实验十伏安法测电阻
实验十 伏安法测电阻
[目的]
1.学习由测量电压、电流求电阻值的方法(伏安法)及电表的选择方法；
2.学习减少伏安法中系统误差的方法及最小二乘法求系统误差的方法。
[仪器和用具]
1.直流稳定电源（MCH-303D-Ⅱ型 0-30V/0-3A ）；
2.直流毫安表（C31-mA 型 a= 量程:5-10-20-50mA 内阻:约为）；
3.直流电压表（C31-V 型 a= 量程：.075-3-7.5-300-600V 3-600V 的电压灵敏度：500Ω/V ）；
4.直流指针式检流计（AC5-4型）；
5.万用电表（MF50型 ）；
6.滑线变阻器三个（600Ω/0.5A 、240Ω/1A 、50Ω/2A 、各一个）；
7.电位器（47K Ω/2W ）；
8.电阻器（500Ω/）、电阻箱（ZX21a 型 ）； 9.待测电阻（约Ω、）； 10.单刀双掷开关； 11.单刀开关； 12.导线十六条。
[实验原理]
一、伏安法
如图5-1、5-2所示，用电表测出通过电阻R 的电流I 及其两端的电压U ，按欧姆定律
I
U
R =
X (5-1)
求出被测电阻值的方法，称为伏安法。
因为X R 是用电表测量值直接代入式（5-1）求得的，故称X R 为表观电阻值. 显然，由于电压表内阻的分流．．．．．．．．．．．．．(或电流表内阻的分压．．．．．．．．．)作用．．，表观电阻值X R 与电阻的实际值R 不相等，存在一定的偏差。这个偏差是由于电表内阻对电路的影响而产生的，属于系统误差，通常又称为电表的接入误差。
二、两种连线引入的误差
由图5-1、5-2可知，伏安法有两种联线方式——电流表内接（电流表接在电压表里侧）与电流表外接（电流表接在电压表外侧）。两种连线引入的误差如下：
1.内接法引人的误差
如图（5-2）所示，设电流表的内阻为 R A ，通过电阻R 的电流为I ，则电压表的测量值为：
A A R IR IR U U U +=+= （5-2）
则电阻的测量值（表观电阻值）为: A R R I U
R +==X （5-3） 电阻的实际值（测量值的修正式）为： A R I
U
R -= （5-4）
电表的接入误差为：
R
R R
R A
=
X
δ （5-5） 由（5-3）式可知，测量值X R 大于电阻的实际值R 。显然，只有当R ＞＞R A 时，采用电流表内接法才能忽略X R δ，这时才有R ≈X R =U/I 。
2.外接法引人的误差
如图（5-1）所示，设电压表的内阻为 R V ，又设通过电压表的电流值为I V 而电阻R 两端的电压值为U ，则电流表的测量值应为: V
V R R U R U I I I +=
+= （5-6） 则电阻的测量值（表观电阻值）为: V
V R R RR I U R +==
X （5-7） 电阻的实际值为: V
R U I U R -
=
（5-8）
电表的接入误差为: V
R R R R +-=X 2
δ （5-9）
由（5-7）可知，测量值X R 小于电阻的实际值R 。显然，只有当R ＜＜R V 时，采用电流表外接法才能忽略x R δ，这时才有R ≈X R =U/I 。
可见，为了减少伏安法引人的系统误差，必须根据待测电阻值的大小来选择电表的连接方式。当R ＞＞R A
时，应采用电流表内接法；R ＜＜R V 时，应采用电流表外接法。
三、电流表外接法系统误差的消除
图5-3所示，调节E 及R P0、R P 使电流表指示在欲测量的数值上，再调节变阻器 R P1及分压器R 1，使得通过检流计的电流值Ig=0。此时C 、B 点的电位相等，即：
R AB DC U U U U ===
U DC 和U AB 大小相等，互相补偿且互不影响，我们称此时的电路处于电压补偿状态。此时流过电流表的电流I 仅为通过待测电阻R 的电流值I R 而无电压表的分流值I V ,于是通过U DC 与 U AB 的电压补偿，将电压表由AB 间移到了DC 间，从而消除了由于电压表内阻的分流而引入的系统误差。故当图5-3电路处于电压补偿状态时有：
I
U
R =
且不存在由于电表的接入而引入的系统误差。
四、电表的选择
在电磁学实验中，电表的误差是重要的测量误差来源。因此，选择合适的电表量程及其准确度等级是减
少测量误差的一个重要途径。对于伏安法测电阻，可按下述方法选择电表量程及其电表量程及其准确度等级。
1.电表量程的确定
首先，根据待测电阻的额定功率P 0及其阻值的估计值或厂家给出的标称值R 0 ，按
0R P I =
(5-10) 求出待测电阻允许通过的最大电流值I 0，然．后根据．．．I m ≤I 0的原则确．．．．定电．．流表的量程．．．．．,再根据．．U m ≈I m R 0的原则．．．，确定出电压表的量程．．．．．．．．．
。 2.电表准确度等级的选择
在确定了电表的量程后，应根据对测量结果相对误差的要求，选择合适等级的电表进行测量。 假设要求电阻测量的相对误差不大于某一E R 值，由=X R U/I 并根据误差传递公式可得电表本身误差而引入的R 测量值的相对误差为:
22)()(I
I
U U R R E R ?+?=?=
X X （5-11） 根据误差均分的原则取
I
I
U U ?=
?代入式（4-11）可得 I
I
U U I I U U E R ?=?=?=?=22)(2)(
222 （5-12） 式中U ?、I ?为电表的极限误差，其值分别为
%V m a U U =? %A m a I I =?
式（3-13）中V a 、A a 分别为电压表、电流表的准确度等级。将式（5-13）代入式（5-12）整理后可知，电压表、电流表的准确度等级（电表误差级别）应满足下式：
1002??
≤
m
R V U U
E a 1002
??
≤
m
R A I I
E a 式（3-14）中U 、I 为测量值，在选择电流表的准确度等级V a 、A a 时，可取U=(2/3)U m 、I=(2/3)I m 进行运算，即取1002
32??≤
R A V E a a ＝但在实际测量中应注意．．．．．．，所有的．．．U ．、．I ．测量值均须大于或等于电表的．．．．．．．．．．．．．2．/．3．量程值．．．。 )
135(-)
145(
-
五 、测量标准不确定度)(x C R u 的计算
本实验测量值的标准不确定度主要来源于如下几个方面： ⑴ 重复测量引人的A 类标准不确定度)(x A R u
由于本实验是利用最小二乘法计算R 值，且R 为回归直线的斜率b
?，因此可取回归直线斜率b ?的标准偏差S b 作为测量的A 类标准不确定度。即取)(x A R u =)(x R S =S b 。根据理论推导[参见杨述武主编的《普通物理实验》（第三版）第二册P54～55]可知，对于y=a+bx 直线，当a=0时回归直线的斜率为：
∑∑=2?i i i x y x b 即： 2
i
i i x I U I R ∑∑= （5-15） 其标准偏差为
1
)?(2
2
-∑-∑∑=n x b
y x x S i i i
i b （5-16）
对本实验，有i i I =χ、i i U y = 所以R x 的A 类标准不确定度为：
)(x A R u =)(x R S =1
)(2
2
--=∑∑∑n I R U
I
I S i x i
i
i b
（5-17）
⑵ 电表误差引人的B 类标准不确定度)(x B R u
2
2))(())((
)(U
U u I I u R R u B B x x B += （5-18） 式（5-16）中的U 、I 为电表的测量值，U 、I 可取测量数据的中间数据值；)(I u B 、)(U u B 分别为电流表和电压表的基本误差引入的B 类标准不确定度，其值分别为：
3%
a U 3U )U (u 3
%a I 3I
)I (u v m B A m B ?=
=?=
=
?? （5-19）
⑶ 伏安法测量中电表内阻对电路的影响而引入的B 类标准不确定度）内R u B (以及补偿法测量中检流计
灵敏度限制而引入的B 类标准不确定度）x B R u '(。——本实验不要求考虑。
合成的标准不确定度
)()()(2
2x B x A x C R u R u R u += （5-20）
[实验内容、要求]
一、 用电流表内接法和外接法测一待测电阻的阻值。 要求：
1. 先用万用表粗测待测电阻值，再结合待测电阻的额定功率选取合适等级及量程的电流表、电压表 ，使电表测量的相对误差≤2%。
2. 按图5-4联接实验电路，并将滑线变阻器R P0、R P的滑动端调至使其电阻值为最大的位置；再使A 表内接（K置“1”端），合上电源开关K E，调节直流稳压电源（E≈8～22V）及R P0、R P，使电流表指示在欲测点的数值上，按表10-2的相应要求进行测量。
3. 再使R P0的滑动端回至中间位置，使A表外接，再次调节R P0、R P按表10-2的相应要求测量。然后断开电源开关K E并将电源输出电压调至0V。
二、用补偿法重测上述被测电阻值。
要求：
1. 按图5-3联接电路，并装上检流计电池（1个），把检流计开关往上扳至“开”位置，调节零点，校准“0”点。
2．将滑线变阻器R P0、R P1滑动端调至使其电阻值为最大的位置，R P2电位器也旋至最大的位置。R1的滑线变阻器滑动头调至中间左右的位置，R2将电阻箱取999Ω位置。
3.合上电源开关K E；调节直流电源，使E≈13~25V范围内，然后调节R P0、R P使电流表A指示。
4.调节R1和R2万使电压表指示在V附近。
5. 合上与检流计连接的开关K G，注意观察检流计指针变化，若左偏，增大R2，若右偏，减小R2，直到使小检流计指针指示在“0”位置。
6. 缓慢减小R P2电阻值，观察检流计指针变化，按照“若左偏，增大R2，若右偏，减小R2”原则，直至R P2=0，检流计指针指示在“0”位置。
7．观察电流表指针变化，若偏离位置，再次调节滑线变阻器R P0、R P1滑动端直到使电流表指针位置。
8．当R P2=0，I g=0，I A=的时候,读出电压表读数,并记录在表格(二)内相应位置。
9．调节滑线变阻器R P0、R P1电阻结合调节电源电压使得I A=、mA、mA、mA、mA、，同时满足R P2=0，I g=0条件,方可读出电压表读数,并记录在表格二内相应位置。
[思考题]
1. 已知本实验待测电阻的标称值为Ω，其额定功率为，如何确定图5-2中滑线变阻器的电阻值及其额定电流值
2. 试设计一种测电表内阻的方案（要求画出电路图，列出测量公式并简述测量方法。）
[预习报告要求]
1. 画出本实验的四个电路图，简述伏安法的两种连线引入的误差及图5-3的测量原理。
2. 试讨论如何利用图5-4电路来确定电流表的联接方式，以减少系统误差。
[数据记录]
实验十伏安法测电阻
专业班级姓名学号编组号№:
一、选择电表记录
表10-1 要求：E R≤2%
计算过程：
I0、Im、Um、a A 、a V计算
二、电阻测量记录
[数据处理]（相关公式）
一、用最小二乘法计算待测电阻值R x 表10-3
=?=?=
3
%3)(A m B a I I
I u
二、R x 标准不确定度)(x C R u 的估算 1.重复测量的差异而引入的A 类标准不确定度 表10-4
2.电表测量误差而引入的B 类标准不确定度
3. R x 的标准不确定度合成 表10-6
[结果报道]
1．伏安法测量
⑴ A 表内接测得： R x ==±)(x C x R u R ⑵ A 表外接测得： R x ==±)(x C x R u R 2．补偿法测得： R x ==±)(x C x R u R
[结果讨论]
提示：据三种测量方法求得的标准不确定度，求出相应的相对不确定度()χR R u c ，并结合各种测量电 路中电表的内阻对电路影响而引入的系统误差大小进行比较讨论，从而给出伏安法中哪种电路测得的结果较可信及三种电路中哪种电路测得的结果最可信的结论。