2019-2020年高三数学一轮复习讲义 平面向量的数量积及其应用教案 新人教A版
2019-2020年高三数学一轮复习讲义平面向量的数量积及其应用教案新
人教A版
自主梳理
1．向量数量积的定义
(1)向量数量积的定义：
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___.|a||b|cos θ_____叫做a和b的数量积(或内积)，记作__ a·b＝|a||b|cos θ_____，其中向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0
?≤θ≤180?。
规定：零向量与任一向量的数量积为___0_____. 即
（2）平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影____|b|cos θ_____的乘积.
(3) 平面向量数量积的重要性质：
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__|a|cos θ________；
②非零向量a，b，a⊥b?____a·b＝0____________；
③当a与b同向时，a·b＝__|a||b|___；（两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b ＝0__）
当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|______，a·a＝__ a2___＝_|a|2___，|a|＝___a·a ____；
（两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|___）
④cos θ＝__a·b
|a||b|
________；
⑤|a·b|_≤___|a||b|.
2．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝__b·a ______；
(2)分配律：(a＋b)·c＝___________a·c＋b·c _____；
(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝__λ(a·b)______________.
3．向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝ x1x2＋y1y
(2) 设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 .
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
cos θ＝__________.
(4)若a＝(x，y)，则|a|2＝或|a|
C
(5)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB →
＝______(x 2－x 1，y 2－y 1) ___，
所以|AB →
|＝___________.
点评：
1.向量的数量积是一个实数
两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围. 2.a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .
3.一般地，(a ·b )c ≠(b·c )a 即乘法的结合律不成立.因a·b 是一个数量，所以(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c )a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下(a·b )c ≠(b·c )a .
4.a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立.
5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，〈AB →，BC →
〉应为120°，而不是60°. 自我检测
1.已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2， |b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝___－3 2 _____.
2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →
等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16
3．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 B ＝＝8＝2 2.
4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为___3
2_____.
5.已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为___
65
5
___. 6.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有____②④____ ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；
③(b·c )a －(a·c )b 不与c 垂直；④(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2
－16|b |2
.
7.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，），C （x ，y ），若A B →⊥BC →
，则动点C 的轨迹方程为________________．
解析 由题意得AB →＝? ????2，－y 2， BC →＝? ????x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →
＝0，
即?
?
???2，－y 2·? ????
x ，y 2＝0，化简得y 2
＝8x (x ≠0)．
8.若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →
＝________.
解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，
3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝? ????32，－12，MB →＝? ????32，－12，MB →＝? ??
??－32，52，所以MA →·MB
→
＝－2.
题型一 平面向量的数量积的运算
例1 （1）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.2
(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →
， |AD →|＝1，则AC →·AD →
等于
( ) A.2 3
B.
3
2
C.
3
3
D . 3
解法1基底法: ∵BC →＝3BD →，∴AC →＝BC →－BA →＝3BD →－BA →＝3(AD →－AB →)＋AB → ＝3AD →＋(1－3)AB →. 又AD ⊥AB ，|AD →
|＝1. ∴AC →·AD →＝3AD 2→＋(1－3)AB →·AD →＝ 3.
法2定义法设BD ＝a ，则BC ＝3a ，作CE ⊥BA 交的延长线于E ，可知∠DAC ＝∠ACE ， 在Rt△ABD 与Rt△BEC 中， Rt△ABD ∽Rt△BEC 中，,CE ＝3，
∴cos∠DAC ＝cos∠ACE ＝
3
AC
.
∴AD →·AC →＝|AD →|·|AC →
|cos∠DAC ＝|AD →|·|AC →
| cos∠ACE ＝ 3. 法3坐标法
变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a |＝|b |＝1，则
(－3a )·(a ＋b )＝___－3___.
(2)如下图，在中，，，是边上的高，则的值等于 （ ） A ．0
B ．
C ．4
D ．
【思路点拨】充分利用已知条件的，，借助数量积的定义求出．
【答案】B 【解析】因为，，是边上的高,2
9cos 4
AD AC AD AC CAD AD ?=?∠==.
（3）设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－1
2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c|的最大
值等于( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 【解析】 ∵a·b＝－1
2，且|a|＝|b|＝1，
∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－1
2.
∴〈a ，b 〉＝120°.
如图所示，将a ，b ，c 的起点平移至同一点O ，
则a －c ＝CA →，b －c ＝CB →
，∠ACB＝60°，于是四 点A ，O ，B ，C 共圆，即点C 在△AOB 的外接圆上，故当OC 为直径时，|c|取最大值．由余弦定理，得AB ＝
OA 2＋OB 2
－2·OA·OB·cos〈a ，b 〉＝3，由正弦定理，得2R ＝AB sin 120°＝2，即|c|
的最大值为2.
题型二 向量的夹角与向量的模
例2 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |； (3)若AB →＝a ，BC →
＝b ，求△ABC 的面积. 例2 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2
－4a·b －3|b |2
＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6. ∴cos θ＝
a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π
3
. (2)可先平方转化为向量的数量积.
|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝|a |2
＋2a·b ＋|b |2
＝42
＋2×(－6)＋32
＝13， ∴|a ＋b |＝13.
(3)∵AB →与BC →
的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.
又|AB →|＝|a |＝4，|BC →
|＝|b |＝3，
∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×3
2＝3 3.
变式训练2 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；
(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角.
解 (1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)， ∴α·(α－2β)＝α2
－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.
∴(2α＋β)2
＝4α2
＋β2
＋4α·β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.
(2)由已知得(a ＋b ＋c )·a ＝a 2
＋a·b ＋a·c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－3
2，
|a ＋b ＋c |＝
a ＋
b ＋c
2
＝a 2＋b 2＋c 2
＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c
＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120°＝ 3.
设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ，
则cos θ＝a ＋b ＋c a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－3
2，即θ＝150°，
故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.
(3)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．
解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π
2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．
即|i |2－2λ|j |2
>0，∴λ<12
.
当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<1
2
且λ≠－2.
（4）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →
|的最小值为________
解 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .
∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，
PA →＝(2，－y )，PB →
＝(1，a －y )， ∴PA →＋3PB →
＝(5,3a －4y )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2
，
∵点P 是腰DC 上的动点，∴0≤y ≤a ，
因此当y ＝34
a 时，|PA →＋3PB →|2
的最小值为25，
∴|PA →＋3PB →
|的最小值为5.
题型三 平面向量的垂直问题
例3 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π). (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；
(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数) (1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2
－b 2
＝|a |2
－|b |2
＝(cos 2
α＋sin 2
α)－(cos 2
β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直.
(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，
a －k
b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，
|k a ＋b |=， |a －k b |＝.
∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α). 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.
而0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π
2
.
变式训练3 (1) 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝? ????1
2，32.
①证明：a ⊥b ；
② 若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2
－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t ).
① 证明 ∵a·b ＝3×12－1×3
2＝0，∴a ⊥b .
②解 ∵c ＝a ＋(t 2
－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，
∴c·d ＝[a ＋(t 2
－3)b ]·(－k a ＋t b )＝－k a 2
＋t (t 2
－3)b 2
＋[t －k (t 2
－3)]a·b ＝0， 又a 2
＝|a |2
＝4，b 2
＝|b |2
＝1，a·b ＝0， ∴c·d ＝－4k ＋t 3
－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝
t 3－3t
4
(t ≠0).
（2） 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长
度的3倍(k >0)．
① 求证：a ＋b 与a －b 垂直； ②用k 表示a ·b ；
③ 求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.
点拨： 1.非零向量a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.
2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．
解 ①由题意得，|a |＝|b |＝1，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2
＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直．
②|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2
＋2k a ·b ＋1，
(3|a －k b |)2＝3(1＋k 2
)－6k a ·b .
由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2
)－6k a ·b ，
从而有，a ·b ＝1＋k
2
4k
(k >0)．
③由(2)知a ·b ＝1＋k 2
4k ＝14(k ＋1k )≥1
2
，
当k ＝1
k
时，等号成立，即k ＝±1.
∵k >0，∴k ＝1.
此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π
3
.
故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π
3
.
（3）设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． ① 若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； ②求|b ＋c |的最大值；
③ 若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . ① 解 因为a 与b －2c 垂直，
所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.
②解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，
得|b ＋c |＝17－15sin 2β≤4 2.
又当β＝－π
4
时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.
③证明 由tan αtan β＝16得即16cos cos sin sin 0αβαβ-= 所以a ∥b .
（4）如图4－4－1所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .
解 AD →·CE →＝(AC →＋12CB →)·(CA →＋23
AB →)
＝－|AC →|2＋12CB →·CA →＋23AB →·AC →＋13
AB →·CB →
＝－|AC →|2＋12|CB →||CA →
|cos 90°＋223|AC →|2cos 45°＋23|AC →|2cos 45°
＝－|AC →|2＋|AC →|2
＝0， ∴AD →⊥CE →
，即AD ⊥CE .,
（5） 在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值
解：当A = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90?时，?= 0，=-= (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =
当C= 90?时，?= 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =
题型四 向量的数量积在三角函数中的应用
例4 已知向量a ＝?
????cos 32x ，sin 32x ， b ＝? ????cos x 2，－sin x 2，且x ∈????
??－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |；
(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．
解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x
2
＝cos 2x ，
|a ＋b |＝
? ????cos 32x ＋cos x 22＋? ??
??sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，
∵x ∈??????－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .
(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2
x －2cos x －1
＝2?
????cos x －122－32. ∵x ∈????
??－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－3
2
；
当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.
变式迁移4 （1）已知△ABC 的面积S ，
AB →·AC →
＝3S ，且cos B ＝35
，求cos C .
解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，
则S ＝1
2bc sin A
12AB →·AC →＝1
2
bc cos A ＝3S ＝bc sin A >0， ∴A ∈? ????0，π2，cos A ＝3sin A .
又sin 2A ＋cos 2
A ＝1，
∴sin A ＝1010，cos A ＝310
10
.
由题意cos B ＝35，得sin B ＝4
5.
∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010
. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－
10
10
. （2）．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC 的重 心，且56sin A ·GA ＋40sin B ·GB ＋35sin C ·GC ＝0. (1)求角B 的大小；
(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值． 解：(1)由G 是△ABC 的重心，得GA ＋GB ＋GC ＝0，
∴，由正弦定理，可将已知等式转化为GA +40b GB +35c (-GA -GB)=0a ???56 整理，得(56a －35c )·＋(40b －35c )·＝0.
∵，不共线，∴???
??
56a －35c ＝0，40b －35c ＝0.
由此，
得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.
不妨设a ＝5，b ＝7，c ＝8，由余弦定理，
得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝1
2
.
∵0
3
.
(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2
A ＋4k sin A ＋1， 由(1)得
B ＝π3，所以A ＋
C ＝23π，故得A ∈? ????0，2π3.
设sin A ＝t ∈(0,1]，则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1，t ∈(0,1]．
令f (t )＝－2t 2
＋4kt ＋1，则可知当t ∈(0,1]，且k >1时，f (t )在(0,1]上为增函数，所
以，当
t ＝1时，m ·n 取得最大值5.于是有：－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32，符合题意，所以，k ＝32
.
（3）已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径， ①判断的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； ②求的最大值。
1．一些常见的错误结论：
(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2
，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意． 2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：
（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →
|.
（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数≠0，使等式AB →＝λCD →
成立即可．
（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →
＝0.
平面向量的数量积及其应用练习一
一、选择题
1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )
A ．－32 B.3
2
C ．2
D ．6
1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.]
2．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )
A ．－6
B ．－3
C ．3
D ．6 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]
3.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →
＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154
，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )
A ．30°
B ．－150°
C ．150°
D ．30°或150°
3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝15
4，
∴sin ∠BAC ＝1
2
.又a·b <0，
∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.]
4．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2
.
cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12|b |2|b |2＝－1
2
.
∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.]
5.设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－1
2，则|a ＋2b |等于 ( )
A. 2
B. 3
C. 5
D.7
6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.? ????79，73
B.? ????－73，－79
C.? ????73，79
D .? ????－7
9
，－73
7.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →
等于
( )
A.－32
B.－23
C.2
3
D .32
8.若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1
B .1
C. 2
D.2
9.已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是
( ) A.－4
B.4
C.－2
D.2
10.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|k a ＋
b ＋
c |>1，则实数k 的取值范围是
( )
A.(－∞，0)
B.(2，＋∞) C .(－∞，0)∪(2，＋∞)
D.(0,2)
二、填空题
11．设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈? ??
??π2，π，若a·b ＝25，则sin
α＝________.
解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2
α－sin α＝25
，
∴1－2sin 2α＋2sin 2
α－sin α＝25，∴sin α＝35
12．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，
∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2
＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.
∴cos θ＝－1
2
，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.
13．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π
4
，且m·n ＝－1，则向量n ＝
__________________.
解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1.①
由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π
4，
∴|n |＝1，则x 2
＋y 2
＝1.②由①②解得?????
x ＝－1y ＝0
或???
?
?
x ＝0y ＝－1
，
∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．
14.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π
3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝____
－6____.
三、解答题
15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量
e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
解 e 2
1＝4，e 2
2＝1，
e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1，
∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 2
1＋(2t 2
＋7)e 1·e 2＋7t e 2
2＝2t 2
＋15t ＋7. ∵向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴2t 2
＋15t ＋7<0.∴－7 . 假设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)???? ? ? 2t ＝λ7＝t λ ?2t 2 ＝7?t ＝－ 14 2 ，λ＝－14. ∴当t ＝－ 14 2 时，2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π，不符合题意. ∴t 的取值范围是? ????－7，－ 142∪? ?? ??－142，－12. 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1). (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC → ＝0，求t 的值. 解 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC → ＝(4,4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC → |＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC →＝(－2，－1)， AB →－tOC → ＝(3＋2t,5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC → ＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－ 115 . 17.已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB → ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 设存在点M ，且OM →＝λOC → ＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB → ＝(3－6λ，1－3λ)．∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， 即45λ2 －48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115∴M 点坐标为(2,1)或? ?? ??225，115. 故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB → ，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115 )． 平面向量的数量积及其应用练习二 一、选择题 1．设R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且,则（ ） A ． B ． C ． D ．10 【解析】由02402a c a c x x ⊥??=?-=?=,由//422b c y y ?-=?=-,故 ||(21)a b +=+=2、定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ） A ． B ． C ．或 D ． 【解析】由，，，得，所以= 3．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －? ?? ??a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为________． 解析：由于a ·c ＝a ·? ????a － a ·a a · b b ＝a ·a －a ·a a ·b a · b ， 又a ·b ≠0，∴a · c ＝|a |2 －|a |2 ＝0，所以a ⊥c . 答案：90° 4．如图，非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,C OA BC （ ） A ． B ． C ． D ． 5．在中，，，是边上的高，若，则实数等 于（ ） A ． B ． C ． D ． 6．已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 A. [0,] B. C. D. 解： 且关于的方程有实根，则，设向量 的夹角为θ，cos θ=≤221|| 1412||2 a a =，∴θ∈，选B. 7.设非零向量、、满足，则( ) A ．150° B.120° C.60° D.30° 8、（xx 湖南理）在△ABC 中,AB=2,AC=3,= 1则. （ ） A ． B ． C ． D ． 【解析】由下图知cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=??-=. .又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=?,解得. 9．在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针旋转后,得向量，则点的坐标是（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题 10.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是__??????π6 ，5π6______. 11.已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2 ＋|b |2 ＋|c |2 的值是_____4 ___. 12.已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP → 的最大值为__3______. 三、解答题 13.设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝? ????－1 2，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直； (2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小. 证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2 －b 2 ＝|a |2 －|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2 α)－? ?? ??14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直. (2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2 ＋23a·b ＋|b |2 ＝|a |2 －23a·b ＋3|b |2 ，所以2(|a |2 －|b |2 )＋43a·b ＝0， 而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则? ?? ??－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z， 又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°. 14．已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ? ????π2－θ，sin ? ?? ??π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ； (2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2 ＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2 t 的最小值． (1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ? ????π2－θ＋sin ()－θ·sin ? ?? ??π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b . (2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2 ＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2 ＝0. 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3 ＋3t . ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝? ????t ＋122＋114.故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114. 15．已知a ＝(1,2sin x )，b ＝? ????2cos ? ????x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f (x )＝85，求cos ? ????2x －π3的值． 解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ? ????x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ? ????x ＋π3. 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤x ≤7π 6 ＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是???? ??π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2sin ? ????x ＋π3.又因为2sin ? ????x ＋π3＝8 5， 所以sin ? ????x ＋π3＝45，即sin ? ????x ＋π3＝cos ? ????π6－x ＝cos ? ????x －π6＝4 5. 所以cos ? ????2x －π3＝2cos 2? ????x －π6－1＝725. 平面向量的数量积及其应用练习三 1．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 2．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB → ＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A. B. C. D.1 2 【解析】 ∵cos〈a ，b 〉＝ a ·b |a ||b | ， ∴sin〈a ，b 〉＝ 1－cos 2 〈a ，b 〉＝ 1－ a · b |a ||b | 2 ＝ |a |2|b |2－a ·b 2 |a ||b | ， S △OAB ＝12 |OA →||OB →|sin 〈OA →，OB → 〉＝12 |a ||b |sin 〈a ，b 〉 ＝12 |a |2|b |2 －a ·b 2 . 3．已知非零向量和满足，且，则△ABC 为（ ） A.等边三角形 B. 等腰非直角三角形 C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形 4.己知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，与的夹角为60°，直线与圆 221 (cos )(sin )2 x y ββ-++=的位置关系是 （ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．随的值而定 解析：与的夹角为60°所以 0cos cos sin sin 1 cos6012|||| a b a b αβαβ+= == 圆心到直线距离为cos cos sin sin 1 12 αβαβ+= 故选C 二、填空题 5.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝___1_____. 6.已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__(－∞，－6)∪? ????－6，32__________. 7．已知平面上直线l 的方向向量e ＝? ?? ??－45，35，点O (0,0)和A (1，－2)在l 上的射影分别 是O 1和A 1，则O 1A 1＝λe ，其中λ＝________. 解析：由向量在已知向量上的射影定义知： λ＝||·cos〈e ，〉＝5×e ·OA |e ||OA |＝5×－45－651×5＝－45－6 5＝－2. 答案：－2 三、解答题 8.已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5， |b |＝n 2 ＋4，∴cos 45°＝ 2n －2 5·n 2 ＋4＝2 2 ， ∴3n 2 －16n －12＝0 (n >1)，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6). (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2 ＝5. 又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)， (c －a )·a ＝0， ∴λb·a －|a |2 ＝0，∴λ＝|a | 2 b·a ＝510＝12，∴c ＝1 2 b ＝(－1,3). §2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 博白县龙潭中学 庞映舟 一、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解； 二、教学过程： （一）创设问题情景，引出新课 问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运 算的结果是什么？ 新课引入：本节课我们来研 究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的 物理背景及其含义 （二）新课： 1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析： 问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？ 答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图 定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 2、背景的第二次分析： 问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？ 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0. 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义： 数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解： 例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹 角θ=00，求→a ·→ b ； 《平面向量数量积》说课稿 一，说教材： 平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。 二，说学生 学生是天祝一中普通班学生，基础较薄弱。在学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 三，说教法 以数学思维的完善和情感态度的发展为出发点，用多媒体辅助教学，在教师的组织、引导、参与下，以学生的积极动脑、动口为主线来促进学生的有效学习活动。以数学来源于生活，又服务于生活的理念来设计本节课。突出新知识必须在学生自主探索，交流合作的基础上让学生自己去发现和归纳。 四，说学法 1、首先，从学生的认知特点出发，通过创设情境，以物理学中的功为主线，把整节课串联起来，在功的概念的复习中，不知不觉来学习新知识。 2、引导学生自主探究、合作交流根据已有的知识经验，归纳、总结新的知识等一系列活动， 3、设计几道技能训练题，激发学生的积极性，让学生主动的参与知识的巩固、深化过程。 五，课时安排： 3课时，这是第一课时 六，说教学过程 一、创设情景引入新课 问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， （1）力F所做的功W= 。 （2） W（功）是量， F（力）是量， S（位移）是量， α是。 问题1的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积 绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究 这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。 二、探究新知[师生互动]引出两个向量的夹角的定义： 1、定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB,称∠AOB= 为向量a 与b的夹角，(00≤θ≤1800)，（此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示）问题2 当两向量垂直，共线时其夹角是怎样的？注：（1）当非零向量a与b同方向时，θ=00 （2）当a与b反方向时θ=1800 （共线或平行时） 平面向量的数量积导学案 河北孟村回民中学高一数学导学纲编号 班级姓名 年级高一作者温静时间 课题 2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用. 【导学流程】 一、了解感知： （一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_________________________________. 2、向量数乘运算的定义是 . 3、两个非零向量夹角的概念：_________________________________. 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？ （二）自主探究：（预习教材P103-P106） 探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下 产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中 θ是 . 请完成下列填空： F（力）是量；S（位移）是量；θ是； W（功）是量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及 其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种 运算的结果呢？ 新知1向量的数量积（或内积）的定义 已知两个非零向量a和b，我们把数量cos a bθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a b?，即 注：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可 以用“?”代替。 ②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即a?=。 00 探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 小组讨论，完成下表： θ的范围0°≤ θ<90° θ=90° 0°<θ≤ 180° a·b的符号 新知2：向量的数量积（或内积）几何意义 （1）向量投影的概念：如图，我们把cos aθ叫做向量a在b 方向上的投影；cos bθ叫做向量b在a方向上的投影. 说明：如图， 1cos OB bθ =. 向量投影也是一个数量，不是向量； 当θ为锐角时投影为_______值；当θ为钝角时投影为_______值； 当当θ = 0?时投影为 ________；当θ＝９０?时投影为__________； 当θ = 180?时投影为__________. （2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影的乘积。 仁爱/诚信/勤奋/创新 授课教师：蒋金凤 课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班 授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时 教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重 点 平面向量基本定理 难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证 突破 方法 通过实例画图和类比平面直角 坐标系的象限归纳总结 教学模式讲授式、探究式 板书设计 平面向量基本定理 平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影 小结： 教学过程 教学活动学生活动设计意图一、情景引入 两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同 的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？ 二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算 （1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？ 看图观察并 思考，说出自己 的判断和依据 学生口述，作图 过程得结果 独立完成，个别 展示 从实际生活 问题入手，贴近 学生的日常生 活，能很好地激 发学生的求知欲 望 复习向量的 线性运算和共线 向量定理，为后 续的向量的分解 和唯一性作铺垫 进入向量分解的 探究，刚刚作图 的过程还记忆犹 新，按照来的痕 迹寻找构造平行 四边形的方法 《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1. 了解向量的数量积的抽象根源。 2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排： 2课时 五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）. 并规定0 与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积 的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０ ≤θ≤π） 平面向量的数量积（1）学案 一、导学目标： 1.掌握平面向量的数量积定义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.熟练应用平面向量的数量积处理有关模长、角度和垂直问题, 掌握向量垂直的条件； 二、学习过程： （一）复习引入 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________ (2)向量数量积的性质： ①如果e 是单位向量，则a e ?＝e a ?＝________； ②a a ?＝___________或a ＝__________； ③cos ,a b <>＝________； ④非零向量,a b ，a b ⊥?________________； ⑤a b ?____a b . 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a b ?＝________； (2)分配律：()a b c +?＝______________________； (3)数乘向量结合律：(a λ)·b ＝________________. （二）探索研究 小试牛刀 1.(口答)判断题. (1)=?； (2)a b b a ?=?； (3)22a a =； (4)()()a b c a b c ?=?； (5)a b a b ?≤?； (6) ． 2. 已知向量a 和b 的夹角为135°，2a =，3b =，则a b ?= ________ =??=? 3．已知2a =，3b =，则a b ?=－3，则a 和b 的夹角为__________ 4．(2010·重庆)已知向量a 、b 满足0a b ?=，2a =，3b =，则2a b -＝________ 学生归纳： 例题探究 例1（2010·湖南） 在Rt ABC ?中，90C ∠=,4AC =,则AB AC ?等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 变式： 1.在ABC ?中，3AB =，2AC =，BC =AB AC ?等于 ( ) A.－32 B.－23 C.23 D.32 2.在ABC ?中，3AB =， 2AC =，5AB AC ?=，则BC =_____________ 例2已知向量a b ⊥，2a =，3b =，且32a b +与a b λ-垂直，则实数λ的值为________. 变式： (2011·课标全国) 已知a 和b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +与向量ka b -垂直，则k ＝________ （三）练习 1.已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -?+=，（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求a b +. 2.(2011·广东) 若向量,,a b c 满足//a b ，且a c ⊥，则(2)c a b ?+＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，2AP PM =，则()PA PB PC ?+＝_______ 4.设非零向量,,a b c 满足a b c ==，a b c +=，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 5.(2011·辽宁) 若,,a b c 均为单位向量，且0a b ?=，()()0a c b c -?-≤，则a b c +-的最大值为 ( ) A.2－1 B.1 C. 2 D.2 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任 意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用， 表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实 数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填 共线或不共线). 五、小结（略） 学案27 平面向量的数量积及其应用 导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 自主梳理 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影． (2)向量数量积的性质： ①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ?________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |. 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________； (2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ?________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________. (4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB → |＝_____________________. 自我检测 1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－1 2 4.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2 y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________． 5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23 CA →，则MA →·MB → ＝________. 2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得 2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、教学重点难点 重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。 难点：平面向量数量积的概念 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标。 创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3 F 2.3.1 平面向量的基本定理 教学目的： 要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量． 教学重点： 平面向量的基本定理及其应用． 教学难点： 平面向量的基本定理． 教学过程： 一、复习提问： 1．向量的加法运算（平行四边形法则）； 2．向量的减法运算； 3．实数与向量的积； 4．向量共线定理。 二、新课： 1．提出问题：由平行四边形想到： （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量， =1e ，=λ1 2e ，=a =+=λ1 1e +λ2 2e ， =2e ，=λ 2 2e ． 1e 2e a C 得平面向量基本定理： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ 1 1e +λ2 2e ． 注意几个问题： （1）1e ,2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底； （2）这个定理也叫共面向量定理； （3）λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量． 例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e +32e ． 作法：（1）取点O ，作=-2.51e ，=32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求． 已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角． 当θ＝0°，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角为90°，我们说a 与b 垂直，记作：a ⊥b ． 三、小结： 平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 1 e 2e 《平面向量的数量积》复习课 说课稿 黄州区一中李世品 尊敬的各位评委、各位老师：大家好！ 今天我说课的题目是《平面向量的数量积》—复习课。下面我将从一下几个方面阐述我对本节课的分析和设计。 一、教材分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。将平面向量引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。《平面向量的数量积》是数学必修4第二章第四节的内容。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后，且已具备了一定的对向量的理解和应用能力的基础上进行的又一个重要运算，同时为探索空间向量的研究奠定了理论基础，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节复习课是把这两节并一节来复习的。本节课数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，高考中也经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。 二、教学目标的设计： 1、知识与技能： (1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。 (4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法： (1)通过本节课的复习培养学生应用平面向量的数量积解决相关问题的能力。 (2)通过师生共同探讨培养“数形结合思想”与“分类讨论思想”的能力。 3、情感态度与价值观： 培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。 三、重、难点分析： 1、重点：理解平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量的数量积的坐标表运算；用平面向量的数量积解决夹角、长度及垂直等问题。 2、难点：平面向量的数量积的综合应用。 四、教学方法与学法分析： 1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《平面向量数量积的复习课》，重点理解平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标运算。用数量积求夹角、距离、判断垂直等问题及平面向量数量积的。培养学生类比思想以及数形结合思想。 课题：平面向量的数量积及其应用 一、知识归纳：见课本 二、问题探究： 问题1．()1已知ABC △中，||6,||9,45BC CA C ==∠=?，则BC CA ?= ()2已知平面上三点,,A B C 满足3,4,5AB BC CA ===， 则AB BC BC CA CA AB ?+?+?的值等于 ()3已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，求a 与a b +的夹角 问题2．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。 问题3 已知向量a =,23sin ,23cos ?? ? ??x x b =,2sin ,2cos ??? ??-x x 且x ∈??????-4,3ππ. （1）求a ·b 及|a +b |; (2)若f(x)=a ·b -|a +b |，求f(x)的最大值和最小值. 2 问题4 设两个向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1与e 2的夹角为3 ,若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角， 求实数t 的范围. 课堂练习 1、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成0 60角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 A. 6 B. 2 C. 25 D. 27 2. |a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为 ( )A .30° B .60° C .120° D .150° 3.如图所示，在平行四边形ABCD 中， AC =（1，2） ，BD =（-3，2），则AD ·AC = . 4、.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 《平面向量基本定理》教学教案 ----新余一中蒋小林 一、背景分析 1．教材分析 函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。 2．学情分析 从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。 从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。 教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点． 二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培 养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活 动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现 了培养学生核心素养的要求． 三．教学过程设计 教学过程 1．创设问题、引出新课 （一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知 问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示 《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。 2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的 《平面向量数量积》说课稿 一：说教材 平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二：说学习目标和要求 通过本节的学习，要让学生掌握 （1）：平面向量数量积的坐标表示。 （2）：平面两点间的距离公式。 （3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。 以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三：说教法 在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法： （1）启发式教学法 因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。 （2）讲解式教学法 主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！ 主要辅助教学的手段（powerpoint） （3）讨论式教学法 主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。 四：说学法 学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！ 五：说教学过程 这节课我准备这样进行： 首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？ 继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？ 引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论： （1）模的计算公式 （2）平面两点间的距离公式。 （3）两向量夹角的余弦的坐标表示 （4）两个向量垂直的标表示的充要条件 第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。 例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。 再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。 必修4 2．4．3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【学习目标】 1.举例说明平面向量数量积的坐标表示、用坐标表示向量的模、夹角、垂直、平面内两点间的距离公式； 2.能运用以上知识解决有关问题和解决问题的思想方法； 3.通过本节课的学习，进一步加深对向量数量积的认识，提高同学们的运算速度、运算能力、创新能力及数学素质. 【学习重点】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离等公式. 【难点提示】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离的综合 运用以及灵活解决相关问题. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材106108P 结合进行自主学习（对教材中的文字、 图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题： 1.两个非零向量的夹角 ，夹角的范围是 ； 当两向量共线与垂直时夹角分别是 、 、 ；与非零向量a 垂直的向量有 个； 2.平面向量数量积定义 ， 向量数量积的几何意义 、向量数量积的性质 、 、 、 、 . 3.向量数量积满足的运算律 、 、 ； 4.平面向量的坐标表示及坐标运算 ，平面向量共线的坐标表示 ； 热身练习 已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB =； （2）____AB AC -=；请问同学们，你还能求：____AB =，____AB AC ?=， cos ____ABC ∠=，该△ABC 的形状如何？等. 这就是我们本节课要探究的问题！ 二、学习探究 通过“学习准备”，在想一想：前面我们学习了平面向量的坐标表示，我们已经会用向量的坐标表示来表示向量中的哪些相关知识？能用向量的坐标表示解决向量的哪些问题？上节课我们又学习了向量的数量积及相关知识，那么，现在你能用向量的坐标来表示向量的数量积、模、夹角吗？请同学们发挥你的想象探究一下： 探究向量数量积坐标表示 已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =，请你坐标表示a b ?？ 【提示】请同学们一定要先独立思考，再看链接1 探究： 归纳结论 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ?b = . 快乐体验 1.已知：(3,4),(5,12)a b =-=，求：|a |= ，|b |= ，a ?b = ， cos ___θ=（θ为向量a 与b 的夹角） 解： 2. 已知(2,3),(2,4),(2,4),a b c ==-=-求2,()(),(),().a b a b a b a b c a b ?+?-?++ 解： 3.已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB AC ?=； （2）____AB =；（3）△ABC 的形状是 . 解： 同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积的坐标表示有哪些感悟？它们有哪些性质呢？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？ 挖掘拓展 1.你能用几种语言来描述平面向量数量积的坐标表示？它实质就是一个运算公式，这个公式又怎样的特征？有几个变量？如何运用该公式？ 2.设),(y x a = ，则|a |= 或|a |= (长度公式) 3.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么 ||||AB a == (平面内两点间的距离公式) 4.夹角的计算：设),(11y x a =，),(22y x b = ,夹角为θ，则cos θ= 5.垂直关系分析：设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥? ?平面向量的数量积教案
平面向量数量积说课稿
平面向量的数量积导学案
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(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
平面向量数量积学案
2.3.1平面向量基本定理教案(人教A必修4)
学案27平面向量的数量积及其应用
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人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案
2.3.1平面向量基本定理教案
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