曲线与方程中的和、差、积、商

图2

MF 1 MF 2

MF 2 = 1.81厘米

MF 1 = 3.55厘米A 1A 2 = 1.73厘米图1

F 1M + MF 2

MF 2 = 1.33厘米F 1M = 3.25厘米A 1A 2 = 4.58c = 1.57 MF 1

∙ MF 2 = 3.07 MF 2 = 1.00厘米

MF 1 = 3.07厘米a 2

a = 1.75曲线与方程中的和、差、积、商

摘要 和、差、积、商本来是代数中的数语，但是，在几何中也有用武之地，并且有不俗的表现，它把代数中的有关知识与几何中的有关知识联系起来，使人有耳目一新的感受.

关键词 解析几何，和，差，积，商，距离，斜率

解析几何是以坐标为核心的几何学，是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.它以坐标法为基础，在坐标平面上，以坐标表示点，用方程表示曲线（包括直线），通过研究方程的特征，间接地来研究曲线的性质.因此，它主要有两方面作用：一，以代数为方法解决几何问题，也就是几何问题的代数化；二，给代数问题以一种几何解释，即代数关系的几何意义.

距离、斜率是解析几何中的两个基本概念，在坐标平面内，一条线段的长度或其所在直线的斜率与其上的两个点的坐标有关，所以，两点间的距离或经过两点直线的斜率是这两个点的坐标的函数.

和、差、积、商，本来是代数中的基本运算，但是它在解析几何中也有不俗的表现，下面请看： 一、与距离有关

1、平面内到两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F

、F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离12F F 叫做椭圆的焦距.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为

椭圆上任意一点，椭圆的焦距为()20c c >，则()1

,0F c -，

()2,0F c ，常数22a c >，所以由条件有122MF MF a +=2a =，化简得22

221x y a b

+=，

其中222

a b c =+(如图1).

2、平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点1F

、2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的焦距.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y

为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为()20c c >，则()1,0F

c -，

()2,0

F c ，常数022a c <<，所以由条件有122MF MF a -=±，即

2a =±，化简得

22

221x y a b

-=，其中222c a b =+(如图2) . 3、平面内到两个定点1F 、2F 的距离的乘积等于常数的点的轨迹叫卡西尼卵形线.这两个定点1F 、2F 叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为卡西尼卵形线上任意一点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >，常数为()2

0a

a >，则(

)1,0F c -，()2,0F c ，所以21

2MF MF a =，即

2

a =，化简得()()2

2

2222442x y

c x y a c +--=-(如图3) .

F 1Q QF 2

= 3.00

QF 2

F 1Q 图5F 1P PF 2PF 2 = 1.06厘米F 1P = 3.18厘米MF 1MF 2 = 3.00

a=c=1.94 MF 1∙ MF 2 = 3.75 MF 2 = 1.11厘米 MF 1 = 3.39厘米a 2

= 3.75

图4

特别地，当a c =时，得到贝努利双纽线(

)

()2

2

22222x y a x y +=-(如图4) .

当c a <时，得到没有自交点的两个卵形线.

4、平面内到两个定点1F 、2F 的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹叫圆（也称阿波罗尼斯圆）.这个圆，是以两已知点为端点的线段的定比为常数（不等于1）的内外分点作为直径的两端点的圆.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为阿波罗尼斯圆上任意一点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >

，常数为()1a a ≠，则()1,0F c -，()2,0F c ，所以由条件有

12

MF a MF =，

a =化简得()()()22222221210a x y c a x a c c -+-++-=(如图5) .也就是说，是以12F MF ∠的外角平分

线及12F MF ∠的平分线与1F 、2F 所在直线的交点为直径端点的圆.

特别地，当1a =时，轨迹为两定点所在线段的中垂线.

二、与斜率有关

1、平面内与两定点连线斜率之和为定值（不等于零）的点的轨迹是双曲线的一部分.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为曲线上任意一

点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >，定值为()0a a ≠，则()1,0F c -，()2,0F c ，所以1

2MF MF k k a +=，即y y a x c x c

+=+-()x c ≠±，化简得()2

2

20ax xy ac x c --=≠±，所以，满足条件的点的轨迹方程为

()2220ax xy ac x c --=≠±.

2、平面内与两定点连线斜率之差为定值（不等于零）的点的轨迹是抛物线的一部分.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为曲线上任意一点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >，定值为()0a a ≠，则()1,0F c -，()2,0F c ，所以1

2MF MF k k a -=，即y y a x c x c

-=+-()x c ≠±，化简得()2

2

20ax cy ac x c +-=≠±，所以，满足条件的点的轨迹方程为

()2220ax cy ac x c +-=≠±.

3、平面内与两定点连线斜率之积为定值（不等于零）的点的轨迹是圆或椭圆或双曲线的一部分.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为曲线上任意一点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >，定值为()0a a ≠，则()1,0F c -，()2,0F c ，所以12MF MF k k a ⋅=，即

y y a x c x c

⋅=+-()x c ≠±，化简得()2220ax y ac x c --=≠±，所以，满足条件的点的轨迹方程为

()2220ax y ac x c --=≠±.

当定值1a =-时，轨迹为圆的一部分；当定值10a -≠<时，轨迹为椭圆的一部分；当定值0a >时，轨迹为双曲线的一

部分.特别地，当定值a 取22b a -，2c 取2a 时，椭圆方程为22221x y a b +=()x a ≠±；当定值a 取2

2b a ，2c 取2a 时，双曲线方程

为22

221x y a b

-=()x a ≠±. 4、平面内与两定点连线斜率之商为定值的点的轨迹是直线的一部分.

解析：以两定点1F 、2F 所在直线为x 轴，12F F 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(),M x y 为曲线上任意一点，两定点1F 、2F 间的距离为()20c c >，定值为()0a a ≠，则()1,0F c -，()2,0F c ，所以1

2MF MF k a k =⋅，即y y a x c x c

=⋅+-(),0x c y ≠±≠，化简得()(1)0,0a x ac c x c y -++=≠±≠，所以，满足条件的点的轨迹方程为()(1)0,0a x ac c x c

y -++=≠±≠. 三、应用

1、2011北京 曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨 迹，给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；

③ 若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于

2

12

a . 其中，所有正确结论的序号是__________.

解：利用结论易知：曲线C 为卡西尼卵形线（如图），所以，设点

(),P

x y 为曲线C 2a =，化

简得(

)()2

2

222421x y x y a +--=-又22121212

1

21sin 212

1a PF PF PF F PF PF S PF F =≤∠⋅=∆，所以③正确. 因此，本命题中只有②、③是正确的.

2、2008江苏 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值为

.

解：设BC ＝x ，则AC ＝

，根据面积公式得ABC S ∆=

1

sin 2

AB BC B ⨯=，根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯

2

44x x -=，代入上式得

ABC S ∆==

22x x +>

+>⎪

⎩解得2

2x <<，故当2

12,x x =

=即ABC

S ∆

=

利用结论：由图易知，点C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，当点C 到直径PQ 所在直线的距离为圆的半径ABC S ∆取得

最大值，所以，三角形ABC 的面积的最大值ABC S ∆

=

1

22

⋅⋅= 3、2010山东 如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为22

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶

点的三角形的周长为)12(4+，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶

点的任一点.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k .

解：（Ⅰ）略解：由题意易得，椭圆的标准方程为22184x y +=；双曲线的标准方程为22

144

x y -=. （Ⅱ）一般解法：设00(,)P x y ，则由（Ⅰ）知，00

1200,22

y y k k x x =

=

+-，因为点00(,)P x y 在双曲线224x y -=上，所以，因此2

000

1220001224

y y y k k x x x ⋅=⋅==+--，即121k k ⋅=.

利用结论知：21224

14b k k a

⋅===.

4、2011江西 ()

(

)0,00P x y x a ≠±是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右

顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为

1

5

，求双曲线的离心率． 解：一般解法：因为点000(,)()P x y x a ≠±在双曲线22221x y a b -=上，所以有2200221x y a b -=，由题意有00001

5

y y x a x a

⋅=

-+可得22222

265,,5c a b c a b a e a ==+=

==

则 利用结论知：2215PM PN

b k k a

⋅==，即225a b =，又222265c

a b a =+=，所以5c e a ==.

5、2010北京 在平面直角坐标系xoy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1

3

-

.求动点P 的轨迹方程. 解：因为点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1,1)-.设点P 的坐标为(,)x y 由题意得()111

1113

y y x x x -+⋅=-≠±+-，化简得 2234(1)x y x +=≠±.故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±. 6、2011湖北 平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线，求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系.

解：利用结论，当x a ≠±时，由条件易得 ()2220mx y ma x a --=≠±，由题意，曲线C 的方程为2220mx y ma --=.

① 当1m <-时，曲线C 的方程为22

22

1x y a ma

+=-，曲线C 它表示焦点在y 轴上的椭圆； ② 当1m =-时，222x y a +=，曲线C 它表示圆心在坐标原点，半径为a 的圆；

③ 当10m -<<时，曲线C 的方程为22

221x y a ma +

=-，曲线C 它表示焦点在x 轴上的椭圆； ④ 当0m >时，22

22

1x y a ma

-=，曲线C 它表示焦点在x 轴上的双曲线. 参考文献：1、普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-1 人教A 版

2、《普通高中课程标准》（实验）解读 江苏教育出版社 2004.4

3、M.克莱因《古今数学思想》（2） 上海科学技术出版社 1979.8

4、蒋声 《形形色色的曲线》 上海教育出版社 1985.2