坐标，只要 函数与方程“攀亲”，将该抛物线的“对称轴方程”与“直线 AC 的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；（3）要 求“MQ+MA ”的最小值，只需作点A 关于x 轴的对称点即可，用 对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决. 解 (1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1. ∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）. 将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得 ?????=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ??? ????-===.23,1,21c b a ∴抛物线解析式为2 3212-+=x x y . x ） ) 图2 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长． 注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣ ． 【答案】（1）y=-2x-3；（2）． 【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长． 试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点 E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE= = ．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×= ．∴ 线段FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理． 2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线 y x m =+过顶点C 和点B ． 二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （2016?益阳第21题） 如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． x y 考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1 ）∵抛物线顶点为A ， 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得1 3a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：213y x =-+ ． （2）将0y = 代入213y x =-+ 中，得B 点坐标为：， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将A 代入表达式y kx = 中，得k = ， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+， 将 B 代入y b = +中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-． 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-， 将0x = 代入2y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , OB OD ==． 在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =?? =??=? ， ∴△OAB ≌△OCD ． （3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小． 过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?． ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ，∴PO =， ∴ 点P 的坐标为(． 二次函数与平行四边形的综合题 7 二次函数综合专题训练 1.1因动点产生的线段和差问题 1.在坐标平面xoy 内，Rt △BOC 如图放置在坐标平面内，已知如图，tan ∠CBO=2，将Rt △BOC 绕直角顶点O 顺时针旋转90°得到△EOA ．抛物线y=ax 2 +bx+2经过A,B,C 三点。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设点P 在坐标轴上，△PAE 为等腰三角形，写出点P 的坐标。 （3） 在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使｜MB-MC ｜最大？ （4） 在抛物线上是否存在点Q ，使△BCQ 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不 存在，请说明理由. 2．（2012?恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值． x y O B C E A 1.2 因动点产生的特殊三角形问题 3. 如图,在平面直角坐标xOy 中，正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE ⊥DB 交x 轴于点E ． （1）求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；（4分） （2）将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交（1）中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为 512，那么结论OF= 2 1 DG 能成立吗？请说明理由；（4分） （3）过（2）中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标．（4分） 4.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （1.0），C （0， 3）。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点P 为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标； （3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 成都市中考压轴题（二次函数）精选 【例一】．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究： ①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值； ②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数． 的长，然后代入计算即可得解； ，x+，再联立抛物线与直线解析式， ， x ， =AM==+==1x ，+==，+ = 取何值，++ 【例二】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限 内，且AB ，sin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式； （2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ，△QNR 的面积QNR S ?，求QMN S ?∶QNR S ?的值. 解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中， AB = sin OAB ∠= sin 3BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理， 得6AD = ==． 1064OD OA AD ∴=-=-=． 点B 在第一象限内， ∴点B 的坐标为(43)，． ∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． · ·················································· 2分 设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为 2(0)y ax bx a =+≠． 由11643810010054 a a b a b b ? =?+=-?????+=??=-??，． ∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为215 84 y x x = -． ····························· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -， 不是抛物线215 84 y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ． 二次函数专题一：二次函数与距离、角度的综合 1、已知抛物线y=x2?4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度,得到一条新的抛物线。 (1)求平移后的抛物线解析式； (2)若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围； (3)若将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a>0,b<0),并将此抛物线沿x轴方向向左平移?ba个单位长度,试探索问题(2). 2、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(?3,0),B(1,0),C(0,3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； (3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A. D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S. ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值?若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。 3、如图,已知抛物线y=ax2+bx+2的图象经过点A和点B. (1)求该抛物线的解析式。 (2)把(1)中的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上或向下平移多少个单位长度能使抛物线与直线AB只有 一个交点?写出此时抛物线的解析式。 (3)将(2)中的抛物线向右平移52个单位长度,再向下平移t个单位长度(t>0)，此时，抛物线与x轴交于M、N 两点，直线AB与y轴交于点P.当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小?最小面积是多少? 4、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A. B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y=x+5经过D. M两点。 (1)求此抛物线的解析式； (2)连接AM、AC、BC，试比较∠MAB和∠ACB的大小，并说明你的理由。 5、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3经过点N(2,?5)，过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6. (1)求此抛物线的解析式； (2)点P(x,y)为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P 的坐标； 二次不等式恒成立问题 策略一：利用二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 策略二:利用零点分布 例2.已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 变式：设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 策略三：分离参数 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g x f 恒成立，求实数a 的取值范围。 变式：已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(关于不等式恒成立问题的几种求解方法
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