复变函数积分复习题

:

计算积分

2C

z dz ?

，其中C 是：

（1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t ti

t =+=+≤≤

()2dz i dt =+

于是

()()()222

1

222113

C

i i d z d t i z t +++==

?

（2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z t

t =≤≤，

)

2C 参数方程为()

201z it

t =+≤≤

()()1

2

2

21

2

2

2

20

1

22113

C

C C z dz z dz z dz t dt id it i t +=

+=+=+?

???? （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z it

t =≤≤，

2C 参数方程为()02z t i

t =+≤≤

()()()1

2

2

1

2

2

2

22

1

2113

C

C C z dz z dz z dz it idt dt t i i +=

+++==?

???? 设C 是,i z e θ

θ=是从π-到π的一周，计算：

（1）

()Re C

z dz ?

；

（2）()Im C

z dz ?；（3）C

zdz ? 解：cos sin i z e i θ

θθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+

@

（1）()()Re cos sin cos C

z dz i d i π

π

θθθθπ-=-+=??；

（2）()()Im sin sin cos C

z dz i d π

π

θθθθπ-=-+=-??；

（3）

()()cos sin sin cos 2C

zdz i i d i π

π

θθθθθπ-=--+=?

?

计算积分

C

z zdz ?

，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭曲线。

解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；

2C 表示为()cos sin 0z x iy i θθ

θπ=+=+≤≤，()sin cos dz i d θθθ=-+，

()()1

2

1

1

cos sin sin cos C

C C z zdz z zdz z zdz

x xdx i i d i

π

θθθθθπ-=+=+--+=?

????

沿下列指定曲线的正向计算积分()21C dz

z z +?的值：

>

（1）1:2C z =；（2）3:2C z =；（3）1:2C z i +=；（4）3:2

C z i -=。 解：()()()

11122f z z z i z i =

---+ （1）

()21111

1

2002221C C C C dz

dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=-++????； （2）

()211111

20221C C C C dz

dz dz dz i i i z z i z i z z πππ=--=--=-++????； （3）

()211111

00221C C C C dz

dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=--++????； （4）

()211111

202

2

1C C C C dz

dz dz dz i i i z z i z i z z πππ=

--=--=-++????

设区域D 为右半平面，z 为D 内的圆周1z =上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连

接原点与z ，证明：20Re 14

z d επ

ε??=??+???。 证明：函数

2

1

1ε+在右半平面解析，故从0到z 沿任意曲线C 的积分与路径无关，积分路径换为先沿实轴从0到1，再沿圆周到z 点。 、

1222000=111i z

i d dx ie d x e η

θηε

ηε++++??? 0

4

2cos i

d θ

π

ηη

=

+?

所以20Re 14

z d επ

ε??=?

?+??? 设C 为正向椭圆22149x y +=，定义()22

C f z d z εεεε-+=-?，z 不在C 上，求

()()()1,,f f i f i '''-。

解： z 在C 内部时，22

z

εεε-+-在=z ε处不解析，

()()222

22C f z d i z z z εεεπε-+==-+-?，

()()

21

1224z f i z z i ππ==-+=；

()()

()22122z i

f i i z i ππ='=-=-+；

？

()4f i i π''-=

计算下列积分： （1）

2

sin i

i

zdz ππ

-?；（2）11

i

z

ze dz +?

；（3）()2

1

2i

iz dz +?；（4）()

()

1

ln 11i

z dz z ++?

解：（1）

()21

sin 1cos 22

i

i

i

i zdz z dz πππ

π--=-??

sin 2sin 2242

4z i

z i

z z z z ππ==-????

=--- ?

?

????

sin 22

i

i ππ=-

； （2）()

()1111111

1

11

1i

i

z

z

i z i z

i i ze dz ze

e dz i e e ie ++++++=-=+-=?

?；

（3）

()

()2

3

111112233

i

i i iz dz iz i -++=

+=

?； "

（4）()()

()()22211ln 111ln 1ln 1ln 2122i

i

z dz z i z +??=+=+-??+? 2

211ln 2ln 2224i π????

=+-?? ???????

2

23ln 2ln 23288

i ππ=-

-+ 设()3

2e f z dz z

πε

εε==-?，求()(),f i f i -；当2z >时，求()f z 。 解：z 在2z <内部时，3

e

z

π

εε-在=z ε处不解析，()3

3

22z e f z dz ie z π

ε

π

ε

πε===-?， ()(3

322z i

z i

f i ie ie

i π

π

πππ====； ()(3

3

22z i z i

f i ie ie

i π

π

πππ-=--===+；

当2z >时，

3

e

z

πεε-将处处解析，所以()3

20e

f z dz z π

ε

εε==

=-?

】

沿下列指定曲线的正向计算各积分： （1）

()5

cos ,:11C

z

dz C z r z π=>-?；

（2）

()()

2

3

1

,:111C

dz C z r z

z =<--?；

（3）

2

sin 3

,:2

2C

z

dz C z z π=??- ?

?

??

； （4）

()

3

,:1,z

C

e dz C z a z a =-?为1a ≠的任何数；

（5）

2sin ,:229C z

dz C z i z -=+?；

（6）123

cos C C z

dz z +?，其中1:2C z =取正向，2:3C z =取负向。

解：（1）cos z π在由:1C z r =>围成的区域内解析，

、

()()()

541

5

cos 2cos 4!

12

1z C z

i i

dz z z ππππ===-

-?；

（2）函数()()()

2

3

1

11f z z

z =

--在由:1C z r =<围成的区域内无奇点，处处解析，所

以

()()

2

3

1

011C

dz z

z =--?；

（3）函数()2

sin 2z f z z π=

??- ?

?

?在由3

:2

C z =

围成的区域内无奇点，处处解析，所以 2

sin 02C

z

dz z π=??

- ?

?

??

；

（4）当1a >时，()()

3

z

e f z z a =

-在由:1C z =围成的区域内无奇点，处处解析，所以

()

3

0z

C

e dz z a =-?；

当1a <时，()()

3

z

e f z z a =

-在由:1C z =围成的区域内有奇点z a =，

()

()3

22!

z

z a z a

C

e i dz e e i z a ππ=''

==-?；

}

（5）函数()2

sin 9

z

f z z =

+在由:22C z i -=围成的区域内有奇点3z i =-，

32sin sin sin 32sin 3sinh 393333

z i C C z

z z i z i dz dz i i z z i z i πππ=--====++-??； （6）设2:3C z -

=取正向，

1212333cos cos cos C C C C z z z

dz dz dz z z z -+=-???

()()00

22cos cos 2!2!z z i i z z ππ==''''=-

0=

设()f z 在1z ≤上解析且()01f =，试求：

()11122z f z z dz i

z z π=????±+ ????

????。 解：

()()()()2211121

11222z z z f z f z f z z dz dz i

z z

i z z ππ==??

+??????±+=± ???????????

?? ()()()2

201z f z f z ='??=±+??

()()()2

221z z f z z f z =??'=±?++??

()20f '=±