matlab在数学分析II中的应用

Matlab在数学分析III中的应用

目录

1.1 空间曲线（曲面）的切线（切平面）法平面（法线） (1)

1.1.1 空间曲线的切线和法平面的实验 (2)

1.1.2 空间曲面的切平面和法线的实验 (3)

1.2 二重积分的符号计算及其matlab程序 (4)

1.3 三重积分的符号计算及其matlab程序 (7)

1.4 第一类曲线积分与第一类曲面积分 (9)

1.4.1 第一类曲线积分与第一类曲面积分概念 (9)

1.4.2 第一类曲线积分的计算 (11)

1.4.3 第一型曲面积分的计算 (12)

1.5 第二类曲线积分 (14)

1.5.1 第二类曲线积分的计算 (17)

1.6 第二类曲面积分 (18)

1.6.1 第二类曲面积分的计算 (20)

1.7 参考文献 (22)

1.1空间曲线（曲面）的切线（切平面）法平面（法线）

[x,y] = meshgrid(-2.1 : 0.2: 2.1, -2.1 : 0.2: 2.1);

z = 3 * (x - 1).^2.* exp(-(x+1).^2 - y.^2);

surfnorm(x, y, z);

1.1.1空间曲线的切线和法平面的实验

syms t x y z

x1 = 3 * sin(t); y1 = 3 * cos(t); z1 = 5 * t;

w1 = [x1, y1, z1];

S1 = jacobian(w1, t);

t = pi / 4;

x0 = 3 * sin(t);

y0 = 3 * cos(t);

z0 = 5 * t;

S0 = S1;

v0 = subs(S0)

t0 = t;

F = -[x; y; z] + [x0; y0; z0] + v0 * t

G = [x - x0; y - y0; z - z0].' * v0

t = 0: pi/10 : 2 * pi;

x = 3 * sin(t);

y = 3 * cos(t);

z = 5 * t;

plot3(x, y, z),

hold on

t0 = pi/4;

x0 = 3 * sin(t0); y0 = 3 * cos(t0); z0 = 5 * t0;

plot3(x0, y0, z0, 'ro'),

hold off

1.1.2空间曲面的切平面和法线的实验

syms t x y z

F = x^2 + y^2 + z^2 - x * y - 3;

x0 = 1; y0 = -1; z0 = 0;

w = [x, y, z];

S1= jacobian(F,w)

v1 = subs(S1, x, x0);

v2 = subs(v1, y, y0);

n = subs(v2, z, z0);

F = [x - x0, y - y0, z - z0] * n';

G = -[x, y, z] + [x0, y0, z0] + n * t

[X1, Y1] = meshgrid(-2 : 0.2: 2, -2 : 0.2 : 2);

Z1 = (-X1.^2 - Y1^2 + X1.*Y1 + 3).^(1/2);

plot3(X1, Y1, Z1)

hold on

Z2 = -((-X1.^2 - Y1^2 + X1.*Y1 + 3).^(1/2));

plot3(X1, y1, z2)

xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'),

hold on

z0 = 1; y0= -1; z0 = 0;

plot3(x0, y0, z0, 'bo')

hold off

1.2二重积分的符号计算及其matlab程序二重积分的几何意义：如求曲顶柱体的体积

二重积分的计算：

过上一点，作与面平行的平面，此平面与曲顶柱体相交所得的截面是一个以区间为底、以为曲边的曲边梯形（图10.12中的阴影部分）.这个截面的面积为

一般地，过上任意一点且平行于面的平面，与曲顶柱体相交所截得截面的面积为

注意上式中保持不变，而是积分变量.于是,对于区间上任意一个小区间

,由微元法可知曲顶柱体的体积微元为

将从到求定积分,就得到曲顶柱体的体积

于是得二重积分的计算公式

%%绘制积分区域

x = 0.08 : 0.001 : 3;

y1 = 1./(2 * x);

y2 = sqrt(2 * x);

plot(x, y1, 'b-',x , y2, 'm-', 2.5, x, 'r-'),

%axis([0.53 5.3])

title('the area by the boundary: y1 = 1/2x, y2 = sqrt(2x) and x = 2.5') %% x = 1/2, y =1 计算两条曲线的交点

syms x y

y1 = ('2 * x * y = 1');

y2 = ('y - sqrt(2 * x) = 0');

[x, y] = solv e(y1, y2, x, y)

%% 计算积分

syms x y

f = exp(-(x^2 + y^2));

y1 = 1/(2 * x);

y2 = sqrt(2 * x);

jfy = int(f, y, y1, y2);

jfx = int(jfy, x, 0.5, 2.5);

jf2 = double(jfx);

1.3三重积分的符号计算及其matlab程序

%%绘制积分区域

[x, y] = meshgrid(-2 : 0.01 : 2);

z1 = 8 - (x.^2 + y.^2);

figure(1)

mesh(x, y, z1),

hold on,

x = -1 : 0.01: 2;

r = 2;

[x, y, z] = cylinder(r, 30); %半径为2的圆柱面

mesh(x, y, z),

hold off

title('由旋转抛物面of z = 8 - (x^2 + y.2);圆柱面 x^2 + y^2 = 4, 和z=0所围成区域')

figure(2)

contour(x, y, z, 10)

title('由旋转抛物面of z = 8 - (x^2 + y.2);圆柱面 x^2 + y^2 = 4, 和z=0所围成区域的投影区域')

%%计算积分上下限

syms x y z

f1 = ('z = 8 - (x^2 + y^2)');

f2 = ('x^2 + y^2 = 4');

[x, y, z] = solve(f1, f2, x, y, z)

%%计算积分

syms x y z

f = x + exp(y) + sin(z);

z1 = 0;

z2 = 8 - (x^2 + y^2);

x1 = -sqrt(4 - y^2);

x2 = sqrt(4 - y^2);

jfz = int(f, z, z1, z2);

jfx = int(jfz, x, x1, x2);

jfy = int(jfx, y, -2, 2);

jf2 = double(jfy)

1.4第一类曲线积分与第一类曲面积分

1.4.1第一类曲线积分与第一类曲面积分概念

计算积分\int_l(x^2+y^2)ds, l是由下属参数函数确定的曲线：

x=\cos(t)+\sin(t),

y=\sin(t)-t\cos(t) ,(0<=t<=2\pi)

syms t;

x=cos(t)+t*sin(t);

y=sin(t)-t*cos(t);

f=x^2+y^2;

I=int(f*sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2),t,0,2*pi)

I =2*pi^2+4*pi^4

qxjf1.m

function I = qxjf1(funx, funy, fun, c, d)

syms t

x = funx;

y = funy;

dx = diff(x, t);

dy = diff(y, t);

z = fun * sqrt(dx^2 + dy^2);

I = int(z, t, c, d);

end

syms t

funx = 2 * cos(t);

funy = 5 * sin(t);

fun = funx^2 + 2 * funy^3;

c = 0;

d = pi;

I = qxjf1(funx, funy, fun, c, d);

II = simple(I);

pretty(II),

y = double(I);

qmjf1.m

function I = qmjf1(funz, fun, y1, y2, x1, x2) syms x y

z = funz;

dzx = diff(z, x);

dzy = diff(z, y);

u = fun * sqrt(1 + dzx^2 + dzy^2);

jfz = int(u, y, y1, y2);

I = int (jfz, x, x1, x2);

例子1

%%画出积分区域的草图

x = -1 : 0.01 : 1;

y1 = -sqrt(1 - x.^2);

y2 = sqrt(1 - x.^2);

plot(x, y1, 'b-', x, y2, 'm-'),

axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

title('由圆x^2+y^2=1所围成的积分区域')

%% 计算曲面积分

syms x y

funz = x^2 + y^2;

fun = sqrt(1 + 4* x.^2 + 4 * y.^2);

x1 = -1; x2 = 1;

y1 = -sqrt(1 - x.^2); y2 = sqrt(1 - x.^2);

I = qmjf1(funz, fun, y1, y2, x1, x2)

y = double(I)

例子2 ：若曲面的方程为

令

，，则

计算\int\int_surf zdS, 其中surf是螺旋面的一部分，

x = ucosv;

y = ysinv;

z = u;

(u,v)\in D, D : {(u,v)|0<=u<=a,0<=v<=2\pi}

syms u v du dv dudv E F G

%syms a positive

a = 1;

x = u * cos(v);

y = u * sin(v);

z = u;

du = [diff(x,'u'), diff(y,'u'), diff(z,'u')];

dv = [diff(x,'v'), diff(y,'v'), diff(z,'v')];

E = du* du';

F = du* dv';

G = dv* dv';

simple(int(int(v*sqrt(E*G-F^2),u,0,a),v,0,2*pi)) 1.5第二类曲线积分

1.5.1第二类曲线积分的计算

qxjf2.m

function I = qxjf2(funx, funy, funp, funq, c, d) syms t

x = funx; y = funy;

dx = diff(x, t); dy = diff(y, t);

z = funp * dx + funq * dy;

I = int(z, t, c, d);

end

syms t

funx = t;

funy = 2 * (t-1)^2 + 1;

funp = funx * funy;

funq = funy - funx;

c = 1;

d = 2;

I = qxjf2(funx, funy, funp, funq, c, d)

y = double(I)

1.6第二类曲面积分

1.6.1第二类曲面积分的计算