《解三角形》专题训练

《解三角形》专题训练

1．已知顶点在单位圆上的ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

222b c a bc +=+.

（1）求角A 的大小;

（2）若224b c += ,求ABC ?的面积.

1．解：（1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=，

故 2221cos 22

b c a A bc +-==

又∵0A π<< ∴3

A π

=

（2）由已知ABC ?的外接圆半径为1R =,由（1）知3

A π=

∴由正弦定理得2sin 21a R A ==?=由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-

即

2

221

2cos

34232

b c bc bc π

=+-=-?，即

∴1bc = ∴11sin 1sin 223ABC S bc A π?=

=??=

. 2.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，cos a b b C -=.

（Ⅰ）求证：sin tan C B =； （Ⅱ）若1a =,2b =，求c .

2.（Ⅰ）由cos a b b C -=,根据正弦定理得sin sin sin cos A B B C -=，

即sin()sin sin cos B C B B C +=+，

∴sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+C ， ∴sin cos sin C B B =，

∵0B π<< ∴cos 0B ≠∴sin tan C B =．

（Ⅱ）∵1a =,2b =，cos a b b C -= ∴1cos 2

C =-

∴2

2

2

2cos c a b ab C =+-

221

12212()72

=+-???-=

∴c =

3.在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

且3sin cos a C c A =.

（1）求sin A ； （2）若4

B π

=

，ABC ?的面积为9，求a .

3.解：（1）由已知及正弦定理，得3sin sin sin cos A C C A =

∵0C π<< ∴sin 0C ≠ ∴1

tan 3

A =

且A 为锐角

∴sin A =

（2）由（1）知sin A =

cos A = ∴sin sin()sin()4

C A B A π

=+=+

(sin cos )2A A =

+=

由正弦定理，得

sin sin a A c C ==

∴c =

∵

11sin 9222

ac B a =??= ∴3a =

4.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

2sin 2cos sin3A A A A -=（1）求角A 的大小；

(2)若1a =，且sin sin()2sin 2A B C C +-=,求ABC ?的面积.

4.解：（1）∵2sin 2cos sin3A A A A -

2sin 2cos sin(2)A A A A A =-+

sin 2cos cos2sin A A A A A =-

sin(2)A A A =-

sin A A =

2sin()3

A π

=+=

∴sin()3

A π

+

=

∵0A π<< ∴4(,)333

A π

ππ+∈ ∴23

3A π

π+

=

∴3

A π= (2)由(1)知3

A π

=

∵sin sin()2sin 2A B C C +-= ∴sin()sin()4sin cos B C B C C C ++-= ∴2sin cos 4sin cos B C C C = ∴cos (sin 2sin )0C B C -= ∴cos 0C =或sin 2sin B C = ①当cos 0C =时，2

C π

=

∴6

B A

C π

π=--=

∴tan 1b a B ===

∴ABC ?的面积为11122S ab =

=?=②当sin 2sin B C =时，由正弦定理得2b c =， 由佘正弦定理得2

2

2

2cos a b c bc A =+-

即2

2

114222c c c c

=+-，即2

13c = 则ABC ?的面积为11

sin 2sin 22

S bc A c c A ==???

11223=??=

综上，ABC ? 5.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

4cos()

cos c a A B b B

-+=, （1）求cos B 的值

(2)若ABC ?2a c =+，求b 的大小。

5.解：（1）由已知及正弦定理，得

sin 4sin cos sin cos C A C

B B

--=

即sin cos 4sin cos sin cos C B A B B C -=- 即sin()4sin cos B C A B += 即sin 4sin cos A A B =

∵0A π<< ∴sin 0A ≠ ∴1

cos 4

B =

(2)∵1cos 4B =

，0B π<< ∴sin B =

∵ABC ?2a c =+

∴

115(2)152c c +=解得2c =或4c =-（舍去） ∴24a c =+=

由佘弦定理得4b =

== 6．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且8a b c ++=． （1）若5

2,2

a b ==

，求cos C 的值； （2）若22sin cos

sin cos 2sin 22

B A A B

C +=，且ABC ?的面积9sin 2S C =，

求a 和b 的值

6．解：（1）由题意可知7

8()2

c a b =-+=

． 由余弦定理得222

2

2

2

572()()122cos 525222

a b c C ab +-+-==

=-??． （2）由22sin cos

sin cos 2sin 22

B A A B

C +=可得 1cos 1cos sin sin 2sin 22

B A A B

C ++?+?=，

化简得sin sin cos sin sin cos 4sin A A B B B A C +++=． 因为sin cos cos sin sin()sin A B A B A B C +=+=，

由正弦定理可知3a b c +=，又8a b c ++=，所以6a b +=． 由于19

sin sin 22

S ab C C =

==，所以9ab =， 从而2

690a a -+=，解得3a =，所以3b =．

7．已知ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，满足2

223tan a

c b bc

A -+=

。 （1）若(0,

)2

A π∈，求角A ；

（2

）若cos sin +=a c b C C ，试判断ABC ?的形状。

7．解：（1）由余弦定理知：A bc a c b cos 22

22=-+

，∴tan 2cos A A

=

，

∴sin 2A =

∵(0,)2

A π∈，∴3π=A 。 （2

）∵cos sin a c b C C +=，

∴由正弦定理有：sin sin sin cos sin +=A C B C B C ，

而=+A B C ，

∴sin cos cos sin sin sin cos sin B C B C C B C B C ++=，

即cos sin sin sin +=B C C B C ，而sin 0≠C ，

cos 1B B -=，∴1sin()6

2

B π

-=

()0,π∈B ，∴3

B π

=

，

又由（1

）知sin =A ，()0,π∈A 及3

π

=

B ，∴3

A π

=

，

从而3

π

===

A B C ，因此ABC ?为正三角形。

8．已知D 是直角ABC ?斜边BC 上一点,AC ．

（I ）若30DAC ∠=,求角B 的大小；

（II ）若2BD DC =,且AD =求DC 的长．

8．解：（I ）在ADC ?中,根据正弦定理,有

sin sin AC DC

ADC DAC

=

∠∠.

因为AC ,所以sin ADC DAC ∠=∠=

. 又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC ,所以120ADC ∠=°. 于是 3030120180=--=∠C ,所以60B ∠=°.

（II ）设DC x =，则2,3,BD x BC x AC ===

于是sin AC B B AB BC =

=== 在ABD ?中，由余弦定理得，2

2

2

2cos AD AB BD AB BD B =+-，即

(2

22264222x x x x =+-?=，解得2x = 故2DC =

9．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cosC c 2b a -=．

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若c =

B 的平分线BD =，求a ．

9．解：（Ⅰ）2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得 2sin A cos C －sin C ＝2sin B ，

2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ， ∴－sin C ＝2cos A sinC ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－ 1

2，

而A ∈(0, π)，∴A ＝2π

3

.

（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理得，

AB sin ∠ADB ＝BD

sin A

∴ sin ∠ADB ＝AB sin A BD

＝ 2

2， …

∴ ∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π

6

，AC ＝AB ＝ 2

由余弦定理，a =BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ?AC cos A ＝ 6.

9．在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

2sin cos 2sin sin A C B C =-．

（1）求A 的大小；

（2）在锐角ABC ?

中，a =c b +的取值范围．

9．解：（1）∵2sin cos 2sin sin A C B C =-2sin()sin A C C =+-

2sin cos 2cos sin sin A C A C C =+-

∴2cos sin sin A C C =，

∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =

，由(0,)A π∈，可得：3

A π

=． （2）∵在锐角ABC ?

中，a =1）可得3A π=，23

B C π

+=，

∴由正弦定理可得：2

sin sin b c

B C

==

=， ∴22sin 2sin 2sin 2sin(

)3

c b C B B B π

+=+=+-

3sin )6

B B B π

==+），

∵(,)62B ππ∈，∴2(,

)633

B πππ

+∈，

∴sin()6

B π

+

∈

，∴)(3,6c b B π+=+∈

10．已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，且ABC ?的外接圆半

sin sin ()sin a A c C a b B -=-． (Ⅰ)求角C ；

(Ⅱ)求ABC ?面积S 的最大值．

10．解：(Ⅰ)由已知sin sin ()sin a A c C a b B -=-和正弦定理得

22

()a c b a b -=-，即2

2

2

a b c ab +-=

∴由余弦定理得2221

cos 222

a b c ab C ab ab +-=

==

又∵C 为ABC ?的内角 ∴0C π<< ∴3

C π

=

(Ⅱ) ∵ABC ?

3

C π

=

∴由正弦定理得

sin sin a b

A A

==

∴a A =

，b B =

∴11sin sin 223

S ab C A B π=

=???

2sin()3

A A π

=

-

1

sin )

2

A A A =

+ 3sin 2222

2

A cos A =

-+

)62

A π=-+

∵203A π<<

∴72666

A πππ-<-<

∴当26

2

A π

π

-

=

，即3

A π

=

时S 有最大值

2

11．已知ABC ?为锐角三角形,若向量

p (,cos )a A =与向量q ,sin )B =是共线向量。

(1)求角A ；

(2)求函数2

32sin cos

2

C B

y B -=+的最大值。 11．解：(

1)∵,p q 共线 ∴sin cos 0

a B A =

由正弦定理得sin sin cos 0A B B A = 又B 为锐角

∴sin 0B ≠ ∴sin

0A A =, 即tan A =A 为锐角，则3

A π

=

(2)由(1)知3

A π

=

∴2

32sin cos 2

C B

y B -=+233

2sin cos

2

B B B π

π-

--=+

22sin cos(2)3

B B π

=+-

11cos 2cos 222B B B =-++

1

2cos 2122

B B =

-+ sin(2)16

B π

=-+

∵02

B π

<< ∴526

6

6

B π

π

π-

<-

<

∴当26

2

B π

π

-=

即3

B π

=

时,y 有最大值为2．