不确定性与期望效用理论
第二章
不确定性与期望效用理论
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主要内容
确定与不确定
风险、、投机与赌博
1.风险
2.确定与不确定之间的差异
3.风险与不确定性
4.一些常用的投资决策原则
期望效用理论
1.偏好关系
2.效用函数的存在性
3.期望效用函数的存在性
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第一节确定与不确定
风险、、投机与赌博
1.风险
2.确定与不确定之间的差异
3.风险与不确定性
4.一些常用的投资决策原则
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一风险，投机与赌博
什么是风险?
风险是指未来收益的不确定性(uncertainty)且可以用概率分布来测度这种不确定性。
风险的度量：标准差或方差
风险溢价：去除无风险资产收益后的实际预期收益。
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什么是投机? 投机是在获取相应的报酬时承担一定的商业风险
什么是赌博?赌博是为一个不确定的结果打赌或下注
赌博与投机相比较，区别在于赌博没有“相应的报酬”。在某些情况下，赌博看起来像
是投机。
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金融经济学6
例1 两个投资者对美元与英镑的远期汇率持截然相反的态度反的态度。。他们为此打赌他们为此打赌。。假如1年之后年之后，，1英镑的价值超过1.70美元美元，，甲付给乙100美元美元。。如果不超过，乙付给甲100美元美元。。最后只有两种结果最后只有两种结果，，要么超过超过，，要么不超过要么不超过。。
1、甲乙对两种结果的出现概率持相同的意见甲乙对两种结果的出现概率持相同的意见，，均为0.5，则两个人是赌博还是投机则两个人是赌博还是投机？？
2、如果甲和乙对结果的概率值意见不同如果甲和乙对结果的概率值意见不同，，则两个人是赌博还是投机人是赌博还是投机？？
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金融经济学7 例2 六合彩supper lottery 六合彩一般是由50个数字组成个数字组成。。假设从1到50个数字。博彩者随意圈定6个数字个数字，，如果与摇奖摇出的6个数字吻合个数字吻合，，就可以中大奖3,000,000元。假设不计算猜中5个，4个，3个数字的小奖个数字的小奖，，如果彩票是1元一张一张，，这是投机还是赌博这是投机还是赌博？？
投资、投机和赌博之间的区别是什么?
从经济意义上说，赌博是为了享受冒险的乐趣而承担风险,别无其他目的.
投机是只要有正的风险溢价就可能发生的行为,而不管所承担的风险是否能够补偿所获得的风险收益.投资是在投资者看到有利的收益风险权衡时发生的
把投机变成投资要求有足够的风险溢价来补偿厌恶风险的投资者所承受的风险.
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金融经济学9二确定与不确定，差异何在？
金融决策是时序决策，包括：选择选择选择，，选择的结果向将来延伸将来延伸。由于将来是未知的，金融决策不可避免的在不确定条件下进行。
自然状态自然状态：：超越了经济行为人的控制超越了经济行为人的控制。。如下期宏观经济景气状况，某公司或行业的经营绩效，甚至可能是明天的天气状况。
自然状态的两个特点：完全性与排斥性。 由于股票等金融资产的未来价格依赖于未来实际发生的自然状态，我们称这些资产的投资收益是状态状态依存的
依存的（state contingent）。
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A:可行行为的集合
S:可能现实状态的集合
C: 结果的集合
行为a ∈A 和s ∈S 结合产生的结果c ∈C
函数f 把行为与状态和结果对应起来把行为与状态和结果对应起来：：
(s,a)→c=f(s,a)
假设状态集是有限的假设状态集是有限的，，记为记为：：S={s 1,….s n }
行为集A={a 1,…a m }
选择一个行为a i 就对应于偶然状态结果的选取{f(s,a i )|s ∈S}, 则选取结果可以表示为{c 1i ,…c ni }. 因此选择a i 或a j 与选择{c 1i ,…c ni }或{c 1j ,…c nj }是一样的是一样的。。
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金融经济学11
通过观察函数f 可以容易区分确定条件下和不确定条件下的决策和不确定条件下的决策。。1.
若f 关于现实状态是不变的关于现实状态是不变的，，即现实状态不会影响产生的结果不会影响产生的结果，，则可以认为是确定条件下的决策2.若不同的状态导致不同的结果若不同的状态导致不同的结果，，则可以
认为是不确定条件下的决策认为是不确定条件下的决策。。
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例1 考虑一个厂商的定价考虑一个厂商的定价。。该厂商通过选择单一的投入—劳动力l 来使利润最大化来使利润最大化。。给定生产函数f 以及投入的价格w 和产出的价格p ，该厂商的利润由投入的劳动力l 唯一决定唯一决定。。
例2 如果产出水平不仅仅有劳动力决定如果产出水平不仅仅有劳动力决定，，还取决于其他因素其他因素，，如天气状况如天气状况，，天晴s1和下雨s2。
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金融经济学13概率描述
假设行为、现实状态和结果之间的关系通过函数f ：S ×A →C 表示。在S 上定义一个概率空间，即对每一个行为a ∈A ，存在一个在C 上的概率分布：对任何结果的子集K ?C ，
Prob{K}=prob{s ∈S| f(s,a) ∈K} 结论结论：：一个特定的结果的概率等于现实状态的概率
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例1: 对每一个非负的投入水平l,给定状态1和状态2的概率，厂商面临一个在所得利润水平上的概率分布,已知特定的生产函数和概率分布函数,则每一个结果发生的概率等于状态的概率. 例2:在上述条件下进一步假设行为集A 由两个行为组成，行为是劳动投入水平，A={l 1,l 2},则对l i 的选取可以看作是对四个利润水平上的概率分布的选取
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三、风险与不确定性
风险来自于未来结果的不确定性风险来自于未来结果的不确定性，，但是风险又与不确定性不同又与不确定性不同。。
费兰克·奈特(Frank·H·Kninght)(1921)对风险与不确定性进行了明确的区分险与不确定性进行了明确的区分。。
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金融经济学16
确定性确定性排除了任何随机事件发生的可能性,它是哲学意义上的前因后果必然关系的体现.
风险风险则意味着我们对未来可能发生的所有事件,以及他们发生概率的大小有准确地认识,但是对于究竟哪一种事件会发生一无所知.换句话说,我们知晓未来的概率分布,这种概率分布也许来自于经验或者客观事物本身的规律
不确定性不确定性意味着即便我们能够知道未来世界的可能状态(结果), 但是它们发生的概率仍然是不清楚的. 注：我们今后讨论的不确定性即指风险。
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四一些常用的投资决策准则 收益最大准则
收益最大准则广泛应用于完全没有风险没有风险没有风险的情况下。按照这一法则，只需选取收益率最高选取收益率最高的投资机会
的投资机会即可。经济学中的生产者理论和价值理论广泛使用这一准则。
例子：一个公司的最优生产决策问题
最大期望收益准则——不确定的条件下
例子：一个投资决策问题。四个投资方案A,B,C,D.判断哪一个最优？
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是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法则呢？
彼得堡大街悖论——
18世纪的一个经典的例子——彼得堡大街悖论，这个例子说服18世纪的学者期望收益最大化原则不正确。
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考虑一个博弈，掷硬币直到字出现为止。当字出现时，如果投掷次数为x，则奖励金额为2x-1元。一旦字出现，博弈终止。从理论上来说，这一博弈可以无限进行下去。但为了参加这一博弈，愿意支付多少金额?是否愿意出100元来参加这个赌博呢？
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小学数学四年级上册《不确定性》资料不确定性原理
小学数学四年级上册 《不确定性》资料 不确定性原理： 不确定性原理（Uncertainty principle），是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡（Werner Heisenberg）于1927年提出。本身为傅立叶变换导出的基本关系：若复函数f(x)与F(k)构成傅立叶变换对，且已由其幅度的平方归一化（即f*(x)f(x)相当于x 的概率密度；F*(k)F(k)/2π相当于k的概率密度，*表示复共轭），则无论f(x)的形式如何，x与k标准差的乘积ΔxΔk不会小于某个常数（该常数的具体形式与f(x)的形式有关）。 德国物理学家海森堡1927年提出的不确定性原理是量子力学的产物。这项原则陈述了精确确定一个粒子，例如原子周围的电子的位置和动量是有限制。这个不确定性来自两个因素，首先测量某东西的行为将会不可避免地扰乱那个事物，从而改变它的状态；其次，因为量子世界不是具体的，但基于概率，精确确定一个粒子状态存在更深刻更根本的限制。 海森伯测不准原理是通过一些实验来论证的。设想用一个γ射线显微镜来观察一个电子的坐标，因为γ射线显微镜的分辨本领受到波长λ的限制，所用光的波长λ越短，显微镜的分辨率越高，从而测定电子坐标不确定的程度△q就越小，所以△q∝λ。但另一方面，光照射到电子，可以看成是光量子和电子的碰撞，波长λ越短，光量子的动量就越大，所以有△q∝1/λ。再比如，用将光照到一个粒子上的方式来测量一个粒子的位置和速度，一部分光波被此粒子散射开来，由此指明其位置。但人们不可能将粒子的位置确定到比光的两个波峰之间的距离更小的程度，所以为了精确测定粒子的位置，必须用短波长的光。但普朗克的量子假设，人们不能用任意小量的光：人们至少要用一个光量子。这量子会扰动粒子，并以一种不能预见的方式改变粒子的速度。所以，位置要测得越准确，所需波长就要越短，单个量子的能量就越大，这样粒子的速度就被扰动得更厉害。简单来说，就是如果要想测定一个量子的精确位置的话，那么就需要用波长尽量短的波，这样的话，对这个量子的扰动也会越大，对它的速度测量也会越不精确。如果想要精确测量一个量子的速度，那就要用波长较长的波，那就不能精确测定它的位置[3] 。换而言之，对粒子的位置测得越准确，对粒子的速度的测量就越不准确，反之亦然。[3] 经过一番推理计算，海森伯得出：△q△p≥?/2。海森伯写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。”
透过不确定性原理看物理世界
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 题目：透过不确定性原理看物理世界 姓名：任丽行 学号：0103 专业：物理学 年级： 2008级 指导老师：宗福建 山东大学物理学院 二零一零年十二月 1
透过不确定性原理看物理世界 物理学院 2008级任丽行学号：0103 【摘要】不确定性原理由海森堡提出，表述了一个粒子的位置和动量不能被同时确定的最小程度。当粒子的位置非常确定时，其动量将会非常不确定。由此可以推广到许多对共轭物理量之间。不确定性原理是量子力学几率解释和波粒二象性的必然结果。在量子力学的发展史上，不确定性原理起到了极为重要的推动作用，尤其是玻尔与爱因斯坦两位物理学大师关于海森堡关系的争论，更是为相对论量子力学的发展奠定了基础。 【关键词】不确定性；海森堡；波粒二象性；理想实验 1.引言 本文主要研究了海森堡不确定性原理提出的背景、推理过程、后续的讨论与发展，以及它对量子力学与整个物理学的发展所起的推动作用。文中主要涉及三位物理学大师：海森堡、玻尔和爱因斯坦。由海森堡提出并论证的不确定性关系是玻尔互补原理的最好证明。爱因斯坦通过设计一系列的理想实验企图反驳不确定性原理，没想到反过来证明了不确定性原理的正确性。本文就是以不确定性原理为主线，把它与互补原理及波粒二象性联系在一起，简单地讨论了它的涵义以及量子力学的一些基本问题，从而透过不确定性原理来瞻仰近代物理学的发展历程。 2.理论背景 不确定性原理又名“测不准原理”,英文名为“Uncertainty principle”，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。不确定性原理是指在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置和动量满足如下关系： 2
第二讲 不确定性下的期望效用理论
第二讲 不确定性下的期望效用理论 确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。我们从一个经典的案例开始讲起。 圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的： 彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔1 2n -个盾。这个博 局可以无限期地玩下去。保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？ 尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。他发现，如果计算保尔的期望收入，则 2321 1 111()*1()*2()*2...()*2...22221111...... 22 22n n E w -=+++++=++ ++ +=∞ 按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。 如何解释这个悖论？ 大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。从而引起了数学界后来者的兴趣。 2.1偏好与效用 2.1.1风险备选项的描述 假设C 为代表所有可能的结果所组成的集合。如果集合所有结果数目有限，则可以用 {}12,,n C x x x = 来表示。假设12,,n x x x 状态发生的概率分别为12,,n p p p （任意一种状态i x 发生的概率为i p ，满足0i p ≥，且1 1n i i p ==∑ ） ，我们称1212(,,;,,)n n L x x x p p p = 表示一个简单博彩。 （说明：博彩是描述风险备选项的一个正式工具。简单博彩有时候也写成这种形式：
不确定性原理的前世今生
不确定性原理的前世今生 · 数学篇（一） 在现代数学中有一个很容易被外行误解的词汇：信号 (signal)。当数学家们说起「一个信号」的时候，他们脑海中想到的并不是交通指示灯所发出的闪烁光芒或者手机屏幕顶部的天线图案，而是一段可以具体数字化的信息，可以是声音，可以是图像，也可是遥感测量数据。简单地说，它是一个函数，定义在通常的一维或者多维空间之上。譬如一段声音就是一个定义在一维空间上的函数，自变量是时间，因变量是声音的强度，一幅图像是定义在二维空间上的函数，自变量是横轴和纵轴坐标，因变量是图像像素的色彩和明暗，如此等等。 在数学上，关于一个信号最基本的问题在于如何将它表示和描述出来。按照上面所说的办法，把一个信号理解成一个定义在时间或空间上的函数是一种自然而然的表示方式，但是它对理解这一信号的内容来说常常不够。例如一段声音，如果单纯按照定义在时间上的函数来表示，它画出来是这个样子的： 这通常被称为波形图。毫无疑问，它包含了关于这段声音的全部信息。但是同样毫无疑问的是，这些信息几乎没法从上面这个「函数」中直接看出来，事实上，它只不过是巴赫的小提琴无伴奏 Partita No.3 的序曲开头几个小节。下面是巴赫的手稿，从某种意义上说来，它也构成了对上面那段声音的一个「描述」： 这两种描述之间的关系是怎样的呢？第一种描述刻划的是具体的信号数值，第二种描述刻划的是声音的高低（即声音震动的频率）。人们直到十九世纪才渐渐意识到，在这两种描述之间，事实上存在着一种对偶的关系，而这一点并不显然。 1807 年，法国数学家傅立叶 (J. Fourier) 在一篇向巴黎科学院递交的革命性的论文 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides （《固体中的热传播》）中，提出了一个崭新的观念：任何一个函数都可以表达
浅析不确定性原理的哲学内涵
浅析不确定性原理的哲学内涵 摘要：不确定性原理作为量子力学中的基本原理之一，主要描述了对两个力学量算符在任一时刻其几率分布宽度的的关系。本文先介绍了何为不确定性原理，再重点阐释了对不确定性原理的哲学审视，最后在借鉴先哲们精粹思想的同时也对不确定性原理提出了一些浅显的看法。 关键词：不确定性原理变量哲学 1、引言 海森堡提出的不确定性原理以其特殊的性质给科学和哲学解释提出了挑战。不确定性原理，告诉我们微观客体的任何一对互为共轭的不确定变量都不可能同时确定出确定值，使人们放弃了经典的轨道概念。这表明，几率性、随机性、偶然性，并非是由于人类认识能力不足所导致的，而是自然界客观事物的本性。科学的发展要求从哲学层次来认识不确定性原理在科学理论中的作用和地位，分析它的本体论及认识论内涵，总结其基本特征，进而为不确定性原理的科学研究提供富有启示意义的哲学观念和方法论原则。 2、不确定性原理 不确定性原理（Uncertainty principle），是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出，它反映了微观粒子运动的基本规律。 在云室（一种观察微观粒子运动径迹仪器）中观察到的电子径迹的解释上，海森堡的想法是如何用已知的数学形式去描述云室中的电子径迹。云室中的径迹并不是能反映粒子明确位置和速度的一条无限细的线，在云室中看到的电子径迹的宽度要比电子本身的线度大得多，这可能代表了电子的位置具有某种不确定性。通过推算，得到了一种不确定性原理，它表明：同时严格确定两个共轭变量（如位置和速度，时间和能量等）的数值是不可能的，它们的数值准确度有个下限。这是一条自然定律，它说明，在微观粒子层次上，同时得到一个粒子运动的位置和速度的严格准确的测量值在原则上是不可能的。用这个理论去解释试验中所观察到的电子轨迹，经过重新的分析整理，最终确定：云室中电子径迹并不是一条连续的线，实质上它是一系列离散而模糊的斑点，它们近似排列成线，并非真正的电子“径迹”，也就是说电子的位置是不确定的。 海森堡进一步验证此不确定性满足新的量子力学，得到了标准的量子条件：Pq-qP=h/2π （P为动量，q为与动量对应的位置，h为普朗克常量s）。 由上式出发，海森堡导出了位置和与速度相关的p的不确定关系式：ΔpΔq≥h。 3、不确定性原理的哲学思考 不确定性原理告诉人们：经典的轨道概念已不再适用，像经典物理学精确把握宏观物体那样将微观粒子的信息精确测出也是不可能的。更重要的是，波函数的统计诠释与不确定性原理两者可共存于一个理论体系，不确定性原理可以由量子力学基本公设推导，而且推导结果也没有超出量子力学的几率诠释。我们需要将二者结合起来，看看它们究竟告诉了我们什么。 有一些社会科学工作者，由于望文生义或不太理解量子力学理论，认为不确定性原理之不确定，几率诠释之几率。深入的思考者则认为，几率诠释告诉我们微观粒子之状态我们不能百分百把握，而不确定性原理则干脆将“不确定”确定下来，告诉我们不确定不是我们的仪器有什么问题，而是客观世界正是如此，不仅
不确定性原理的推导
不确定性原理的推导 一、（普遍的）不确定性原理推导： 对于任意一个可观测量A ，有（见（12）式）： 2??()() A A A ΨA A Ψf f σ=--= （1） 式中：?()f A A ψ≡- 同样地，对于另外一个可观测量 B ，有： 2 B g g σ= 式中：?(g B B ψ≡- 由施瓦茨不等式（见（16）式），有： 2 22 A B f f g g f g σσ=≥ （2） 对于一个复数z （见（17）式）： 2 22221 [Re()][Im()][Im()][ ()]2z z z z z z i *=+≥=- （3） 令z f g =，（2）式： 2 2 21[]2A B f g g f i σσ?? ≥- ??? （4） 又 ??()()f g A A B B ψψ=-- ?? ()()ΨA A B B ψ=-- ???? ()ΨAB A B B A A B ψ=--+ ???? ΨAB ΨB ΨA ΨA ΨB ΨA B ΨΨ=-++ ?? AB B A A B A B =--+ ??AB A B =- 类似有： ?? f g BA A B =-
所以 ?????? ,f g g f AB BA A B ??-=-=?? （5） 式中对易式：??????,A B AB BA ??≡-? ? 把（5）代入（4），得（普遍的）不确定性原理： 2 22 1??,2A B A B i σσ????≥ ????? （6） 二、位置与动量的不确定性 设测试函数f (x )，有（见（23）式）： []d d ,()()()d d x p f x x f xf i x i x ??=-???? d d d d d d f x f x i i x i x i x ? ?= -- ??? ()i f x = （7） 去掉测试函数，则： [],=x p i （8） 令??,A x B p ==，把（8）代入（6）： 2 222x p σσ?? ≥ ??? 由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性： 2 x p σσ≥ （9）
不确定性原理(非平稳作业)
学生：李洋学号：2014524019 不确定性原理（Uncertainty principle），又称“测不准原理”、“不确定关系”。傅立叶变换导出的基本关系：若复函数f（x）与F（k）构成傅立叶变换对，且已由其幅度的平方归一化（即f*(x)f(x)相当于x的概率密度；F*(k)F(k)/2π相当于k的概率密度，*表示复共轭），则无论f(x)的形式如何，x与k标准差的乘积ΔxΔk不会小于某个常数（该常数的具体形式与f(x)的形式有关）。海森堡证明，对易关系可以推导出不确定性，或者，使用玻尔的术语，互补性：不能同时观测任意两个不对易的变量；更准确地知道其中一个变量，则必定更不准确地知道另外一个变量。该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。「不确定性原理」也有了新的形式。在连续情形下，我们可以讨论一个信号是否集中在某个区域内。而在离散情形下，重要的问题变成了信号是否集中在某些离散的位置上，而在其余位置上是零。数学家给出了这样有趣的定理： 一个长度为N 的离散信号中有a 个非零数值，而它的傅立叶变换中有 b 个非零数值，那么a+b ≥ 2√N。也就是说一个信号和它的傅立叶变换中的非零元素不能都太少。但是借助不确定性原理，却正可以做到这一点！原因是我们关于原信号有一个「很多位置是零」的假设。那么，假如有两个不同的信号碰巧具有相同的K 个频率值，那么这两个信号的差的傅立叶变换在这K 个频率位置上就是零。另一方面，因为两个不同的信号在原本的时空域都有很多值是零，它们的差必然在时空域也包含很多零。不确定性原理（一个函数不能在频域和时空域都包含很多零）告诉我们，这是不可能的。 在传统的信号理论中，频域空间和原本的时空域相比，信息量是一样多的，所以要还原出全部信号，必须知道全部的频域信息，就象是要解出多少个未知数就需要多少个方程一样。我的理解：测量物必然改变被测物，在微观世界的测量，改变值无法忽略，物质是否具有确定性是不可知的。不确定性原理是世界自身存在的原理，与测量与否没有关系。 王老师，我所研究的领域是微弱信号检测，研究传感器自身噪声，并且通过仿真模拟。 领域相关期刊：电子学报
测不准原理的理解及应用
不确定性原理的理解及应用 姓名： 班级： 学号：
摘要：不确定性原理作为量子力学中的一个重要组成部分，从海森堡提出至今一直受到各方争论和质疑。本文主要介绍不确定性原理的简单理解以及应用，对初学者理解不确定性原理是很有帮助的。 关键词：测量，准确性， 正文： 1.引言： 唯物主义告诉我们：物质是不依赖于人的意识的客观存在；时间的本质是物质而不是意识；先有物质后有意识；意识只不过是物质在人脑中的客观反映而已。这些都是正确的观念。然而随着二十世纪自然科学的发展，尤其是人们在探索微观世界发现了新的规律，被某些唯心主义者引用来向唯物主义的基本观点发难。其中倍受争议的是著名物理学家海森堡的“不确定性原理”。 2. 不确定性原理的介绍： 不确定性原理（Uncertainty principle），又称“测不准原理”、“不确定关系”，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。本身为傅立叶变换导出的基本关系：若复函数f(x)与F(k)构成傅立叶变换对，且已由其幅度的平方归一化（即f*(x)f(x)相当于x的概率密度；F*(k)F(k)/2π相当于k的概率密度，*表示复共轭），则无论f(x)的形式如何，x与k标准差的乘积ΔxΔk不会小于某个常数（该常数的具体形式与f(x)的形式有关）。 该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差（标准差）的乘积必然大于常数h/4π（h是普朗克常数）是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数（波函数）构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系（E=h/2π*ω，p=h/2π*k），是物理学中又一条重要原理。【1】 3：不确定性原理的发现： 1927年，海森堡在经过长期的探索后提出了不确定性原理。他对此原理的解释是：设想一个电子，要观测到它在某个时刻的位置，则须用波长较短、分辨性好的光子照射它，但光子有动量，它与波长成正比，故光子波长越短，光子动量越大，对电子动量的影响也越大；反之若提高对动量的测量精度，则须用波长较长的光子，而这又会引起位置不确定度的增加。因而不可能同时准确地测量一个微观粒子的动量和位置，原因是被测物体与测量仪器之间不可避免的发生了相互作用。 人们习惯于对物体运动轨迹的准确描述，大到天体如何运行，小到微尘如何飞扬。这种认识必须基于对物体能够准确定位。为了预测一个物体的运动状态，必须准确测量它的位置和速度。测定必须施加一个物理作用于作为被测对象的物体之上，这在任何一种测量中都无法幸免。显然，对在微观粒子尺度空间的测量方法用光照最合适。然而，光照是无法把粒子的位置确定到比光的波长更小的程度的。为了测定的准确，必须用更短波长的光，这意味着光子的能量更高，这样测定对粒子速度的扰动将很厉害。因此，不能同时准确的测定粒子的位置和速度。事实上，宏观世界和微观世界都受到不确定性原理的制约，只不过对宏观物体的测量，一定波长的光已经足够精确，且扰动对其速度的影响小到远远无法计较。
不确定性分析方法
基于数学的不确定理论方法 综述： 不确定性是人们认识世界的局限性导致的，它是人们根据现有知识的基础上对世界以及事物的看法、决定。由于认识的局限性，就会导致对事物的看法存在不可预知性。不确定性存在于生活的方方面面，大到人文系统，小到零件检测，如何更加准确的了解事物，不确定理论的发展起了重要的作用。不确定性理论就是为了能够在现有知识的基础上来找出其规律，以求得到更合适的方法解决问题的途径。不确定性理论用于数据融合中，有效的促进了信息融合理论的发展，相反，同样也促进了不确定性理论的发展。 自从上世纪统计力学的发展，不确定性理论随之出现并得到了学者重视。曾经较长一段时间认为概率论为处理不确定信息的唯一方法和理论，但是随着应用的加深和人们对不确定性信息处理的更高要求，概率论在很多方面表现出它的局限性和不可描述性。最近的几十年来，随着研究的深入，处理不确定信息方法也取得了较大的发展，主要有Zadeh的模糊集对经典集合论的推广，Choquet在容度理论中的单调测度论对经典测度论的推广等。研究的成果不仅涉及到数学、物理等基础性理论，还拓展到了信息学科、航天技术等高科技领域。基于不确定性智能芯片的开发是不确定性理论发展的见证，在工业领域已大量应用。 对于不确定性理论的研究，首先应该了解不确定测度(Uncertainty Measure)和不确定度(Measure of Uncertainty)的区别。不确定测度是对
事物本身不确定程度的描述，而不确定度是对不确定度的度量。比如：一杯水加糖的概率是1/2和有1/2的概率这杯水加了糖，这个性质是不一样的，它反映了不确定测度和不确定度的关系。不确定度的度量主要有熵的方法，如Information Shannon就提供了一个数量上的量度，即为一种典型的不确定度的度量。 为了能够很好地解释各种不确定性理论，对不确定性理论进行分类也是众多学者比较关注的问题。从理论基础上讲不确定性理论分两大类：一类是基于数学的，另一类是基于逻辑学的，本章只介绍基于数学的一类不确定性理论，包括Bayes概率论、可能性理论,Dempster-Shafer理论，以使更好的了解不确定性问题。 不确定性形式繁多，分类方法也多种多样。Klir认为不确定性由三种基本形式组成，即把不确定性分为模糊性(Fuzzy)和多义性(Ambiguity),而多义性又可以分为非特异性(Nonspecificity)和冲突(Conflict)。另外一些学者把多义性分成另两种类型:非特异性和随机性(Randomness)，冲突和随机性是处理同一种类型的不确定性的两种解释。而多义性与模糊性的根本区别在于多义性是统计意义上的不确定性，而模糊性是针对集合的边界而言。对应这些类型的不确定性，不同的不确定性理论所能处理的不确定性的种类不一样。模糊集是处理模糊性的理论，概率论只涉及到事件之间的冲突；可能性理沦表示出事件的非特异性，而证据理论描述了非特异性和冲突。 1、Bayes概率 Bayes概率论的提出打破了原有不确定性理论的基础，从数学角
期望效用理论
期望效用理论简析 期望效用函数理论是20世纪50年代，冯·纽曼和摩根斯坦在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人选择进行分析的框架。这一理论适用于对一不确定性事件的最终效用的评估，即当有一不确定事件的时候，假设这一事件的结果一共有i种可能，而每一结果发生的可能性是Pi，相对应的每一结果发生最后造成的效用是Xi，所以对于这一不确定事件的效用评估就可以用其期望效用来表示即U（x）=P1X1+P2X2 ... +PnXn，而人们会跟据不同事件的期望效用的不同而进行决策，即人们会选择期望效用高的选项。期望效用理论的建立很好的推动了现代的经济学，金融学，计量学的发展，他为人们有效合理的评估一不确定事件建立了一个规范的框架，这样有利于学科的发展，同样也让人们对于不同的不确定事件可以进行有效的比较。但是这一理论的基础却是建立在理性人的假设上面，而这一假设已经被卡尼曼等人推翻了，人并不是理性人，或者说人并不是完全理性的，决策会受到人们复杂的心理行为的左右。例如著名的阿莱悖论，实验者提供给被试两种选择，赌局A：100%的机会得到100万元。赌局B：10%的机会得到500万元，89%的机会得到100万元，1%的机会什么也得不到。如果按照期望效用理论来分析赌局A的期望值是100万，而赌局B的期望值是139万，人们应该更倾向于赌局A，但是实验结果却是绝大多数人选择A而不是B。即赌局A的期望值（100万元）虽然小于赌局B 的期望值（139万元），但是A的效用值大于B的效用值。所以从这里就可以很明显的看出期望值和效用值并不能完全的等同。同样的卡尼曼等人提出的前景理论也对期望效用理论有一定的补充，一是大多数人在面临获得时是风险规避的这一条就很好的解释了阿莱悖论即人们在面临获得时更加的倾向于获得确定性的收益；二是大多数人在面临损失时是风险偏爱的，这一条的真实含义通俗的来讲就是人们如果面临的有关损失的选择，一个是确定性的损失，而另一个是不确定性的损失，可能损失的更多也可能损失的少一点，人们更倾向于去赌一把选择不确定的损失；三是人们对损失比对获得更敏感即损失100块比得到100块的效用的绝对值更高。 所以可以看出期望效用理论在现在的知识体系中虽然依然有一席之地，但是他却需要人们更多的去改进以更符合人类的思考和行为习惯。
不确定性原理的推导
(1) 不确定性原理的推导 、（普遍的）不确定性原理推导: 对于任意一个可观测量 A ，有（见（12）式）： 2 A ((A (A 网(A (A ))q (f |f ) 式中：f （A （A ）） 同样地，对于另外一个可观测量 B ,有: (g |g ) 式中：g （E? （B ）） 由施瓦茨不等式（见（16）式），有: 2 A 对于一个复数Z （见（17）式）： 2 [Re(z)]2 [lm(z)]2 [lm(z)]2 [-(z z)]2 令z 〈f |g ），（2）式: （f |g ） M （A 〉）|（E ? 何（R 〈A ）（E ? & （A? A （B ） 何A E ?巧（屮A 巧（A 仕 訓）〈A ）（B 〉〈屮屈 俺） ⑻）） 臥 A （A ）（B ））） ⑻〈A ）〈A ）⑻（A ）⑻ 类似有: (f
(9) (f |g } (g |f ) (A?)〈B?) ( A,B ) 把（5）代入（4）,得（普遍的）不确定性原理: 二、位置与动量的不确定性 去掉测试函数，则: 由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性: 所以 式中对易式: A,B AB BA (6) 设测试函数f （x ）,有（见（23） 式） ： X, P f(x) X 屿(f) i￡(xf) i dX i dX X 迪 i dX 施if i dX i dX (7) X, P =巾 (8) 令A X, B p ，把（8）代入 （6）：
三、时间与能量的不确定性 由（见（24） 式）： (10) 可得: 所以时间与能量的不确定性: (11)
附: 1、数学符号及常量 x的平均值 矢量（函数）a和B的点积（内积） j的不确定程度，即j的标准差 It：—，其中h=6.6260693(11) W-34J s 为普朗克常量i2 2、有关公式推导 （1）式: (屮Q?(Q} 式: 对于〈I )|2和(I )( (X i,X2,X3,…,X n) （ Q (12) ?,(y1,y2, y3,…,y n) L 2 )(X』畑2X3y3 …\2 X n V n)(13) ()=(X122X22X3 …X n) (14) ()=(Vi y；v2…y n) (15)
不确定性原理共11页
不确定性原理 示意图 又名“测不准原理”、“不确定关系”,英文"Uncertainty principle"，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。本身为傅立叶变换导出的基本关系：若复函数f(x)与F(k)构成傅立叶变换对，且已由其幅度的平方归一化（即f*(x)f(x)相当于x的概率密度； F*(k)F(k)/2π相当于k的概率密度，*表示复共轭），则无论f(x)的形式如何，x与k标准差的乘积ΔxΔk不会小于某个常数（该常数的具体形式与f(x)的形式有关）。 目录 意义 理论背景 霍金谈不确定性原理 赵宁谈不确定原理 意义 理论背景 霍金谈不确定性原理 赵宁谈不确定原理 展开
编辑本段意义 该原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差（标准差）的乘积必然大于常数h/4π （h是普朗克常数）是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数（波函数）构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系（E=h/2π*ω，p=h/2π*k），是物理学中又一条重要原理。 编辑本段理论背景 海森伯 海森伯在创立矩阵力学时，对形象化的图象采取否定态度。但他在表述中仍然需要使用“坐标”、“速 不确定性支持向量机原理及应用 度”之类的词汇，当然这些词汇已经不再等同于经典理论中的那些词汇。可是，究竟应该怎样理解这些词汇新的物理意义呢？海森伯抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，可是没有成功。这使海森伯陷入困境。他反复考虑，意识到关键在于电子轨道的提法本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，水滴远比电子大，所
期望理论弗鲁姆
期望理论弗鲁姆 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
期望理论 期望理论是由北美着名心理学家和行为科学家维克托·弗鲁姆于1964年在《工作与激励》中提出来的激励理论。 一、基本解释 期望理论又称作“效价-手段-期望理论”，是管理心理学与行为科学的一种理论。这个理论可以公式表示为：激动力量=期望值×效价。是由北美着名心理学家和行为科学家维克托·弗鲁姆（Victor H．Vroom）于1964年在《工作与激励》中提出来的激励理论。 在这个公式中，激动力量指调动个人积极性，激发人内部潜力的强度；期望值是根据个人的经验判断达到目标的把握程度；效价则是所能达到的目标对满足个人需要的价值。这个理论的公式说明，人的积极性被调动的大小取决于期望值与效价的乘积。也就是说，一个人对目标的把握越大，估计达到目标的概率越高，激发起的动力越强烈，积极性也就越大，在领导与管理工作中，运用期望理论于调动下属的积极性是有一定意义的。 期望理论是以三个因素反映需要与目标之间的关系的，要激励员工，就必须让员工明确： (1)工作能提供给他们真正需要的东西。 (2)他们欲求的东西是和绩效联系在一起的。 (3)只要努力工作就能提高他们的绩效。 二、期望理论内容 管理心理学理论 期望理论（Expectancy Theory），又称作“效价-手段-期望理论”， 期望理论 这种需要与目标之间的关系用公式表示即： 激励力=期望值×效价 这种需要与目标之间的关系用过程模式表示即： “个人努力—→个人成绩（绩效）—→组织奖励（报酬）—→个人需要” 行为金融学理论
理性期望效用理论
理性期望效用理论 效用的概念和测定；了解效用函数的定义及构成；理解冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型；理性期望效用理论在描述模型和规范模型中的应用。 期望效用值理论是第二次世界大战后决策理论研究的热点，它以规范模型（prescriptive or normative model）的形式应用于管理科学特别是管理决策分析中；以预测模型（predictive or positivistic model）的形式应用于金融和经济领域中，以描述性模型（descriptive model）的形式应用于心理学中。VNM效用函数理论是20世纪50年代,冯·纽曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人(rational actor)选择进行分析的框架。该理论是将个体和群体合而为一的。后来，阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu）将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中，成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观、金融、计量等在内的宏伟而又优美的理论大厦。本章着重阐述理性期望效用理论在决策中应用的理论和方法。 教学内容 §4.1 事态体及其关系 4.1.1 事态体的概念 具有两种或两种以上有限个可能结果的方案，称为事态体L，事态体中各可能出现的概率是已知的，设事态体的n个可能结果值为C1,https://www.360docs.net/doc/d415364383.html,,相应出现的概率P1,P2...Pn,并且，则事态体记作 4.1.2 事态体的比较
设有两个简单事态体，仅具有一个相同的结果值，另一个结果值不相同，即， 4.1.3 事态体的基本性质 性质4.1（可调概率） 设事态体， ，其中x称为可调概率值。 性质4.2（等价确定值和无差异概率） 设事态体，0 第三讲：期望效用函数和风险厌恶者的投资行为 一、金融市场不确定性 （一）金融市场的重要特征：不确定性 1、不确定性何以存在 （1）政治因素：外交关系紧张、地区冲突等。 （2）经济因素 ①宏观经济状况 ②经济政策如提高准备金率、公布国有股减持方案。 ③微观主体运营状况等 3、意外事件：疾病、恐怖袭击等 其中政治因素和经济因素为既存风险。意外事件为突发危机。二者的影响有所不同。 2、金融市场的测不准原理 索罗斯：1997年亚洲金融危机时，马哈蒂尔称我为金融大鳄。其实，我只是很多投资者中的一个，世人对我有很多误解。在这一危机中，我也亏了很多钱，其实我也测不准，我也被证明出错了。所以，我现在不预测短期的股市走向，因为这太容易被迅速证明是个错误。我什么也不害怕，也不害怕丢钱，但我害怕不确定性。 3、不确定性和风险 （1）观点一：确定性的实质就是风险 不确定性”的实质就是风险，风险积聚到一定程度就有可能演化为危机，风险为常态，危机则是偶发。 （2）观点二：风险是不确定性及暴露于不确定性的程度 风险是不确定性，以及暴露于不确定性的程度，是个人的，极大部分视你对某议题的了解程度及处理方式而定。 例：蹦级者 例：金融市场上的投资者：投资的种类和数量，投资者的技能。 4、“不确定性”对金融市场的影响 （1）不确定性情况下的非理性反应：恐慌 一是毫无根据的“非理性恐慌”。 例：1981年美国总统里根遇刺事件导致投资者大量拋售美元。 二是能够证明其合理性的恐慌或称“自我实现恐慌”。． 例：“羊群效应”导致的银行挤兑。）不确定性情况下的理性行为：谨慎投资（2 ①投资目标的确定②投资决策准则二、常用的投资决策准则 （一）收益最大准则：、适用性：确定性情况下的决策方法1 例：生产者的最优生产决策问题：利润最大化准则。(Q)=PQ-C(Q) π(Q) maxπ例：金融投资者在确定性情况下的投资决策。概率收益率 A 6 1 B 7 1 -6 0.25 C 0 0.5 关于效用函数最值的解法 【09年真题】假定某居民具有期望效用函数，其效用函数为U(w)=㏑W，他有机会参与掷投硬币，头面朝上的概论为π。如果他下注X元，若头面朝上，他会拥有W+X；反之，若背面朝上，他则拥有W-X。 （1）请解出居民作为π的函数的最优赌注X的量。 （2）当π=0.5时，什么是他的关于X的最优选择？为什么会有这个结果？ 说明：这道题结合了不确定条件下的选择和效用函数两章的知识点 重点还是在考查效用函数最值问题的解法 应属于高级微观的知识（有点偏，有点超纲了） 在厦大研究生阶段高级微观教程中，还会更加深入的学习 这道题也是以前厦大经院研究生高级微观期末考的考题 但各位同学以现在所掌握的微观和微积分数学知识，还是可以解得出来的 第一步：列出效用函数的表达式 U（w）=π㏑(W+X)+(1-π) ㏑(W-X) 第二步：效用最大化函数为MAX U(W)=MAX [π㏑(W+X)+(1-π) ㏑(W-X)] 第三步：通过数学方法求实现最大化效用的X值（不是W值） 此步骤需注意，到底题目哪些变量是已知的，哪个变量是要求出的。如果搞混了，则答案完全错了！！！！此题目中π和W都是已知的定值，只有X是未知变量。 利用一阶导：（相当于微积分中的求极值点，经济学中的极值点肯定也会是效用函数的最大值点，所以无需详细讨论） U’ (W)= π/（W+X）+（π-1）/（W-X）=0 得出使得效用U实现最大化的X值：X=（2π-1）W 当π=0.5时，X=0，即下注0元时，效用是最优的。所以赌与不赌效用一样。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 如果变量是双变量的，解法也类似。利用微积分知识和效用函数基本知识 【教材第3章课后第10题】（略有改动） 通过消费食物F和衣服C，某人获得效用函数由U=FC表示。 假设食物1单位要花1美元，衣服1单位要花3美元。某人有12美元可用于食物和衣服。哪种食物和衣服是效用最大化的选择？ 第一步：列出效用函数的表达式 效用函数U=FC 约束条件：F+3C=12 第二章 不确定性与期望效用理论 2012/9/12金融经济学1 主要内容 确定与不确定 风险、、投机与赌博 1.风险 2.确定与不确定之间的差异 3.风险与不确定性 4.一些常用的投资决策原则 期望效用理论 1.偏好关系 2.效用函数的存在性 3.期望效用函数的存在性 2012/9/12金融经济学2 第一节确定与不确定 风险、、投机与赌博 1.风险 2.确定与不确定之间的差异 3.风险与不确定性 4.一些常用的投资决策原则 2012/9/12金融经济学3 一风险，投机与赌博 什么是风险? 风险是指未来收益的不确定性(uncertainty)且可以用概率分布来测度这种不确定性。 风险的度量：标准差或方差 风险溢价：去除无风险资产收益后的实际预期收益。 2012/9/12金融经济学4 什么是投机? 投机是在获取相应的报酬时承担一定的商业风险 什么是赌博?赌博是为一个不确定的结果打赌或下注 赌博与投机相比较，区别在于赌博没有“相应的报酬”。在某些情况下，赌博看起来像 是投机。 2012/9/12金融经济学5 2012/9/12 金融经济学6 例1 两个投资者对美元与英镑的远期汇率持截然相反的态度反的态度。。他们为此打赌他们为此打赌。。假如1年之后年之后，，1英镑的价值超过1.70美元美元，，甲付给乙100美元美元。。如果不超过，乙付给甲100美元美元。。最后只有两种结果最后只有两种结果，，要么超过超过，，要么不超过要么不超过。。 1、甲乙对两种结果的出现概率持相同的意见甲乙对两种结果的出现概率持相同的意见，，均为0.5，则两个人是赌博还是投机则两个人是赌博还是投机？？ 2、如果甲和乙对结果的概率值意见不同如果甲和乙对结果的概率值意见不同，，则两个人是赌博还是投机人是赌博还是投机？？ 玻尔和海森堡在不确定性原理上看法差异的哲学思辨 一、投掷硬币实验 投掷硬币的实验，我曾认真思考过，在理论的情况下正反面出现的概率均为50%。很多人都做过这个实验，在大量的重复实验后，所得的结果都基本趋向于一个接近0.5的稳定值，但还没有谁做出过理想的50%来。 在实际的实验中，考虑的因素无疑要更多一些。如果硬币正反面不对称，那么结果显然不会是理想值，于是我们需要对硬币本身的进行刻画，包括它的几何刻画和密度函数。其次在人抛硬币的动作中，所使用的力也需要数学描述。而在硬币的运动过程中，气流、重力对其运动轨迹会产生影响，因此也需要数学描述这些量。当然，硬币所处的空间，尤其是地面、抛掷者的几何形状无疑也要作出描述。 当仅考虑到这些变量之后，我们发现投掷硬币问题变的非常复杂了，不亚于火箭飞行的流体力学问题。而进一步考虑这些变量之间的制约因素，问题将会更加复杂。 更为可怕的是，当我更为细致的考虑硬币本身的数学描述时，才发现这里面的困难度丝毫不逊于前面。当考察密度时，无疑要考虑到质量，而实际中质量都是由一个标准质量得到的，所以实际中的质量是离散的，而不是连续的，无疑在实际描述硬币的过程中会出现误差。 这种困难表明，在实验中，我们无疑要考虑更多具体因素及其之间的关联，而对于这些因素的具体描述又会让我们陷入更复杂的代数陷阱中，更有可能丧失对问题本身整体几何性质的把握。换句话说，在我们用实验研究理论问题的过程中，具体条件的考察很可能是片面的，并且不为我们所察觉，在不知不觉中我们偏离了理论。 二、量子态的打靶 “中校，我现在要问你一个问题，在这个距离上你们发射的球状闪电对目标的命中率是多少？” “几乎是百分之百，教授。因为不受气流的影响，加速后的轨迹很稳定。” “很好，那么开始吧。记住，瞄准后所有人都闭上眼睛。” “好了，大家可以睁开眼睛了。”丁仪说。 对讲机中听到报靶员的声音：“发射10发，命中：1，脱靶：9。”接着听到他小声说：“邪门了！” “检查武器！” “不用了，武器和射手的操作没问题。”丁仪一摆手说，“不要忘了，球状闪电是一个电子。” “你是说，它呈现量子效应？”我问。 丁仪肯定地点点头：“确实如此！当观察者的时候，它们的状态塌缩为一个确定值，这个值与我们在宏观世界的经验相符，所以它们击中了目标；但没有观察者的情况下，它们呈量子状态，它的一切都是不确定的，其位置只能用概率来描述，在这种情况下，这一排球状闪电实际上是以一团电子云的形态存在的，这是一团概率云，击中目标的位置只占很小的概率。” “您是说，雷球打不中目标是因为我们没看它？”中校难以置信地问。第三讲期望效用函数和风险厌恶者的投资行为
关于效用函数最值的解法
不确定性与期望效用理论
玻尔和海森堡关于不确定性原理看法的哲学思辨