【四清导航】九年级数学上册 第三章单元清试题 (新版)湘教版
第3章
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.如图,DE ∥BC ,则下列比例式错误的是( A )
A.AD BD =DE BC
B.AD BD =AE EC
C.AB BD =AC EC
D.AD AB =AE AC 第1题图
第2题图
第3题图
2.如图,五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形,点A 和点A 1是一对对应点,P 是位似中心,且2PA =3PA 1,则五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1的相似比等于( B ) A.23 B.32 C.35 D.53
3.如图,D ,E 分别是AB ,AC 上的点,CD 与BE 相交于点O ,下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是( D )
A .∠
B =∠
C B .∠ADC =∠AEB C .B
D =C
E ,AB =AC D .AD ∶AB =AE ∶AD
4.已知a 2=b 3=c 4
(a ≠0),那么(a +2b +3c )∶a 等于( C ) A .8 B .9 C .10 D .11
5.如图是一个测量小玻璃管口径的量具ABC ,AB 的长为12 cm ,AC 被分为60等份,如果小玻璃管口DE 正好对着量具的20等份处(DE ∥AB ),那么小玻璃管口径DE 为( A )
A .8 cm
B .10 cm
C .20 cm
D .60 cm
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
6.厨房角柜的台面是三角形(如图所示),如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石(图中阴影部分),其余部分铺成白色大理石,那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是( C )
A.14
B.44
C.13
D.34
7.(2015·温州模拟)如图,正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,AF ⊥DE 于点O ,则
AO DO 等于( A ) A.12 B.13 C.23 D.253
8.如图,已知△ABC 的面积是12,BC =6,点E ,I 分别在边AB ,AC 上,在BC 边上依次做了5个全等的小正方形DEFG ,GFMN ,…,KHIJ ,则每个小正方形的边长为( D ) A.1211 B.127 C.125 D.1213
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.若线段a =3 cm ,b =6 cm ,c =5 cm ,且a ,b ,c ,d 是成比例线段,则d =__10__cm. 10.若x +y y =74,则y x 的值为__43
__. 11.如图,D ,E 两点分别在△ABC 的边AB ,AC 上,DE 与BC 不平行,当满足__∠ADE =∠C
或∠AED =∠B 或AD AC =AE AB 或AD AC =AE AB =DE BC
__条件(写出一个即可)时,△ADE ∽△ACB .
第11题图
第12题图
第13题图
12.如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2 m 的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距6 m ,与树相距15 m ,则树的高度为__7__m.
13.如图,在△ABC 中,点D 在边AB 上,满足∠ACD =∠ABC ,若AC =2,AD =1,则DB =__3__.
14.如图,把△ABC 沿AB 平移到△A ′B ′C ′的位置,它们重叠部分的面积是△ABC 面积的
一半,若AB =2,则此三角形移动的距离AA ′是.
15.如图所示,正方形ABCD 的边长是2,BE =CE ,=1,线段MN 的端点M ,N 分别在CD ,AD 上滑动,当DM =55
时,△ABE 与以D ,M ,N 为顶点的三角形相似.
第14题图
第15题图
第16题图
16.(2014·攀枝花)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BE 平分∠ABC 交CD 于E 点,且BE ⊥CD ,CE ∶ED =2∶1.如果△BEC 的面积为2,那么四边形ABED 的面积是__74
__.
三、解答题(共72分)
17.(6分)如图,两平行线交∠A 的一边于B ,C 两点,交∠A 的另一边于D ,M 两点,已知AC +AB =14,且AM ∶AD =4∶3,求AB 的长.
解:∵AM∶AD =4∶3,又BD∥CM ,∴AD AM =AB AC =34
.设AB =3x ,AC =4x ,又AC +AB =14,∴4x +3x =14,解得x =2,∴AB =3×2=6.
18.(7分)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC .
解:证明:∵DE∥BC ,∴∠ADE =∠B ,∠AED =∠C.又EF∥AB ,∴∠B =∠CFE ,∴∠ADE =∠CFE ,又∠AED =∠C ,∴△ADE ∽△EFC.
19.(7分)(2014·铜仁)如图所示,AD ,BE 是钝角△ABC 的边BC ,AC 上的高,求证:AD BE =AC BC .
解:证明:∵AD ,BE 是钝角△ABC 的边BC ,AC 上的高,∴∠D =∠E =90°,∵∠ACD =∠BCE ,
∴△ACD ∽△BCE ,∴AD BE =AC BC
.
20.(8分)(2014·陕西)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,先在河岸边选择了一点B (点B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸).
①小明在B 点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处,如图所示,这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB =1.7米;
②小明站在原地转动180°后蹲下,并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处,此时小亮测得BE =9.6米,小明的眼睛距地面的距离CB =1.2米.
根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BD 是多少米?
解:由题意得,∠BAD =∠BCE ,∵∠ABD =∠CBE =90°,∴△BAD ∽△BCE ,∴BD BE =AB CB ,∴BD 9.6
=1.71.2
,解得BD =13.6.故河宽BD 是13.6米.
21.(9分)(2014·巴中)如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点坐标分别为A (-2,4),B (-2,1),C (-5,2).
(1)请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1;
(2)将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A 2,B 2,C 2,请画出△A 2B 2C 2;
(3)求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比,即S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2=__1∶4__(不写解答过程,直接写出结果).
解:(1)略;(2)略
22.(8分)已知:在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠C =90°,AB =AD =25,BC =32.连接BD ,AE ⊥BD ,垂足为E 点.
(1)求证:△ABE ∽△DBC ;
(2)求线段AE 的长.
解:(1)证明:∵AB =AD =25,∴∠ABD =∠ADB ,∵AD ∥BC ,∴∠ADB =∠DBC ,∴∠ABD =∠DBC ,∵AE ⊥BD ,∴∠AEB =∠C =90°,∴△ABE ∽△DBC ;(2)解:∵AB =AD ,又AE⊥BD ,
∴BE =DE ,∴BD =2BE ,由△ABE∽△DBC ,得AB BD =BE BC ,∵AB =AD =25,BC =32,∴252BE =BE 32
,∴BE =20(舍负值),∴AE =AB 2-BE 2=252-202
=15.
23.(8分)如图,马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目,跷跷板支柱AB 的高度为1.2米.
(1)若吊环高度为2米,支点A 为跷跷板PQ 的中点,狮子能否将公鸡送到吊环上?为什么?
(2)若吊环高度为3.6米,在不改变其他条件的前提下移动支柱,当支点A 移动到跷跷板PQ 的什么位置时,狮子刚好将公鸡送到吊环上?
解:(1)狮子能将公鸡送到吊环上.理由如下:过点Q 作QH ⊥PC ,可证△PAB∽△PQH ,得AB QH
=PA PQ =12
,∴QH =2AB =2×1.2=2.4 m>2 m ,因此狮子能将公鸡送到吊环上;(2)由(1)可知PA PQ =AB QH =1.23.6,∴PA PQ =13,即当支点A 移到跷跷板PQ 的13
处时,狮子刚好将公鸡送到吊环上.
24.(9分)如图,E 是矩形ABCD 的边BC 上一点,EF ⊥AE ,EF 分别交AC ,CD 于点M ,F ,BG ⊥AC ,垂足为G ,BG 交AE 于点H
.
(1)求证:△ABE ∽△ECF ;
(2)找出与△ABH 相似的三角形,并证明;
(3)若E 是BC 的中点,BC =2AB ,AB =2,求EM 的长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABE =∠ECF =90°.∵AE ⊥EF ,∴∠AEB +∠FEC =90°.又∠AEB +∠BAE =90°,∴∠BAE =∠CEF ,∴△ABE ∽△ECF ;(2)解:△ABH∽△ECM.证明:∵BG⊥AC ,∴∠ABG +∠BAG =90°,又∠BAG +∠ECM =90°,∴∠ABH =∠ECM ,由
(1)知∠BAH =∠CEM ,∴△ABH ∽△ECM ;(3)解:作MR⊥BC ,垂足为R ,∵AB =BE =EC =2,
∴AB ∶BC =MR∶RC =12,∠AEB =45°,∴∠MER =45°,CR =2MR ,∴MR =ER =13EC =13
×2=23,∴EM =223
.
25.(10分)如图,在△ABC 中,BA =BC =20 cm ,AC =30 cm ,点P 从A 点出发,沿着AB 以每秒4 cm 的速度向B 点运动,同时点Q 从C 点出发,沿着CA 以每秒3 cm 的速度向A 点运动,设运动时间为x 秒.
(1)x 为何值时,PQ ∥BC?
(2)是否存在某一时刻,使△APQ ∽△CQB ?若存在,求出此时AP 的长;若不存在,请说明理由;
(3)当S △BCQ S △ABC =13时,求S △
APQ S △ABQ
的值.
解:(1)由题意知AP =4x ,CQ =3x ,若PQ∥BC ,则△APQ∽△ABC ,∴AP AB =AQ AC
,∵AB =BC =20,AC =30,∴AQ =30-3x ,∵4x 20=30-3x 30,∴x =103,∴当x =103
时,PQ ∥BC ;(2)存在.理由如下:∵△APQ∽△CQB ,则AP CQ =AQ CB ,∴4x 3x =30-3x 20
,∴9x 2-10x =0,∴x 1=0(舍去),x 2=109.∴当AP 长为409时,△APQ ∽△CQB ;(3)∵S △BCQ S △ABC =13,∴CQ AC =13
,又AC =30,∴CQ =10,即3x =10,解得x =103,此时,AP =4x =403,∴AP AB =40320=23.∴S △APQ S △ABQ =AP AB =23
.
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九(上)数学知识点覃勉 第一章一元二次方程 一元二次方程:只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式。 (2)一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式:ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0),其中,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 2、分解因式法 3、配方法 4、公式法 (1)求根公式: b2-4ac≥0时,x= a ac b b 2 4 2- ± - (2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0);二、计算b2-4ac 的值,当b2-4ac≥0时,方程有实数根(>0有两个实数根,=0两个相等实数根).当b2-4ac <0时,方程无实数根;三、代入求根公式,求出方程的根;四、写出方程的两个根。 第三章图形的相似 1、线段的比 一般地,在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比, 那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果a/b=c/d,那么ad=bc. 3、相似三角形的性质和判定 角对应相等,且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三 角形.如果△A′B′C′与△ABC相似,且A′,B′,C′分别与A,B,C对应,那么记作△A′B′C′∽△ABC,读作“△A′B′C′相似于△ABC”.相似三角形的对应边的比k叫作相似比 判定定理1三边对应成比例的两个三角形相似. 判定定理2两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理3两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方
七年级下【四清导航】同步练习(含答案)
第5章分式 5.2 分式的基本性质第1课时分式的基本性质 1.(3 分)下列各式中,成立的是( x x A. =2 y y 2 D ) x x+ax D. =(a≠-1) y y+ay D ) x xy B. =y x+y x x+a C. =y y+a 2a 2.(3 分)若分式中a,b 的值同时扩大到原来的10 倍,则此分式的值( a+b A.是原来的20 倍(a-b)2 A. =1 (b-a)2 0.2a+b 2a+b A. =0.7a-b 7a-b B.是原来的10 倍D ) 0.5a+b 5a+10b C. =0.2a-0.3b 2a-3b ) a -b C. =-1 b -a 1 2 3 D. +=c c c 1 C.是原来的倍10 D.不变 3.(3 分)下列运算错误的是( -a-b B. =-1 a+b A xy x B. 2 3=xy y 3 2 a-b b-a D. =a+b b+a 4.(3 分)下列计算错误的是( 0.5x-1 5.(3 分)不改变分式的值,把它的分子和分母中各项的系数都化为整数,则所得0.3x+2 的结果为( B ) 5x-10 B. 3x+20 2x-1 C. 3x+2 x-2 D. 3x+20 A ) 5x-1 A. 3x+2 x2+y2 y-2x a2-2a+1 12x2y x-y 6.(3 分)下列分式:,2 ,,,中,最简分式有( 3x x -y2 2(x+y)2x-y 1-a2 A.1 个B.2 个C .3 个D.4 个
a+b (7.(3 分)填空:(1) =ab a2+ab );a2b x2+xy x+y (2) 2 =. x (x ) x2 x 8.(2 分)将分式2 约分得__ __.x+1 x +x x2-9 9.(3 分)约分:=__x-3__.x +3 m+4 m2-16 10.(3 分)化简得__ __;当m=-1 时,原式的值为__1__.3 3m-12 2a2-2 1 11.(3 分)当a=时,代数式-2 的值为__1__. 2 a-1 12.(6 分)不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项系数都是正数.-x2-2 (1) ;-x+4 x2+2 解:(1) x-4 -x2-3x+5 (2) . x-1 x2+3x-5 (2)-x-1
湘教版九年级上册数学期末试卷
九年级上册数学期末测试试卷 总分:120 时间:120 姓名 得分 一.选择题(每小题3分,共30分) 1.方程x 2 =x 的解是 ( ) =0 =1 =±1 =1,x=0 2.在Rt △ABC,∠C =90°, sinB = 3 5 ,则sinA 的值是( ) A.35 B.45 C.53 D.54 3.一斜坡长10m ,它的高为6m ,将重物从斜坡起点推到坡上4m 处停下,则停下地点的高度为 ( ) A .2 m B . m C .3 m D .4 m 4.方程x 2-2x-3=0变为(x+a)2 =b 的形式,正确的是 ( ) A. (x+1)2 =4 B (x-1)2 =4 C. (x+1)2 =3 D.(x-1)2 =3 5.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD ,并使其面 积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 ( ) o B. 45o 6.用13m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m 2 的长方形,求这个长方形的长和宽,设平行于墙的一边为x m ,可得方程 ( ) A .(13)20x x -= B . 20)13(2 =-x x C .113202x x ? ?-= ?? ? D . 20)213(2 =-x x 7. 已知点M (-2,3 )在双曲线x k y = 上,则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A.(3,-2 ) B.(-2,-3 ) C.(2,3 ) D.(3,2) 8.在ABC 中,∠C=900 a,b,c 分别是∠A,∠B ,∠C 的对边.则 ( ) = B. b= = = 9、已知点A (11x y ,)、B (22x y ,)是反比例函数x k y =(0>k )图象上的两点,若210x x <<,则有 ( ) A .210y y << B .120y y << C .021< 湘教版九年级数学上册 第一章反比例函数 (一)反比例函数 1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变 量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而 得到反比例函数的解析式; (二)反比例函数的图象与性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图象:反比例函数的图象:在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0, 且x应对称取点(关于原点对称). (1)图象的形状:双曲线越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大. (2)图象的位置和性质:自变量,函数图象与x轴、y轴无交点,两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x 的增大而减小; 当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,若(a,b)在双曲线的一支上,(,)在双曲线的另一支上. 图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在 双曲线的另一支上. 4.k的几何意义:如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是). 如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为. 图1 图2 5.说明: (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点, 且这两个交点关于原点成中心对称. (三)反比例函数的应用 九年级上学期期末考试数学试题 时间:120分钟满分:120分 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( ) A.-1 B. 2 C.1和 2 D.-1和 2 2.cos60°-sin30°+tan45°的值为( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.在反比例函数y=k x (k<0)的图象上有两点(-1,y1),(- 1 4 ,y2),则y1 -y2的值是( ) A.负数 B.非正数 C.正数 D.不能确定 4.某校为了解八年级学生每周课外阅读情况,随机调查了50名八年级学生,得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据,并绘制成频数分布直方图,如图所示,根据统计图,可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( ) A.2.8小时 B.2.3小时 C.1.7小时 D.0.8小时 ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图) ,第7题图) 5.如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比),坝高BC=3 m,则坡面AB的长度是( ) A.9 m B.6 m C.6 3 m D.3 3 m 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,c=10,则下列不正确的是( ) A.∠B=60° B.a=5 C.b=5 3 D.tan B= 3 3 7.如图,五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形,O 为位似 中心,OD =12 OD ′,则A ′B ′∶AB 为( ) A .2∶3 B .3∶2 C .1∶2 D .2∶1 8.方程x 2-(m +6)x +m 2=0有两个相等的实数根,且满足x 1+x 2=x 1x 2,则 m 的值是( ) A .-2或3 B .3 C .-2 D .-3或2 9、如图,将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 落在点C ′处,BC ′交AD 于点E ,则下列结论不一定成立的是( ) A .AD =BC ′ B .∠EBD =∠EDB C .△ABE ∽△CB D D .sin ∠ ABE =AE ED 10、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示,对称轴是1x =,则下列结论中正确的是( ). A.0ac > B.0b < C.240b ac -< D.20a b += 第五单元 一、积累和运用(26分) 1.下列加点字注音有误的一项( A )(3分) A.镌.刻(juàn)沉淀.(diàn)山岚.(lán)泡沫.(mò) B.笃.信(dǔ) 针灸.(jiǔ) 闲暇.(xiá) 汹.涌(xiōng) C.吟.唱(yín) 恐吓.(hè) 犟.龟(jiàng) 怨.恨(yuàn) D.眺.望(tiào) 横亘.(gèn) 阻碍.(ài) 濒.危(bīn) 2.下列词语书写无误的一项是( B )(3分) A.一无是处栩栩如声忠贞不渝精力旺盛 B.骇人听闻诲人不倦扑朔迷离兴致勃勃 C.忧心冲冲眼花缭乱稽费时日温厚恭良 D.白驹过隙不可救要繁复新巧心有余悸 3.下列对病句的修改不正确的一项是( D )(3分) A.中学生之所以喜欢网络小说的原因,在于这些作品大多思想感情丰富细腻,而且叙述方法自由活泼。(语意重复,“之所以”和“的原因”去掉一个) B.我认为,应该尽可能使用简化字,不要滥用繁体字,这样会给汉字规范化和青少年学习增加困难。(表意不清,“这样”一词指代不明) C.望着白云缭绕的香炉峰和飞流直下的庐山瀑布,无不使游览者感受到大自然的壮美雄奇和神功伟力。(缺主语,去掉“使”,将“游览者”移到“无不”之前) D.他们在遇到困难的时候并没有消沉,而是在大家的依赖和关怀中得到了力量,树立了克服困难的信心。(用词不当,将“依赖”改为“依靠”) 4.读下边评论,分别填出我国四大古典名著。(4分) (1)《三国演义》不仅是我国章回小说的开山作品,也是我国最有成就的长篇历史小说。 (2)《水浒传》是我国文学史上第一部描写农民起义的长篇小说,它深刻挖掘了农民起义的社会根源,成功塑造了起义英雄的形象。 (3)《西游记》是我国杰出的浪漫主义的神话小说,在它幻想的情节中,交织着深刻的现实内容。 (4)《红楼梦》是我国古典小说现实主义高峰的标志,它写出了四大家族由盛而衰,揭示了封建制度必然灭亡的历史趋势。 5.名句积累。(6分) (1)《陌上桑》中,从行者和少年角度侧面烘托罗敷之美的句子是行者见罗敷,下担捋髭须。少年见罗敷,脱帽着帩头。 (2)李白的《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》借助想象,视明月为知己,托付一片真情的句子是我寄愁心与明月,随风直到夜郎西。 (3)《江南春》描写江南春天美好景象的句子是千里莺啼绿映红,水村山郭酒旗风。 6.你们学校要求各班以“科普日”为主题召开一次主题班会,请你积极参加。(7分) (1)在“我第一次迷上了科学”环节中,你准备从哪几方面谈这个话题?(2分) 示例:迷上科学的时间;迷上科学的活动(物品);迷上科学产生的故事。 (2)为了更好地开展本次活动,老师派你去邀请当地知名的科普专家李先生来做报告,你见到李先生应该怎么说?(3分) 示例:李先生,您好!我是学校7年级的同学,我受全班同学的委托,邀请您参加我班本周四下午三点的科普主题班会,并想请您做相关报告。恳请您届时参加,好吗? 第一章 反比例函数 探究内容:1.1 建立反比例函数模型(1) 目标设计:1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律,抽象出反比例函数 的概念; 2、理解反比例函数的概念和意义; 3、培养学生自主探究知识的能力。 重点难点:对反比例函数概念的理解 探究准备:投影片等。 探究过程: 一、旧知回顾: 1、函数的概念: 一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。 2、一次函数的概念: 一般地,如果y kx b =+(k 、b 是常数,0k ≠)那么y 叫做x 的一次函数。如:31y x =-,… 当0b =时,有y kx =(k 为常数,0k ≠)则y 叫做x 的正比例函数。如:1 2 y x =-, 4y x =,… 二、新知探究: 类似地,有反比例函数: 1、概念: 一般地,如果两个变量y 与x 的关系可以表示成k y x =(k 为常数,0k ≠)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。 2、强调: ①自变量在分母中,指数为1,且0x ≠; ②也可以写成1y kx -=的形式,此时自变量x 的指数1-; ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数; ④由于0k ≠,0x ≠,因此函数值y 也不等于0。 例题讲评: 1、下列函数中,x 均表示自变量,那么哪些是反比例函数,并指出每一个反比例函数中相应的k 值。 ⑴5y x = ⑵20.4 y x =- ⑶2x y =- ⑷2xy = 分析: ⑴5 y x = 是反比例函数,5k =; ⑵2 0.4 y x =- 不是反比例函数; ⑶2 x y =-是正比例函数; 湘教版九年级数学上册第一章测试题(含答案) (考试时间:120分钟 满分:120分) 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.下列函数关系式中,y 不是x 的反比例函数的是( D ) A .xy =5 B .y =5 3x C .y =-3x - 1 D .y =2x -3 2.点P (-3,1)在双曲线y =k x 上,则k 的值是( A ) A .-3 B .3 C .-13 D.1 3 3.下列图象中是反比例函数y =-2 x 图象的是( C ) 4.已知反比例函数y =k x 的图象经过P (-4,3),则这个函数的图象位于( D ) A .第二、三象限 B .第一、三象限 C .第三、四象限 D .第二、四象限 5.若函数y =3x m + 1是反比例函数,则m 的值是( B ) A .2 B .-2 C .±2 D .3 6.函数y =k x 的图象如图所示,那么函数y =kx -k 的图象大致是( C ) 7.在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p (Pa)与它的体积V (m 3)成反比例.当 V =200 m 3时,p =50 Pa.则当p =25 Pa 时,V 的值为( B ) A .40 m 3 B .400 m 3 C .200 m 3 D .100 m 3 8.如图,在同一平面直角坐标系中,直线y =k 1x (k 1≠0)与双曲线y =k 2 x (k 2≠0)相交于A , B 两点,已知点A 的坐标为(1,2),则点B 的坐标为( A ) A .(-1,-2) B .(-2,-1) C .(-1,-1) D .(-2,-2) 第8题图 第11题图 第12题图 9.△ABC 的边BC =y ,BC 边上的高AD =x ,△ABC 的面积为3,则y 与x 的函数图象大致是( A ) 第1章反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入,初步认知 1.复习小学已学过的反比例关系,例如: (1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗? 【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础. 二、思考探究,获取新知 探究1:反比例函数的概念 (1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式. (2)利用(1)的关系式完成下表: (3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化? (4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么? (5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点? 【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=k (k为常数且k≠0)的形式, x 那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 三、运用新知,深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中,哪些是反比例函数? (1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系; (2)压强p一定时,压力F与受力面积S的关系; 湘教版九年级上册数学 教案(全册) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第1章反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入,初步认知 1.复习小学已学过的反比例关系,例如: (1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗? 【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础. 二、思考探究,获取新知 探究1:反比例函数的概念 (1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式. (2)利用(1)的关系式完成下表: (3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化? (4)平均速度v是所用时间t的函数吗为什么 (5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同这种函数有什么特点 【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=k x (k为常数且k≠0)的 形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值范围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 三、运用新知,深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中,哪些是反比例函数? (1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h 的函数关系; (2)压强p一定时,压力F与受力面积S的关系; (3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系. (4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式. 分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=k x (k 是常数,k≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解: (1)a=12/h,是反比例函数; (2)F=pS,是正比例函数; (3)F=W/s,是反比例函数; (4)y=m/x,是反比例函数. 九上 第一章反比例函数 (一)反比例函数 1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而 得到反比例函数的解析式; (二)反比例函数的图象与性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图象:反比例函数的图象:在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称). (1)图象的形状:双曲线越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大. (2)图象的位置和性质:自变量,函数图象与x轴、y轴无交点,两条坐标轴是双曲线的渐近线.当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小; 当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,若(a,b)在双曲线的一支上,(,)在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在 双曲线的另一支上. 4.k的几何意义: 如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形 PBO的面积都是).如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为 . 图1 图2 5.说明: (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概 而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时, 两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称. (三)反比例函数的应用 1、求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式. 2、反比例函数与一次函数的联系. 3、充分利用数形结合的思想解决问题. 第二章一元二次方程 (一)一元二次方程 1、只含有一个未知数的整式方程(分母不含未知数),且都可以化为20 ax bx c ++=(a、b、c为常数, a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。 2、把20 ax bx c ++=(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项(包括符号)。 (二)一元二次方程的解法 1、直接开平方法:如果方程化成的形式,那么可得; 如果方程能化成 (p≥0)的形式,那么进而得出方程的根。 2、配方法:配方式 基本步骤:①把方程化成一元二次方程的一般形式;②将二次项系数化成1;③把常数项移到方程 期末测试 一、积累和运用(26分) 1.下列加点字注音无误的一项是( C )(3分) A.勉强.(qiáng)崇.高(cóng)笸.箩(pǒ)撰.文(zhuàn) B.诽.谤(fěi) 戏谑.(xüè) 嘈.杂(cáo) 弄.里(nòng) C.倔.强(jué) 工尺.(chě) 虐.杀(nüè) 堕.落(duò) D.嫌恶.(wù) 点缀.(zhùi) 滑稽.(jī) 冗.长(rǒng) 2.下列加点词语使用恰当的一项是( D )(3分) A.经过大家一番苦心孤诣 ....的开导,他终于明白了团队精神的重要性。 B.十年不见了,老李激动地对我说:“我俩真是有缘啊,这是我们第三次萍水相逢 ....了!” C.经过严谨的论证和长期的测试,董事长心血来潮 ....地决定:新产品于下个月投放市场。 D.读完《地震自救手册》后,大家恍然大悟 ....:原来学会自救可以躲过许多灾难。 3.下列句子没有语病的一项是( D )(3分) A.经过不懈的努力,我们的任务终于基本完成了。 B.他是新调来的今年的班主任。 C.一个班级班风的好坏,是搞好班级工作的关键。 D.让孩子远离网吧,健康成长,这是许多家长的心愿。 4.下面句序排列恰当的一项是( A )(3分) 可是眼看着黄昏来临了。________……太阳落下去了。 ①鲜红的光辉随着露水散落在不久以前还洒满了淡金色光线的林边草地上; ②太阳就要落下去; ③远处笼罩着一片柔和的雾气,看上去是温暖的; ④附近的空气似乎特别清澈,像玻璃一样; ⑤树木、丛林和高高的干草垛,都投下长长的影子; ⑥晚霞像火焰一般燃烧,遮掩了半个天空。 A.⑥②④③①⑤B.②⑥③④①⑤C.⑥②④①③⑤D.②⑥④③①⑤ 5.某校文学社在自己的网页上开展了“走进名著”活动。注册时需要用名著中的人物作为用户名,你最想以名著《西游记》中的人物孙悟空作为自己的用户名。你为该人物设计的形象宣传语是用勇敢和执着谱写正义之歌。(或:《钢铁是怎样炼成的》__保尔__与命运抗争,与信念作伴。)(4分) 6.名句积累。(4分) (1)何当共剪西窗烛,却话巴山夜雨时。(李商隐《夜雨寄北》) (2)数声风笛离亭晚,君向潇湘我向秦。(郑谷《淮上与友人别》) (3)《酬乐天扬州初逢席上见赠》中含有新旧事物更替的哲理的诗句是沉舟侧畔千帆过,病树前头万木春。 (4)《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》一诗中,正面写诗人的愁绪,表达对友人的深切同情的诗句是:我寄愁心与明月,随风直到夜郎西。 7.请根据下面情境,按要求答题。(6分) 班里的“小书法家”小丽正在书写一幅参赛的书法作品,大功即将告成。毛手毛脚的小映突然凑上来碰到了她的手,一幅艺术作品立刻惨不忍睹。小丽气恼地瞪了小映一眼。小映赶忙道歉,见小丽还在气头上,她又莞尔一笑,说:“微笑是人类最好看的表情。” 湘教版数学九年级上册教学计划 一、基本情况: 本学期我担任九年级159班的数学教学工作。共有学生48人,我深感教育教学的压力很大,在本学期的数学教学中务必精耕细作。使用的教材是新课程标准实验教材《湘教版数学九年级上册》,如何用新理念使用好新课程标准教材?如何在教学中贯彻新课标精神?这要求在教学过程中具有创新意识、每一个教学环节都必须巧做安排。为此,特制定本计划。 二、指导思想: 以党和国家的教育教学方针为指导,按照九年义务教育数学课程标准来实施,其目的是教书育人,使每个学生都能够在数学学习过程中获得最适合自己的发展。通过初三数学的教学,提供参加生产实践和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能,进一步培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力,能够运用所学知识解决实际问题,培养学生的数学创新意识、良好个性品质以及初步的唯物主义观。 三、教学内容: 本学期所教初三数学包括第一章一元二次方程,第二章命题定理与证明,第三章解直角三角形,第四章相似形,第五章概率的计算。 四、教学目的: 教育学生掌握基础知识与基本技能,培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力,使学生逐步学会正确、合理地进行运算,逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣,逐步培养学生具有良好的学习习惯,实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。 知识技能目标:掌握一元二次方程的有关概念;会解一元二次方程;能建立一元二次方程的模型解决实际问题;理解命题、定理、证明等概念;能正确写出证明;掌握锐角三角函数的性质;理解直角三角形的性质;能运用三角函数及勾股 定理解直角三角形;掌握相似三角形的概念、性质及判定方法;掌握概率的计算方法;理解概率在生活中的应用。 过程方法目标:培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力,发展学生合情 推理能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力,提高知识综合应用能力。 态度情感目标:进一步感受数学与日常生活密不可分的联系,同时对学生进 行辩证唯物主义世界观教育。 通过讲授证明的有关知识,使学生经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理论证能力,并能运用这些知识进行论证、计算、和简单的作图。进 第1章反比例函数 1.1反比例函数 一二旧知链接 1.下面的函数是反比例函数的是(). A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y=x2 D.y=3x 2.形如y=k x(k是常数,)的函数称为,其中x是,y是.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 3.下列函数中,属于反比例函数的是. ①y=2x+1;②y=2x2;③y=15x;④y=-23x;⑤x y=3;⑥2y=x;⑦x y=-1. 二二新知速递 1.在函数y=3x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.若函数y=k x k-2是反比例函数,则k=. 3.列出下列问题中的函数表达式,并指出它们是什么函数. (1)某农场的粮食总产量为1500t,则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式; (2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式; (3)小明完成100m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式. 1.在反比例函数y=2x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 3.函数y=2k+1x是反比例函数,则k的取值范围是(). A.k?-12 B.k>-12 C.k<-12 D.k?0 4.若y与x成正比例,y与z成反比例,则下列说法正确的是(). A.z是x的正比例函数 B.z是x的反比例函数 C.z是x的一次函数 D.z不是x的函数 5.下列说法正确的是(). A.圆面积公式S=πr2中,S与r成正比例关系 B.三角形面积公式S=12a h中,当S是常量时,a与h成反比例关系 C.y=1x+1中,y与x成反比例关系 D.y=x-12中,y与x成正比例关系 6.在温度不变的情况下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则p =25时,V=. 7.在平面直角坐标系x O y中,点P到x轴的距离为3个单位长度,到原点O的距离为5个单位长度,则经过点P的反比例函数的表达式为. 8.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=-6. (1)求y与x的函数表达式; (2)当x=4时,求y的值. 基础训练 1.下列问题中两个变量间的函数表达式是反比例函数的是(). A.小红1分钟可以制作2朵花,x分钟可以制作y朵花 B.体积10c m3的长方体,高为h c m时,底面积为S c m2 C.用一根长50c m的铁丝弯成一个矩形,一边长为x c m时,面积为y c m2 D.小李接到一次检修管道的任务,已知管道长100m,设每天能完成10m,x天后剩下的未检修的管道长为y m 2.若函数y=(m+2)x2m+1是反比例函数,则m的值为(). A.-2 B.1 C.2或1 D.-1 3.若y与-3x成反比例,x与z成正比例,则y是z的(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.不能确定 第七单元 一、积累和运用(24分) 1.下列加点字注音无误的一项是( C )(2分) A.紫绮.(qǐ)碣.石(jié)飞漱.(sù)曦.月(xī) B.决眦.(zì) 骊.驹(lì) 峭.头(qiào) 绝(xiàn) C.竦.峙(sǒng) 踟.蹰(chí) 自矜.(jīn) 素湍.(tuān) D.岱.宗(dài) 家圃.(pú) 陌.上(bǎi) 酌.油(zhuó) 2.下列加点词解释有错误的一项是( B ) (2分) A.两岸连山,略无 ..阙处(一点没有) 公亦以此自矜.(夸耀) B.无他,但.手熟尔(只是) 或.王命急宣(或者) C.以钱覆.其口(盖) 清荣峻茂,良.多趣味(确实、实在) D.重诺责,敦.风义(重视) 就.傅读书,过目成诵(靠近) 3.下列与例句结构相对成偶的一项是( C )(2分) 例句:桃李春风一杯酒 A.绿杨宜做两家春 B.疾如万骑千里来 C.江湖夜雨十年灯 D.江至浔江九派分 4.下列加点成语使用不恰当的一项是( B )(2分) A.课文《三峡》描写的山峰像屏障一样,遮天蔽日 ....。 B.戴震好学深思,不耻下问 ....。 C.罗敷才貌双全 ....,智胜“使君”。 D.《诗五首》记事,写景,抒情,各尽其妙 ....。 5.下列句子语言表达得体的一项是( D )(2分) A.欢迎你到我家拜访,你将会感到非常荣幸。 B.你的报告对我们有一定帮助,特此致谢。 C.贵校师生热情地请我做报告,校长亲自在门口恭候光临,使我深受感动。 D.令兄这次光临寒舍,不知有何高见。 6.名著阅读。(3分) (1)名著《童年》是高尔基(前苏联作家)以自身经历为原型创作的自传体小说三部曲中的第一部。其它两部分别为《在人间》和《我的大学》。 (2)《西游记》中有许多脍炙人口的故事,其中写孙悟空最具有反抗精神的故事情节是大闹天宫。 7.名句积累。(3分) (1)《三峡》中概括春冬之时景物的一句是清荣峻茂,良多趣味 (2)《陌上桑》中,表现罗敷对使君断然拒绝的语句是使君一何愚!使君自有妇,罗敷自有夫。 (3)《题破山寺后禅院》中历来为人传诵具有美学上的意境的名句是曲径通幽处,禅房花木深。 8.综合性学习。(8分) 为进一步增强同学们的环保意识,学校开展“废旧电池回收”的系列活动,请你参加并完成相关任务。 (1)下边是问卷调查结果统计图,请用简洁的文字写出该图的主要信息。(不得出现数字) 期末测试(一) (时间:90分钟 满分:120分) 题号 一 二 三 总分 合分人 复分人 得分 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.下列函数:①y =-2x ;②y =-x 2;③y =2x -1;④y =1 x -2.其中是反比例函数的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.(厦门模拟)两个相似三角形的面积比为1∶4,那么它们的对应边的比为( ) A .1∶16 B .16∶1 C .1∶2 D .2∶1 3.关于x 的一元二次方程x 2-6x +2k =0有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .k ≤92 B .k <9 2 C .k ≥92 D .k >9 2 4.计算cos60°-sin30°+tan45°的结果为( ) A .2 B .-2 C .1 D .-1 5.某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验,得到两个品种每公顷产量的两组数据,其 方差分别为s 2甲=0.002,s 2乙 =0.03,则( ) A .甲比乙的产量稳定 B .乙比甲的产量稳定 C .甲、乙的产量一样稳定 D .无法确定哪一品种的产量更稳定 6.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,c =10,则下列不正确的是( ) A .∠ B =60° B .a =5 C .b =5 3 D .tanB = 33 7.如图,AB ∥CD ,AC 、BD 、EF 相交于点O ,则图中相似三角形共有( ) A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 8.如图,将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 落在点C′处,BC ′交AD 于点E ,则下列结论不一定成立的是( ) A .AD =BC′ B .∠EBD =∠EDB C .△ABE ∽△CB D D .sin ∠AB E =AE ED 九(上)数学知识点 第一章 反比例函数 反比例函数及其图象的性质 1.函数解析式:() 2.自变量的取值范围: 3.图象:(1)图象的形状:双曲线. 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大. (2)图象的位置和性质: 与坐标轴没有交点 当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y 随x 的增大而减 小; 当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y 随x 的增大而增大. 第二章 一元二次方程 (1)一元二次方程:只含有一个未知数x 的整式方程,并且都可以化作ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数,a ≠0)的形式。 (2)一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式:ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数,a ≠0),其中,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项。 1、直接开平方法 2、分解因式法:(1、提公因式法;2、公式法; 3、十字交叉相乘法) 3、配方法:加上一次项系数一半的平方。 4、公式法 (1)根的判别式:2 4b ac ?=-,?>0时,方程有两不等实数根;?=0时,方程有两相 同实数根;?<0时,方程无实数根。 (2)求根公式 : 当2 4b ac ?=-≥0时,x=a ac b b 242-±- (3)韦达定理:12b x x a +=- ,12c x x a ?= 第三章 图形的相似 1、 线段的比 一般地, 在四条线段中, 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果 a c b d =, 那么ad = bc. 3、相似三角形的性质和判定 三个角对应相等, 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形. 如果△A′B′C′与△ABC 相似, 且A′, B′, C′分别与A, B, C 对应, 那么记作△A′B′C′∽△ABC,读作“△A′B′C′相似于△ABC”.相似三角形的对应边的比k叫作相似比 判定定理1 三边对应成比例的两个三角形相似. 判定定理2 两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比, 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4、相似多边形 把对应角相等, 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比k 叫作相似比. 相似多边形周长的比等于相似比, 相似多边形面积的比等于相似比的平方. 取定一点O, 把图形上任意一点P 对应到射线OP (或它的反向延长线)上一点P ′ , 使得线段OP ′与OP 的比等于常数k(k > 0), 点O 对应到它自身, 这种变换叫 课时参考答案 (课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数 1.1 反比例函数 课前预习 1.y=k x ≠ 零 课堂探究 【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B 变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式. 所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3. 变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12 xy=36, 于是y=72 x . 所以,y 是x 的反比例函数. (2)由圆锥的体积公式,得13 xy=60,于是y=180 x . 所以y 是x 的反比例函数. 【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2) 解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0), 因为图象过点(√2,-√2), 将x=√2,y=-√2代入,得-√2= √2 ,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2 x , 将x=-6,y=13 代入,等式成立. 所以函数图象经过-6, 13 . 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x . ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{ k 1+k 2=4,2k 1+ k 22 =5. 解得{ k 1=2, k 2=2. ∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x . (2)当x=4时,y=2×4+24 =812 . 课堂训练 1.B 2.C 3.A 4.-2 5.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个. ∴xy=100,即y=100 x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴ 1008≤y ≤1005 , 即1212 ≤y ≤20, ∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升 1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.2 7.400 8.-12 9.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2, m=±√2. 10.解:(1)由S=12 xy=30,得y=60x , x 的取值范围是x>0. (2)由y=60x 可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 1.2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象2017新湘教版九年级数学上知识点
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