2014云南省高考数学 (理)

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分,在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设集合M={0，1，2}，集合N={x|x 2-3x+2≤0},则M ∩N=

A ．{1}

B ．{2}

C ．{0，1}

D ．{1，2}

（2） 设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=2+i ，则z 1z 2=

A ．-5

B ．5

C ．-4+i

D ．-4-i (3 ) 设向量a ,b 满足|a +b

a -b

则a ·b =

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5 (4) 锐角三角形ABC 的面积是

1

2

则AC= A ．5 B

C ．2

D ．1

(5) 某地区空气资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优 良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45

(6) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），

图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面 半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削 掉的体积与原来毛坯体积的比值为

A ． 1727

B ．59

C ． 1027

D ．13

(7) 执行右面的程序框图，如果输入的x,t 均为2， 则输出的S=

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

(8) 设曲线y=ax-ln(x+1)在点（0，0）处的切线方程为y=2x,则a= A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

(9) 设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤??

-+≤??--≥?

,则z=2x-y 的最大值为

A ．10

B ．8

C ．3

D ．2

(10) 设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 A

．

4 B

．8

C ．6332

D ．94

（11） 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BAC=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1,则BM

与AN 所成角的余弦值为

A ．

110 B ．45 C

．10 D

．2

(12) 设函数

x m

π,若存在f(x)的极值点x 0满足2

220[()]x f x m +<,则m 的取值范围是 A ．（-∞,-6）∪ (6,+ ∞) B ．（-∞,-4）∪ (4,+ ∞) C ．（-∞,-2）∪ (2,+ ∞) D ．（-∞,-2）∪ (2,+ ∞)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13) (x+a)10的展开式中，x 7的系数为15,则a= (用数字作答) (14) 函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为

(15) 已知偶函数f(x)在[0,)+∞上单调递减，f(2)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围是 (16) 设点M （x 0,1）,若圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17) （本小题满分12分）

已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (I) 证明{ a n +1

2

}是等比数列，并求{a n }的通项公式。 (II) 证明123

111132

n a a a a ++++

<

(18) （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点。 (I) 证明：PB ∥平面AEC

。

(II) 设二面角D-AE-C 为60°求三棱锥E-ACD 的体积。

（19） （本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯y （单位：千克）的数据如下表：

(I) 求y 关于t 的线性回归方程。

(II) 利用(I)中的回方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。

附：回归直线的低斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

1

21

()()

,()n

i

i i n

i

i t

t y y b a y bt t

t ==--=

=--∑∑

（20）（本小题满分12分）

设F 1，F 2分别是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂

直，直线MF 1与C 的另一个焦点交为N 。 (I) 若直线MN 的斜率为

3

4

，求C 的离心率。 (II) 若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|,求a,b.

(21) （本小题满分12分）

已知函数f(x)=2x

x

e e

x ---

(I) 讨论f(x)的单调性。

(II) 设g(x)=f(2x)-4bf(x).当x>0时，g(x)>0,求b 的最大值。 (III) 已知估计ln2的近似值。（精确到0.001）

(22) （本小题满分10分）

如图，P 是⊙O 处一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ， PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E 。证明：

(I) BE=EC

(II) AD DE=2PB 2

(23) （本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正关轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方

程为2cos ,[0,

]2

π

ρθθ=∈

(I) 求曲线C 的参数方程。

(II) 设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线

l:2y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 点的坐标。

(24) （本小题满分10分）

设函数f(x)=|x+

1

a

|+|x-a| (a>0) (I) 证明f(x)≥2 .

(II) 若f(3)<5,求a 的取值范围。 参考答案附后

2014云南省高考数学 新课标2 （理）答案

一、选择题 1. 解析D

把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤

+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2. 解析A

1122122,-2,-1-4-5,.

z i z z z i z z A =+∴=+==与关于虚轴对称，故选

3. 解析A

.

,1,62-102∴,6|-|,10||2

22

2

A b a 故选联立方程解得，==+=++==+

4. 解析B

.

.5,cos 2-43π

∴ΔABC 4π

.43π,4π∴,22

sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???==

5. 解析 A

.

,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?=

6. 解析 C

..27

10

π54π34-π54π.342π944.

2342π.

546π9632

1C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==

∴=?+?=∴=?=∴π

7. 解析 D

2,2, 1 3 1 2 5 2 2 7 3 .

x t M S K

D ==变量变化情况如下：故选

8. 解析 D

..3.2)0(,0)0(.

1

1-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+= 9. 解析 B

.

.8,

)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数

三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=

10. 解析 D

.

.4

9

)(4321.

6),3-2(23

),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+??=∴=+∴=+=?=+?===11. 解析 C

..1030

5

641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。

，），，则

轴，建立坐标系。令为，，如图，分别以=+=

=====

12. 解析 C

.

2.||,34∴34)]([,2

|

|||,3)]([3πsin

3)(22

2202

0020C m m m m x f x m x x f m x x f 故选解得，，即的极值为><++≥+∴≤=±= 二.填空题

13. 解析

.2

1.21,15a ∴15x a x 3

310737310====a a C C 故

14. 解析

.

1∴.1≤sin φsin )φcos(-φcos )φsin()

φcos(φsin 2-φsin )φcos(φcos )φsin()

φcos(φsin 2-)φ2sin()(最大值为x x x x x x x x x f =?+?+=+?++?+=++=

15. 解析

()[0,)(2)0()0|| 2.(-1)0|-1|2(-1,3.

|-1|2(-1,3.

y f x f f x x f x x x x xx =+∞=><><∈>∈偶函数在上单增，且可得的解集为于是的解集为，解得）故解集为，解得）

16. 解析

].

1,1-[∈x ].1,1-[x .,1)M(x 1,y O 000故形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆∈=

三.解答题： 17.解析： （1）

的等比数列。

公比为是首项为3,23

21}21{∴).21(3211321a ∴.

*N ∈.n 13,111n 11=+++=++=+

+==++a a a a a a a n n n n n (2)

（证毕），所以，）（时，当，知，由.

*∈2

3

1111.

23

31-1233

1-131-131313111111∴.3

1

1-3211,11.

1-32

121-3∴,2321)1(3211-213211-1N n a a a a a a a a a n a a a a n n n n n n n n n n n n n n <++++<==++++<++++<=>====+

18. 解析

（1）连结BD 交AC 于点O ，连结EO 。因为ABCD 为矩形，所O 为BD 中点。又E 为PD 中点，所以EO ∥PB.EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC,所以PB ∥平面AEC. （2）设CD=m, 分别以AD,AB,AP 为X,Y ,Z 轴建立坐标系，则

。

的体积为所以，三棱锥的高即为三棱锥面且的中点，则为设解得解得一个则法向量为同理设平面解得一个则法向量为设平面8

3

-.

83

21323213131∴.-,

⊥,21

2,//.2

3,21333

|,cos |3πcos ).3-,3-,(,0,0),,,().

0,1,0(,0,0),,,().

0,,3(),21

,0,23(),0,0,3(∴).0,,3(),21

,0,23(

),0,0,3(),0,0,0(Δ-2

222222222222221111111ACD E EF S V ACD E ACD EF EF PA EF PA AD F m m m n n m m n n n z y x n ACE n n n z y x n ADE m m C E D A ACD ACD E =????=??=====

++=><============

19.解析：

（1）

.3.25.03

.24*2

1

-3.4-,

21

2*14142*)149(8.48.15.007.0214*3,3.47

9

.52.58.44.46.33.39.2,47721+======++++++++=

+==++++++==+++=

t y t y t b y a b a bt y y t 的回归方程为关于所以，代入公式，经计算得设回归方程为

百元左右。

千年，该区人均纯收入约所以，预计到千元）该区人均纯收入年，增长，预计到年该区人均纯收入稳步年至862015(8.63.295.0201520132007∴,02

1

=+?=>=

y b 20. 解析: （1）

.

2

1

∴.2102-32.,43

21∴4322222211的离心率为解得，

联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==?=

7

2,7.72,7.,

,1:4:)23-(,:

.23-,,.4,.

4222221111112

2====+===+=+====?=b a b a c b a a

c

e NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F a

b MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可

21. 解析：

（1）

.

)(.

02-12≥2-12-)(∴∈2--)(--上单增在所以，，R x f e e e e e e x f R x x e e x f x

x

x x x x x x =?+=+=′= （2）

2

≥22≥0-0≥)-(-))((0≥)-(2-2-2.0≥)(0,t t),(0,∈?x ∴)-(2-2-2)(.0)0(,0m m),(0,∈x )2-(2-2-)(.

0≥)2-(2-2-0≥)2-(4-4-22.0≥)(0,m m),(0,∈?x ∴)2-(4-4-22)(.

0)0(,0),2--(4-4--)(.0,0)2--(4-4--)(4-)2()(--------2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2的最大值为，所以，即即，

且，即即使，则，同理，令即即使，则令b b e e e e b e e e e e e b e e e e e e b e e x m e e b e e x m m e e b e e x m e e b e e e e b e e x h e e b e e x h h x x e e b x e e x h x x e e b x e e x bf x f x g x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =?>++>+>=′=>++=++++′>++=′=>=>>==

（3） 由（2）知，

32(21)ln 22b -+-

>0.6928 当

1+时，

32)ln 22-

<0,ln2<1828

<0.6934 所以，ln2的近似值为0.693.

22. 解析：

（1）

EC.

BE BE ∠CE ∠BE ∠αBE,∠βαβBE ∠∠DEB ∠PDA ∠∠∠∠∠.

AE ∠CE ,∠EB ∠,,,2===+=+∴+===+=+====∠Δ=∴==，所以，即即则连接为等腰三角形。

，D B D D D PAD BAD PAB BCE PAB B B D PAB AB PAD PD PA DC PD PA PC αβ

（2）

22

PA ,,2,:BD DC.2PB PC PD DC PA DC PB BD PB

AD DC AD DC PB =?====?=??=由切割线定理得:因为所以由相交弦定理得所以

23.解析：

（1） C 的普通方程为 (x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1) 可得C 的参数方程为 1c o s ,

s i n x t y t =+??

=?

(t 为参数，0≤t ≤π)

（2） 设D(1+cost,sint).由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同。

3π. 故点D 的坐标是(1+cos 3π,sin 3π)即

D(3,22

) 24.解析：

由a>0,有f(x)=111

|||||()|2x x a x x a a a a a

+

+-≥+--=+≥ 所以 f(x)≥2 (2)

f(3)= 1

|3||3|a a

+

+- 当a>3时，f(3)= 1a a +

，由f(3)<5

得532

a +<< 当0

,由f(3)<5

3a <≤ 综上,a 的取值范围是

(

12+

,52

+)