人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解

必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理

第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示

¤知识要点：

1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异

性、 无序性.

2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝” 括起来，基本形式为｛a 1,a 2,a 3,,a n ｝，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即 用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为｛x A |P （x ）｝，既要关注代表元素 x ，也要把 握其属性P （x ） ，适用于无限集.

3. 通常用大写拉丁字母 A ,B ,C ,表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ， 正整数集N *或N +

，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集R .

4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号 、 表示，例如3N ，-2N . ¤例题精讲：

【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程x （x 2 -2x -3）=0的所有实数根组成的集合；

（2）大于 2且小于 7的整数. 解：（1）用描述法表示为：｛x R |x （x 2 -2x -3）=0｝； 用列举法表示为｛0,-1,3｝.

（2）用描述法表示为：｛x Z |2 x 7｝； 用列举法表示为｛3,4,5,6｝.

【例 2】用适当的符号填空：已知 A =｛x |x =3k + 2,k Z ｝， B =｛x | x = 6m -1,m Z ｝，则有：

17 A ； － 5 A ； 17 B . 解：由3k +2=17，解得k =5Z ，所以17A ；

7 由3k +2=-5，解得k =

7

Z ，所以-5A ； 3 由6m -1=17，解得m =3Z ，所以17B . 【例3】试选择适当的方法

表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数y = x + 3与y = -2x + 6的图象的交点组成的集合；

（2）二次函数 y =x 2 - 4的函数值组成的集合；

（3）反比例函数 y = 2 的自变量的值组成的集合. x

2){y |y =x 2 -4}={y | y -4}. 2

（3）｛x |y = 2｝=｛x |x 0｝.

x

点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为｛1,4｝ ， 也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同， 分析时一定要细心.

*【例4】已知集合A = ｛a | x +a =1有唯一实数解｝，试用列举法表示集合 A ． 解：化方程 x +a =1为：x 2 - x - （a + 2） = 0 ．应分以下三种情况：

x 2 - 2 ⑴方程有等根且不是

2：由 △=0，得a = - 9 ，此时的解为x = 1 ，合．

42 ⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是- 2 ：

将 x = 2 代入得 a =- 2 ，此时另一解 x =1-2， 合．

}={(1,4)}.

解：（1）｛（x , y ）|

y =x +3

y = -2x + 6

⑶方程有一解为- 2 ，而另一解不是 2 ：将x=- 2 代入得a= 2 ，此时另一解为x=2+1，合．

综上可知，A=｛-9,- 2, 2｝．

点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.

第 2 讲§1.1.2 集合间的基本关系

¤知识要点：

1.一般地，对于两个集合A、B ，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset ），记作A B（或B A），读作“A含于B”（或“B包含A”）.

2.如果集合A是集合B的子集（A B），且集合B 是集合A的子集（B A），即集合A 与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A=B.

3.如果集合A B，但存在元素x B，且x A，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset），记作A B（或B A）.

4.不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.

5.性质：A A；若A B，B C，则A C；若A I B= A，则A B；若A U B= A，则B A.

¤例题精讲：

【例1】用适当的符号填空：

（1）｛菱形｝｛平行四边形｝；｛等腰三角形｝｛等边三角形｝.

（2）｛x R|x2+2=0｝；0 ｛0｝；｛0｝；N ｛0｝.

解：（1），；

（2）=，∈，，.

【例2】设集合A = ｛x | x = n ,n Z｝, B = ｛x | x = n + 1 ,n Z｝，则下列图形能表示A与B关系的 A B B A A B A B是（）.

A ．

B ．C． D ．

解：简单列举两个集合的一些元素，A = ｛, - 3-1,-1,0,1,1,3,｝，B =｛,-3,-1,1,3,｝，易知B A，故答案选A．

另解：由B =｛x | x = 2n +1 , n Z｝，易知B A，故答案选A．

【例3】若集合M =x|x2+x-6=0,N=x|ax-1=0，且N M，求实数a的值. 解：由x2+x-6=0x=2或-3，因此，M = 2, -3.

(i)若a=0时，得N=，此时，N M；

(ii)若a0 时，得N = {}. 若N M,满足= 2或= -3，解得a= 或a= - .

a aa 23 故所求实数a的值为0或1或-1.

23 点评：在考察“ A B”这一关系时，不要忘记“ ” ，因为A=时存在A B. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.

【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.

解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0 或x=1.

a +2

b =ax2 当a=0 时，集合B中的元素均为0 ，故舍去；当x=1 时，集合B

2

中的元素均相同，故舍去.

若

a +

b =ax 2ax2-ax-a=0.

a +2

b =ax

因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有x =-1.

经检验，此时A=B成立. 综上所述x=-1.

2 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.

第 3 讲§1.1.3 集合的基本运算(一)

¤知识要点：

集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.

并集交集补集

概念由所有属于集合A或属

于集合B的元素所组成

的集合，称为集合A与

B的并集(union set )

由属于集合A且属于集

合B的元素所组成的集

合，称为集合A与B

的交集(intersection set)

对于集合A,由全集U中不

属于集合A的所有元素组

成的集合，称为集合A相

对于全集U的补集

(complementary set)

记号A U B (读作“A并B”)A I B (读作“A交B”)eU A (读作“A的补集”)符号A U B={x|x A,或x B}A I B ={x|x A,且x B}eA ={x|x U,且x A}

图形

表示

U A

¤例题精讲：

【例1

解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：B

A I B={x|3x5}，A A B

C (A U B)={x| x-1,或x9}-1 3 5 9 x

4

【例2】设A ={x Z | | x | 6}， B =

1, 2,3, C =3,4,5,6

，求： (1)A I(B I C )； (2)A Ie

(B U C ).

解：Q A =

-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6

.

(1)又Q B I C =3

，∴ A I ( B I C ) = 3

； (2)又Q B U C =

1,2,3,4,5,6

，

∴ A I C (B U C )=-6,-5,-4,-3,-2,-1,0.

例3】已知集合A = {x | - 2 x 4} ， B = {x | x m } ，且A I B = A ，求实数m 的取值范围. 解：由A I B = A ，可得A B . 在数轴上表示集合A 与集合 B ，如右图所示： B A

由图形可知， m 4. 4

-2m x 4 m x

点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之 间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是

否含端点的问题.

【例4】已知全集U =｛x |x 10,且x N *｝，A =｛2,4,5,8｝，B =｛1,3,5,8｝，求C (A U B )，C (A I B )， (C U A )I (C U B )， (C U A ) U (C U B ) ，并比较它们的关系. 解：由A U B ={1,2,3,4,5,8}，则C U (A U B )={6,7,9}. 由A I B ={5,8}，则C U (A I B )={1,2,3,4,6,7,9} 由C U A ={1,3,6,7,9}，C U B ={2,4,6,7,9}， 则(C U A )I (C U B )={6,7,9}， (C U A )U(C U B )={1,2,3,4,6,7,9}. 由计算结果可以知道，(C U A )U(C U B ) =C U (A I B )，

(C U A )I(C U B ) =C U (A U B ). 另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. 点评：可用 Venn 图研究(C

A )U(C

B ) =

C (A I B ) 与(C A )I(C B ) =C (A U B ) ，在理解的 基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.

¤知识要点：

Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图 形，我们还可以发现一些集合性质： C U (A I B ) = (C U A ) U (C U B ) , C U (A U B ) = (C U A ) I (C U B ) .

2. 集合元素个数公式：n (A U B ) =n (A )+n (B )-n (A I B ).

3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查 创新思维.

¤例题精讲：

【例 1】设集合A =

-4,2a -1,a 2

,B =

9,a -5,1-a

，若A I B =

9

，求实数a 的值. 解：

由于A =-4,2a -1,a 2,B =9,a -5,1-a ，且A I B =9 ，则有：

当2a -1＝9时， 解得a ＝5，此时A =｛－4, 9, 25｝，B =｛9, 0, －4｝，不合题意，故舍去； 当 a 2＝9 时，解得 a ＝3或－3 .

a ＝3时， A =｛－4,5,9｝， B =｛9,－2,－2｝，不合题意，故舍去； a ＝－3，A =｛－4, －7， 9｝，B =｛9, －8, 4｝ ，合题意. 所以， a ＝－3.

【例2】设集合A ={x |(x -3)(x -a )=0,a R }，B ={x |(x -4)(x -1)=0}，求A U B , A I B .(教 材 P 14 B 组题 2 ) 解：B ={1,4}.

当a =3时，A ={3}，则A U B ={1,3,4}，A I B =； 当a = 1时， A = {1,3} ，则A U B = {1,3,4}， A I B ={1}； 当a = 4时， A = {3, 4} ，则A U B = {1,3,4}， A I B ={4}； 当a 3且a 1且a 4时，A ={3,a }，则A U B ={1,3,4,a }，A I B =. 点评：集合 A 含有参数 a ，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时， 需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.

【例3】设集合A ={x|x2+4x=0}，B ={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a R}，若A I B=B，求实数a的值．

解：先化简集合A={-4,0}. 由A I B=B，则B A，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或{-4,0}.

(i)若B=，则=4(a+1)2-4(a2-1)0，解得a<-1；(ii)若0 B，代入得a2-1=0a=1或a=-1，

当a =1 时，B=A，符合题意；当a = -1时，B={0} A，也符合题意．(iii)若－4B，代入得a2-8a + 7 = 0 a=7或a=1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a=1或a≤-1．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.

【例4】对集合A与B，若定义A-B={x|x A,且x B}，当集合A={x|x8,x N*}，集合B = {x | x(x - 2)(x - 5)(x - 6) = 0}时，有A - B = . (由教材P12 补集定义“集合A相对于

全集U的补集为C U A={x| x U,且x A}”而拓展)

解：根据题意可知，A={1,2,3,4,5,6,7,8}，B={0,2,5,6} 由定义A-B={x| x A,且x B}，则

A-B={1,3,4,7,8}.

点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素. 如果再给定全集U，则A-B也相当于A I (C U B).

¤知识要点：

1.设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数(function)，记作y = f(x)，x A．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{ f (x) | x A}叫值域(range).

2.设a、b是两个实数，且a

6

{x |a ≤x

{x | x a } = (a , +) ， {x | x a }=［a ,+)，{x | x b }=(-,b )，{x |x b }=(-,b ］，R =(-,+).

3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分 别相同时，函数才是同一函数.

¤例题精讲：

(2)

由

，解得 x 3且 x 9，

3

x -1-2

所以原函数定义域为[3,9)U(9,+).

【例 2】求下列函数的定义域与值域：(1) y = 3x + 2

5- 4x

解：(1)要使函数有意义，则5-4x 0，解得x 5. 所以原函数的定义域是{x | x 5}.

3x + 2 1 12 x + 8 1 3(4 x - 5) + 23 3 23 3 3 3 y = = = =- + - +0=- ，所以值域为{y | y - }.

5- 4x 4 5-4x 4 5- 4x 4 5- 4x

4

4

4

(2) y = -x 2+ x + 2 = -(x - 1)2+ 9. 所以原函数的定义域是 R ，值域是(-,9]. 24 4

【例3】已知函数 f (1-x )=x . 求：(1) f (2)的值； (2) f (x )的表达式

1 + x

解：( 1)由1-x =2，解得x =-1，所以 f (2)=-1.

1 + x

3 3

2)设

1+x =t ，解得x =1+t ，所以 f (t )=1+t ，即 f (x )=1+x

. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函 数的研究，常常

需要结合换元法、特值代入、方程思想等.

2

【例 4】已知函数 f (x )=x ,x R .

1 + x 2

1)求 f (x )+ f (1)的值；(2)计算：

x

(2)原式= f (1)+(f (2)+ f (12))+(f (3)+ f (13))+(f (4)+ f (14))=12+3=72 点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正

确探索出前一问的结论，是解答后一问的 关键.

¤知识要点：

简明，给自变量可求函数值)；图象法(用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象， 反应变化趋势)；列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看 出函数值).

例 1 】求下列函数的定义域： ( 1 ) y =

x +12-1；(2) x -3 y = 3 x -1-2.

解：( 1)由 x +2 -10，解得x -1且x -3， 所以原函数定义域为(-,-3)U(-3,-1)U(-1,+).

解：( 1)由 f (x )+ f (1)=

x 2

x 2

x

2 1 + x 2

1 + x 2

1+

x

2

+= 1 + x 1 + x 1 + x

=1.

2) y = - x + x + 2.

f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+

2.分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.

3.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f : A→ B 为从集合A 到集合B的一个映射（mapping）．记作“ f : A→ B”.

判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f. ¤例题精讲：

【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是

______________ ，这个函数的定义域为______ ．

解：盒子的高为x，长、宽为a－2x，所以体积为V＝x（a－2 x）2. 又

由a－2 x0 ，解得x a.

2

所以，体积V以x为自变量的函数式是V =x（a－2x）2，定义域为{x|0x a}.

【例2】已知f(x)= x+2x+2 x(-,1)，求f [f(0)]的值.

x3+ x-3x(1,+)

解：∵ 0(-,1)，∴ f(0)= 3 2.

又∵ 3 2 >1 ，

∴ f(32)=(3 2)3+(3 2)-3=2+1=5，即f[f(0)]= 5.

【例3】画出下列函数的图象：

(1)y=|x-2|； (教材P26 练习题3)

(2) y =| x-1|+|2x+4|.

解：( 1)由绝对值的概念，有y =| x - 2 |= x - 2, x2.

2 -x, x 2 所以，函数y

=| x - 2 |的图象如右图所示.

3x+3, x 1

（2）y =|x-1|+|2x+4|=x+5, -2x 1，

-3 x- 3, x -2

所以，函数y=|x -1|+|2x+4|的图象如右图所示.

点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函

数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图

象.

【例4】函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例

如

[-3.5]=-4，[2.1]=2，当x（-2.5,3]时，写出f（x）的解析式，并作出函数的图象.

-3, -2.5 x -2

-2, -2 x -1

-1, -1x0 解：f(x)=0, 0x 1

1, 1x 2

函数图象如右：

2, 2 x 3

3, x = 3

点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式.