电路的基本分析方法

第2章 电路的基本分析方法

【教学提示】

本章是全书的重点内容之一，以直流电路为例介绍电路的分析方法，包括等效分析法、支路电流分析法、节点分析法、叠加定理法、戴维南定理法和诺顿定理法，这些方法不仅适用于直流电路，也适用于交流电路及其它电路。

【教学要求】

理解电路等效的概念，掌握用电路等效分析电路的方法； 掌握用支路电流法、节点电压法分析电路的方法； 掌握用叠加定理、戴维南定理和诺顿定理分析电路的方法。

2.1 简单电阻电路分析

分析和计算复杂电路最简单、最常用的化简方法就是电阻串并联连接的等效分析法。

2.1.1 电阻的串联

如果电路中有两个或多个电阻按顺序依次连接，则称为串联。串联时，电路中各元件的电流相等。两个或多个串联电阻可用一个等效电阻来代替，等效电阻等于各个电阻之和，即

n R R R R R ...321+++=

图2.1.2

电阻串联在电路中最基本的作用就是分压作用，即：

∑?∑=

n n

n

Rn E R R U

可见任一串联电阻上的电压与其电阻值的大小成正比。

2.1.2 电阻的并联

若电路中有两个或两个以上的电阻连接在两公共点之间，称为并联。并联各支路两端

的电压相等，总电流为各支路的电流之和。并联电阻可用一个等效电阻来代替，等效电阻的倒数为个并联之路电阻的倒数之和。

图2.1.3

1

...

1

1

1

1

3

2

1n

R

R

R

R

R

+

+

+

=

两条并联支路的电流分别为：

I

R

R

R

I

2

1

2

1+

=

I

R

R

R

I

2

1

1

2+

=

上述两式为两个电阻元件的分流公式，较常使用。

【例2.1】电路如图2.1.5

（a）所示，求AB两端的等效电阻R。

4Ω

2Ω

(a) (b)

4Ω2Ω6Ω

(c) (d) (e)

图2.1.5

2.2 复杂电阻电路分析

2.2.1 支路电流分析法

支路电流分析法是直接以支路电流为电路变量，应用KCL、KVL和支路的伏安关系列出与支路数相等的独立方程，先解得支路电流，进而求得电路中的电压或电流。支路电流的求解规律

可以通过以下例题来说明。

【例2.3】电路如图2.2.1所示，已知E 1= 10V ，E 2=10V ，R 1= 10Ω，R 2=10Ω，R 3=10Ω。求各支路电流。

3

E + -

2

图2.2.1

解：先假定各支路电流的参考方向如图所示，由KCL 得：

231I I I =+

选定两个回路的巡行方向为顺时针，则由KVL 得：

011122=+-R I E R I 022233=-+-R I E R I

代入数据，联立方程组，

231I I I =+

010101012=+-I I

010101023=-+-I I

求得：A I 3

1

1= ，A I 322= ，A I 313=

综上所述，用支路电流法求解的步骤是：

（1）标出各支路电流的正方向，选定网孔回路的绕行方向；

（2）若有n 个节点，则根据KCL 可列出（n －1）个节点电流方程式；

（3）若有b 条支路则根据KVL 可列出b －(n －1)个独立的回路电压方程式； （4）联立电压电流方程求解可得出各支路电流。

2.2.2 节点分析法

节点分析法指以节点电压为电路的独立变量来列写方程的方法。这里的节点电压是指各节点与参考点之间的电压，即各节点的电位。下面以图2.3.1为例来讨论节点分析法的求解规律。

I S1S2

图2.3.1

【例2.4】电路如图2.3.1，设C 点为参考点，电路中各个量的参考方向如图所示，求A 、B 两点的电位V A 、V B 。

C 点为参考点，则电路的KCL 方程为：

节点A ：3121S S I I I I +=+ 节点B ：3232S S I I I I -=+- 电路中各电导的伏安关系为：

A V G I 11= )(22

B A V V G I -= B V G I 33=

由以上三式代入节点A 和节点B 的方程得：

31221)(S S B A I I V G V G G +=-+ 32322)(S S B A I I V G G V G -=++-

称为节点电压方程。对于以上两式可写成一般形式：

111211S B A I V G V G =+ 222221S B A I V G V G =+

式中2111G G G +=，3222G G G +=分别是连接节点A 和节点B 的所有电导之和，称为该节点的自电导，自电导总是取正。

22112G G G -==是连接节点A 和节点B 之间的所有电导之和，称为两个节点的互电导，互

电导总是取负。

3111S S S I I I +=，3222S S S I I I -=分别表示恒流源流入节点A 和节点B 的电流代数和，流入

节点的电流取正，流出的取负。

节点电位求出后，就能求出原电路中各支路的电流和电压。

【例2.5】求如图2.3.2所示的A 、B 两点电压U AB 。

E +

- AB

+

-

AB

G 1E

（a ） （b ）

图2.3.2

解：设B 点为参考点，则U AB = V A 。恒压源与电导串联的支路可以等效为恒流源与电导并联的支路，如图（b ）所示。电路中的自电导为21G G +，且没有互电导，因此可列写节点A 的方程为：

11121)(S A I E G V G G +=+

整理该式得：∑∑∑+=++=

G

I GE G G I E G V S

S A 21111

写成一般形式可得：∑∑∑+=

G

I

GE V S

A

上式所列的关系称为弥尔曼定理。由图（a ）可以看出该电路只有两个节点，应用节点电压法只需要列一个方程即可，这是节点电压法的一种特例。因此对于只有两个节点的电路，节点电压方程可以写为：

∑∑∑+=

G I GE V S A 或 ∑

∑∑+=G I GE U S

AB 其中，分母∑G 为连接节点A 的所有的电导的和，总取正。分子的各项取正、负与参考方

向有关，若恒压源E 的参考方向与节点电压U AB 的参考方向相同时取正，反之取负；恒流源I S 的参考方向与节点电压U AB 的参考方向相反时取正，反之取负；或者说电流源I S 的参考方向是流入节点A 点取正，流出取负。

2.3 电压源与电流源的等效变换

2.3.1 电路等效变换的概念

在电路分析中经常利用“等效”来化简电路，即将多个元件组成的电路化简为只有少数几个元件组成的电路，从而使电路简化。一般来说两个电路只要端钮伏安特性相同，即外特性相同，不管内部结构是否一样，均称为“等效”。如图2.1.1所示，现有两个二端网络N 1、N 2，如果N 1、N 2的端钮伏安关系完全相同，则称N 1与N 2是相互等效的。在电路中可以将N 1用N 2代替，或将N 2用N 1代替，这就是利用等效电路的概念来化简电路。

图2.1.1

2.3.2 电压源与电流源的等效变换

1.理想电源的等效分析 （1）恒压源的串、并联

（a ） （b ）

图2.1.6

当数个恒压源串联时，可用一个恒压源等效代替如图2.1.6所示。等效恒压源的电动势的值等于各串联电动势的代数和，即

∑=???+++==n

i i E E E E E 1

321

式中与等效恒压源的电动势E 的参考方向相同的各串联恒压源的电动势取正，相反的取负。 应该注意：当数个恒压源并联时，只有电动势相等的恒压源才允许并联。 （2）恒流源的串、并联

（a ） （b ）

图2.1.7

当数个恒流源并联时，可用一个恒流源等效代替如图2.1.7所示。等效恒流源的电流的值等

于各并联电流的代数和，即

∑==

???+++=n

i Si

S S S S I

I I I I 1

321

式中与等效恒流源的电流的参考方向相同的各串联恒流源的电流值取正，相反的应取负。 应该注意：当数个恒流源串联时，只有电流相等的恒流源才允许串联。 （3）恒流源与恒压源的串、并联

当恒压源与恒流源相串联时，则其等效电路如图2.1.8（b ）所示。

I

I a

b

a

b

（a ）

（b ）

图 2.1.8

这是由于等效电路的含义是指端钮的伏安关系相同。对外电路来说，两个电路的电流都从端流出，端流入。相同的电流必然在外电路产生相同的电压ab ，由于两个电路在、端钮的伏安关系相同，所以在分析与ab 端钮相联接的外电路电特性时，可以用（b ）图电路来取代（a ）图电路。

当恒流源与恒压源并联时，等效电路如图2.1.9（b ）所示。

I a b

a

b

（a ） （b ）

图2.1.9

这是由于在端钮之间的电压在两电路中是相同的,当两端钮与外电路相联接时，会产生相同的电流，即端钮的伏安特性相同，所以两电路对于计算两端钮相连接的外电路中电量而言是等效的。

由图2.1.8、图2.1.9可以看出与恒流源串连的元件（恒压源、电阻）可以视为一个多余元件，同样与恒压源并连的元件（恒流源、电阻）也可以视为一个多余元件，在等效电路时它们均以零值来代替。

2.实际电源的等效分析

实际的电源有电压源与电流源两种模型：电压源模型即恒压源和电阻串联的形式，电流源模

型即恒流源和电阻并联的形式。不论是实际电压源还是实际电流源，它们都是二端网络，对于电源的外电路而言，这两种电源都有可能相互等效。也就是说，在负载输出电压和输出电流不变的条件下，实际电压源与实际电流源是可以相互等效的，如图2.1.8所示。

I

（a ） （b ）

图2.1.8

由图（a ）可知，其伏安关系为：

0IR E U -=

由图（ｂ）可知，其伏安关系为：

''00IR R I U S -=

两者等效，系数相同，因此

'00R R = 和 S I R E 0=或0

R E I S =

这样我们就可以把任何的一个恒压源与电阻串联的电路模型与一个恒流源与电阻并联的电路模型进行相互等效。但要注意：进行等效变换时，两种电源的极性要一致，即恒流源流出电流的一端与恒压源的正极性端相对应。

【例2.2】求图2.1.9（a ）所示二端网络的恒压源形式的最简等效电路。

解：图2.1.9（a ）中的4V 恒压源2Ω电阻的串联支路可等效为一个4V 恒压源如图（b ）所示。电路等效化简过程如图（b ）～（f ）所示，最终化为一个2V 恒压源与1Ω电阻相串联的二端网络。

b

a

2Ω

-

（a ） （b ）

（c ）

（d ）

-

-

（e ） （f ）

图2.1.9

2.4 电路定理

2.4.1叠加定理

叠加定理是线性电路的基本定理，线性电路是指由线性元件和独立电源组成并满足线性性质的电路。所谓叠加定理是指线性电路中任意支路的电流或电压等于电路中各个独立电源单独作用时在这个支路所产生的电流或电压的代数和。某个独立源单独作用是指除了此独立电源保留在电路中外，其他独立电源均以零值代替，电路结构以及所有的电阻不变。其中，恒压源以零值来代替就是以短路线代替；恒流源以零值代替就是以开路线来代替。

【例2.6】电路如图2.4.1（a ）所示，用叠加定理求：电流I 和电压U ；

'

'

'

'

（a ） （b ） （c ）

图2.4.1

分析：应用叠加定理求解可分为三步： （1）先求恒压源单独作用时的分量 （2）再求恒流源单独作用时的分量 （3）最后求共同作用下的总量 解：（1）恒压源单独作用时，恒流源开路，其等效电路如图2.4.1（b ）所示： 由全电路欧姆定律得：

A I 12

24

'=+=

由欧姆定律得：

V U 212'=?=

（2）恒流源单独作用时，恒压源短路，其等效电路如图2.4.1（c ）所示： 由分流公式得：

A I 12

2

''==

V U 212''=?=

（3）两电源共同作用时：

A I I I 211'''=+=+=

V U U U 422'''=+=+=

【例2.7】电路如图2.4.1所示，求：

（1）恒压源单独作用时，与恒压源串联的电阻所消耗的功率P 1。 （2）恒流源单独作用时，与恒压源串联的电阻所消耗的功率P 2。

（3）恒压源、恒流源共同作用时，与恒压源串联的电阻所消耗的功率P 。 解：

（1）W I U P 212''1=?== （2）W I U P 212''''2=?==

（3）两电源共同作用时电阻所消耗的功率：

W UI P 824=?==

由此可知：21P P P +≠

即两电源单独作用时的功率之和不等于两电源共同作用时的功率之和，功率不能叠加。因为功率与电压、电流是平方关系。

R I I R I P 2

2'''）（+==R I R I 22'''+≠

2.4.2 等效电源定理

1、戴维南定理法

在电路分析计算时，有时需要计算电路中某一支路的电流或电压。这时可以将待求支路从电路中分离出来，电路的其余部分用一个简单的有源二端网络来等效代替，该二端网络可以等效为一个恒压源和一个电阻串联的形式，然后使该二端网络与待求支路构成一个简单的单回路电路，这样就很容易计算出待求支路的电流或电压。

戴维南定理：任何一个线性有源二端网络都可以等效为一个恒压源与一个电阻串联的形式。其中，恒压源的电动势E 的值等于该网络的开路电压U 0，串联电阻R 0等于该网络中除源后（恒压源短路，恒流源开路）无源二端网络的等效电阻值。

图2.5.1

【例2.8】如图2.5.2（a ）所示，已知E 1=3V ，E 2=6V ，R 1=3Ω，R 2=6Ω，R 3=2Ω。用戴维南定理计算电流I 。

解：将电流I 所在支路断开，这时左边的网络即为一含源二端网络如图2.5.2（b ），可等效为戴维南等效电路如图2.5.2（c ），该二端网络与待求支路构成一个简单的单回路电路如图2.5.2（d ），因此欲求电流I ，只要求出开路电压U 0和R 0即可。

E

E

+ -

U

a

b

+

-

U 3

(a ) (b ) (c ) (d )

图2.5.2

（1）先求开路电压U 0

在图b 中由含源支路的欧姆定律得开路电压U 0和I 1的关系为：

1110R I E U -= 2120R I E U +=

代入数据得：1033I U -=

1066I U +=

解得：U 0=4V

（2）再求等效电阻R 0

对图b 所示电路中的两个恒压源均以零值代替（短路），这时二端网络为无源二端网络，等效电阻为：

Ω26

36

321210=+?=+=

R R R R R

（3）最后求电流

在图d 所示电路中，由全电路欧姆定律得：

A R R U I 12

24

300=+=+=

2、诺顿定理法

由戴维南定理可知，一个有源二端网络可以等效为一个恒压源与一个电阻串联的形式，而恒压源与电阻串联的形式又可以等效为恒流源与电阻并联的形式。因此，诺顿定理的内容为：一个有源二端网络可以用一个恒流源和一个电阻并联的形式。其中，恒流源的电流的值等于该二端网络端口的短路电流I SC ，并联电阻等于该网络除源后（恒压源短路，恒流源开路）无源二端网络的等效电阻值。

a b

I a b

图2.6.1

【例2.9】电路如图2.5.2所示，用诺顿定理求电流I 。

解：将电流I 所在支路断开，这时左边的网络即为一含源二端网络如图2.5.2（b ），可等效为诺顿等效电路如图2.6.2（a ），该二端网络与待求支路构成一个简单回路如图2.6.2（b ），因此欲求电流I ，只要求出短路电流I SC 和R 0即可。

I a b

I 3

3

（a ） （b ）

图2.6.2

（1）先求短路电流I SC

将图2.5.2（b ）所示二端网络短路，如图2.6.3所示。

E S

图2.6.3

由KCL 得：

021=++C S I I I

因短路，则端电压为0，即：

0111=+R I E

0222=+R I E

整理得：

1

1

1R E I -

= 2

2

2R E I -

= 将以上两式代入KCL 方程，得：

2

2

11R E R E I S +=

代入数据得：

A 26

6

33=+=

SC I （2）再求等效电阻R 0 求法同例2.5.2

Ω20=R

（3）最后求电流I

在图2.6.2（b ）中，电流

SC

I R R R I 3

00

+=

代入数据得：

A I 12222

=?+=

此外，前已述及，恒流源与电阻并联的形式可以等效为恒压源与电阻串联的形式如图图2.6.4

所示，其短路电流与开路电压的关系为：

R U I SC =

因此，诺顿等效电阻即戴维南等效电阻也可以通过上式来计算。

I a

b

a b

图2.6.4