特殊的平行四边形备课教案

第6章特殊平行四边形与梯形

目录

6.1 矩形(2) (2)

6.1 矩形(3) (7)

6.2 菱形(1) (10)

6.2 菱形(2) (14)

6.3 正方形 (18)

6.4 梯形(1) (21)

6.4 梯形(2) (26)

6.1 矩形(2)

【设计理念】

根据新课程标准要求学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。结合八年级学生的实际情况，本节课教学过程的教学设计分以下几面：

1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，并能学以致用。

2、根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题。使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。

3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。

4、学生积极参与到课堂教学中来，动手动口动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获．

【教材分析】

1．在教材中的地位与作用

生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛。矩形第二课时的一节也是后续几何知识学习的基础。学生探索得出矩形判定的方法，为以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。

2．对教材的处理

本节课主要是探索矩形判定的条件，应用矩形的判定定理解决相关问题。利用这节课

来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。转变学生的学习方式，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展。在选题时, 遵循学生的认识规律, 照顾学生的接受能力, 配置由浅入深, 由易到难的练习题。教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富有个性的学习。

3．教学目标

知识与技能：通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。

过程与方法：通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。

情感态度与价值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

4.教学重点与难点

重点：探索矩形判定定理的过程及应用

难点：矩形判定定理的应用

【教学方法与教学手段】

1．教学方法

探究发现、合作学习的方法

2．教学手段

采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率。

【教学过程】

环节一：创设情境、导入新课

通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题

1、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）（1）是不是平行四边形，（2）再看它有无直角。

2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质？

（通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义外，还有哪些方法，导入新课。）环节二：尝试发现，探索新知

活动一：

1、先请同学仅用手中量角器量一下图形(甲)(乙)中的四边形的角（有几个直角）。

甲乙

2、然后通过同桌同学交流用有几个直角才能构成矩形，并说明理由。

（此问题的解决以动手实践，合作交流的形式进行，学生在探究过程中根据已有的知识积累——矩形的定义，得出矩形的判定定理一。教师以合作者的身份深入学生中，了解学生的探究进程并适当给予点拨。）

最后教师进行适当板书进行推证、讲解。在此过程中，全体同学可互相补充、互相评价，培养学生的语言表达能力、推理能力。

活动二：教师提问：矩形的对角线相等,相反对角线相等的四边形是什么图形？在学生回答是或不是的情况下，让学生下例步骤进行探索。

1、画任意两条长度相等的相交线段，并把它们的四个顶点顺次连结，看是不是矩形？

2、画两条长度相等并且一条并分另一条的线段，并把它们的四个顶点顺次连结，看是不是矩形？

3、画两条长度相等并且互相平分的线段，并把它们的四个顶点顺次连结，看是不是矩形？

4、然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等才能构成矩形，并说明理由。

最后通过教师演示动画，师生进行适当交流、归纳、讲解，得出矩形的判定定理二。（此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行，通过此种互动过程，让全体学生参与其中，获得不同程度的收获，体验成功的喜悦）

活动三：矩形的判定定理二的证明。

已知：在平行四边形ABCD中，AC＝BD，

求证：平行四边形ABCD是矩形。

对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流。

(1)条件与结论各是什么？(引出条件与结论的关系)

(2)使一个平行四边形是矩形，已学过什么方法？(引出矩形的定义证明)

(3)要证明一个角是直角，根据平行四边形相邻两个角互补，只需证明什么？(引出证明两个三角形全等)

(4)如何选择要证明两个三角形全等，它们的条件是否满足？

最后由学生说出整个证明的过程，教师进行适当的点评与板书。

当判定定理一、定理二得出后，让学生总结矩形的三种判定方法(定义，定理一与定理

二)，并对题设进行比较、区分，使学生进一步明确定理应用的条件。 环节三：应用辨析，巩固定理

为了帮助学生巩固定理，应用如下：

应用一、工人师傅为了检验两组对边相等的四边形是否成矩形，你有没有方法帮助工人师傅解决这个问题？(这一题是由引入判定定理二改编而成的，主要考查学生的判定矩形的多种解决方法的实际问题。)

应用二、例题讲解

一张四边形纸板ABCD 形状如图，它的对角线互相垂直。若要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD 的四条边上，可怎么剪？

对于这个问题的解决教师引导学生回顾过去证明“依次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验，使学生联想到连结四边形ABCD 的两条对角线，然然后运用中位线定理，这样就解决了这个问题。 应用三、 练习一、判断题：

1、内角都相等的四边形是矩形。

2、对角线相等的四边形是矩形。

3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

4、一组邻角相等的平行四边形是矩形。

5、对角互补的平行四边形是矩形。 练习二：如图AC ，BD 是矩形ABCD 的两条结角线，AE=CG=BF=DH 。求证：四边形EFGH 是矩形。

D

O

C B

A

H E

G

F

C

O

B

A

D

(练习一，二是课内练习，主要为加强学生对所学定理的理解和掌握，使学生能将给出的条件转化为应用定理所需的条件，辨析判定定理的题设，以便更好地应用定理。这两个问题的解决分别应用所学定理，使学生能够学习致用。这两道题的解决方法是先采用独立完成形式，有困难的学生可以求助老师或同学，学生互助完成，派学生代表板书讲解。)

环节四：反思小结，体验收获

今天你学到了什么？谈谈你的收获。

(再现知识，教师点评，对学生在课堂上的积极合作，大胆思考给与肯定，提出希望。)

6.1 矩形(3)

【教学目标】

1．进一步掌握矩形的性质及判定的应用

2．理解定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明

3．会利用矩形的性质和判定解决简单几何问题.

【教学重点、难点】

重点：本节教学的重点是进一步掌握矩形的性质及判定的应用．

难点：定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明要添加教多的辅助线,综合应用知识的能力要求教高,是本节教学的难点．

【教学过程】

一. 复习旧知:

1. 矩形的定义.(请下游同学回答)

2. 矩形的两个性质定理.(请中下游同学回答)

3. 矩形的两个判定定理.(请中下游同学回答)

4. 师生一起回答:有一句话既是矩形的性质,又是矩形的判定,那就是矩形的定义.

5. 师生共同回忆:”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”. 二. 新课讲授:

1. 下面谈谈第5点”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程. 启发引导如下:1.帮助学生根据题意,画出图形.

2. 根据图形,写出已知和求证.(上游生回答).

3. 回顾证明一条线段是另一条线段的一半,可以转换成怎样的一个等价命题. (上游生

回答).

4. 如何在图中画出2倍的CD. (中游生回答).

5. 延长CD 到E,使DE=CD,问题就化归为证明哪两条线段线段相等. (中游生回答).

6. 现在我们证明两条线段相等有哪些新的方法. (上游生回答). 已知:如图,在RT ⊿ABC 中,∠ACB=RT ∠,CD 是斜边AB 上的中线, 求证:CD=

2

1

AB E A 证明:延长CD 到E,使DE=CD,连接AE,BE.

CD 是斜边AB 上的中线.

∴ AD=DB D

又 CD=DE

∴四边形AEBC 是平行四边形.

∠ACB=RT ∠, B C ∴四边形AEBC 是矩形(矩形的定义). ∴CE=AB(矩形的对角线相等), ∴ CD=2

1

AB 三 .巩固练习

1. 课本”课内练习”(请三位中游生上黑板来演示)

2. (机动 )见书本作业题(A)组. 四.小结:

1. 通过这节课的学习,你有什么收获?(请各个层次的同学回答).

2. 还有什么困惑需要我们共同解决?

五.作业:见作业本

6.2 菱形(1)

【教学目标】

1.经历菱形的概念、性质的发现过程

2.掌握菱形的概念

3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”

4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”

5.探索菱形的对称性

【教学重点、难点】

重点：菱形的性质．

难点：菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点．

【教学过程】

一.引入: 用多媒体显示下面的图形

观察以下由火柴棒摆成的图形

议一议: (1)三个图形都是平行四边形吗?

(2) 与图一相比,图二与图三有什么共同的特点?

目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:

(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形

(2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异

二. 新课: 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.

菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.

定理1:菱形的四条边都相等

这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.

定理2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

已知:在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O 。

求证:AC ⊥ BD ,AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC

分析：由菱形的定义得△ABD 是什么三角形？

BO 与OD 有什么关系？根据什么？

由此可得AO 与BD 有何关系？∠BAD 有何关系？根据什么？

证明：∵四边形ABCD 是菱形

∴AB=AD （菱形的定义）

BO=OD （平行四边形的对角线互相平分）

∴AC ⊥BD ， AC 平分∠BAD （等腰三角形三线合一的性质）

同理，AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC

∴对角线AC 和BD 分别平分一组对角

由定理2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。另外，还可以从折叠来说明轴对称性。同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。菱形还具有平行四边形的所有共性，比如：菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。 三． 应用

例1． 在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交与点O, ∠BAC= 30°,BD=6 求菱形的边长和对角线AC 的长.

分析:本题是菱形的性质定理2的应用，由∠BAC= 30°， 得出△ABD 为等边三角形，就抓住了问题解决的关键。 解：∵四边形ABCD 是菱形

O D

C B

A

∴AB=AD （菱形的定义）

AC 平分∠BAD （菱形的每条对角线平分一组对角） 又∵∠BAC= 30° ∴ ∠BAD= 60° ∴△ABD 为等边三角形 ∴AB=BD=6

又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分） AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直） 由勾股定理得 AO 2 + BO 2= AB 2 ∴AO=

AC=2AO=

四．巩固：教科书第141页 课那练习1、2

五．小结：1、通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些困惑？

2、本节课的主要内容是：一个定义（菱形的定义），二条定理（菱形的性质定理），二个结论（菱形是轴对称图形，又是中心对称图形）。 六．作业：（略）

O D

C

B

A

6.2 菱形(2)

【教学目标】

1．经历菱形的判定定理的发现过程。

2．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。

3．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。

4．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想．

【教学重点、难点】

重点：菱形的判定定理．

难点：菱形判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间想象力，又要有较强的逻辑思维能力．

【教学方法】

启发诱导、讨论、讲授相结合

【教学过程】

(一)、复习引入

1、提问

菱形的定义和性质。

定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。

性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，

对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角

判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？

定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题）

(二)、创设情境，引入新课

1、合作学习：

学生拿出准备好的长方形纸片，按图6-15（P142）的方法对折两次，并沿（3）中的斜线剪开，展开剪下的部分，猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？为什么？

剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即知为菱形．

结论：菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（板书）

(三)、交流互动，探求新知

1、已知：如图，在ABCD中，BD⊥AC，O为垂足。

求证：ABCD是菱形

启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）。

∵BD⊥AC，

∴AD＝CD

∴ABCD是菱形（菱形的定义）。

结论：菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？

启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。

结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

3、例2：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F ，求证：四边形AFCE是菱形。

1

启发：已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？

——说明是平行四边形

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥FC（矩形的定义）

∴∠1＝∠2

又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO

∴△AOE≌△COF

∴EO＝FO

∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

又∵EF⊥AC

∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

(四)、应用新知，巩固练习

1、课本“课内练习”

2、思考题：如图，△ABC中，∠A=90°, ∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，

H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。

A

B C

D

E

F

H

(五)、课堂小结，布置作业

1、本节的主要内容是：

菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：1）．一组邻边相等的平行四边形．

2）．四条边相等的四边形．

3）.对角线互相垂直的平行四边形．

4）.对角线互相垂直平分的四边形

2、想一想：说明平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系．

3、作业：作业本（2）

6.3 正方形

【教学目标】

1、掌握正方形的概念

2、经历探索正方形有关性质和判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系

3、掌握正方形的性质

4、掌握正方形的判定

5、进一步加深对特殊与一般的认识

【教学重点、难点】

重点：正方形的性质与判定．

难点：正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系．

【教学过程】

一、情景引入

出示一块方巾，它是什么几何图形？(正方形)

中国人对正方形有特殊的感情，如“坦荡方正”，“天圆地方”等词语，还有许多实物都是正方形的形状（教师可以多媒体演示），今天我们就来研究正方形

板书课题：6.3 正方形

二、探索新知

这块方巾是否也可以说是平行四边形？矩形？菱形？

与一般的平行四边形相比，它有何特殊性？

与一般的矩形相比，它有何特殊性？

与一般的菱形相比，它又有何特殊性？

根据以上知识，你能完成课本P145的图6-19吗？根据图6-19，你有何发现？

三、 梳理新知

结合学生的发现与图6-19，师生共同归纳出以下几点： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质 性质：四个角都是直角，四条边相等

对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

判定：一组邻边相等的矩形是正方形

有一个角是直角的菱形是正方形

四、 巩固新知

课本做一做

五、 实践应用

(1)、给你一块矩形纸条，如何把它变成正方形纸条？ (2)、完成课本节前图

(3)、请你用最快的速度画一个正方形，然后想一想，你所选择的画法是否经得起推敲？比一比，你周围的同学是否有比你更好的方法？教师等待学生互相交流后，请学生代表发言 六、 理论提升

例题：已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是∠ACB 的平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 求证：四边形CFDE 是正方形 证明：∵DE ⊥BC ，DF ⊥AC

∴∠DEC=∠DFC=900 ∵∠ACB=900 ∴四边形CFDE 是矩形(为什么？)

C A

D

B

F

E

∵CD是∠ACB的平分线

∴∠ACD=∠BCD

∴DE=DF

∴四边形CFDE是正方形(为什么？)

七、小结

(1)这节课我的收获是什么？

(2)我最感兴趣的是什么？

(3)我想进一步研究的问题是什么？