(完整版)矩阵的概念教案.doc
9.1矩阵的概念
一、新课引入：
分析二元一次方程组的求解过程，探讨研究矩阵的有关知识：步骤方程组矩形数表
1 2 3 4 x 2 y5, 3x y8.
二、新课讲授
1、矩阵的概念
（ 1）矩阵：我们把上述矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
（ 2）系数矩阵和增广矩阵：矩阵 1 2 叫方程组的系数矩阵，它是 2 行 2
3 1
列的矩阵，可记作 A2 2 。矩阵1
2
5
叫方程组的增广矩阵它是 2 行 3 3 1 8
列的矩阵，可记作 A2 3 。
（3）方矩阵：把行数与列数相等的矩阵叫方矩阵，简称为方阵。上述矩阵是2 阶方矩阵，
（ 3）方阵1
0 叫单位矩阵。
0 1
（5）行向量和列向量： 1 行 2 列的矩阵（ 1，－ 2）、（ 3 ， 1）叫系数矩阵的两
个行向量，2 行 1 列的矩阵 1 、
2 叫系数矩阵的两个列向量。
3 1
2、概念巩固
1、二元一次方程组2x 3y 1 的增广矩阵为
，它是行
3x 4 y 5
列的矩阵，可记作，这个矩阵的两个行向量为；
2、二元一次方程组3x 5y
6 的系数矩阵为，它是方阵，
3y 4x 7
这个矩阵有个元素；
x z 6 0
3、三元一次方程组3x y 7 0 的增广矩阵为，
2 y 2z 1
3 0
这个矩阵的列向量有；
4、若方矩阵A2 2是单位矩阵，则A2 2 =；
2 1 1
，写出对应的方程5、关于 x,y 的二元一次方程组的增广矩阵为
3 7
4
组；
2 1 0 1
6、关于 x,y,z 的三元一次方程组的增广矩阵为0 2 5 2 ，其对应的
0 1 2 8
方程组为
3、矩阵的变换
讨论总结：类比二元一次方程组求解的变化过程，方程组相应的增广矩阵的行发
生着怎样的变换呢？变换有规则吗？请讨论后说出你的看法。
矩阵的变换：（1）互换矩阵的两行
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数
（3）某一行乘以一个数加到另一行
4、例题举隅
例 1、用矩阵变换的方法解二元一次方程组：5x 2y10, 2x 5y8;
例 2、《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二值金十两，牛二羊五值金八两 . 问每头牛羊各值金几何？
总结：用矩阵变换的方法解线性方程组的一般步骤：
（1）写出方程组的增广矩阵
（2）对增广矩阵进行行变换，把系数矩阵变为单位矩阵
（3）写出方程组的解（增广矩阵最后一列）
5、巩固练习
课后练习9.1 （ 1）
三、课堂小结
1.矩阵的相关概念
2.相等的矩阵
3.矩阵的变换
4.用矩阵变换的方法解线性方程组的一般步骤
四、作业布置
同步练习9.1A B
苏教版高中数学高二选修4-2 矩阵乘法的概念
选修4－2矩阵与变换 2.3.1 矩阵乘法的概念 编写人： 编号：008 学习目标 1、 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。 2、 理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表 示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样?举例说明。 归纳1：矩阵乘法法则: 归纳2：矩阵乘法的几何意义： （二）初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。 练习 、.?? ??????????10110110=（ ） A 、???? ??1110 B 、??????1011 C 、? ? ? ???0111 D 、??????0110 、已知矩阵X 、M 、N,若M =?? ? ???--1111, N =??????--3322，则下列X 中不满足:XM=N ,的一个 是（ ） A 、X =???? ??--2120 B 、X =??????--1211 C 、X =??????--3031 D 、X =? ? ? ???-3053
二、课堂训练： 例1．（1）已知A= 11 22 11 22 ?? ? ? ? ? ?? ，B= 11 22 11 22 ?? - ? ? ? - ? ?? ,计算AB （2）已知A= 10 02 ?? ? ?? ，B= 14 23 ?? ? - ?? ，计算AB,BA (3)已知A= 10 00 ?? ? ?? ，B= 10 01 ?? ? ?? ，C= 10 02 ?? ? ?? 计算AB,AC 例2、已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转0 90 (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M (2)求点A,B,C,D在 M T作用下所得到的结果 (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。
同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第09课时 逆矩阵的概念
第09课时 逆矩阵的概念 一、要点讲解 1．二阶逆矩阵的概念： 2．逆矩阵的求法： 二、知识梳理 1．对于二阶矩阵，若有______________________，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．在六种变换中，__________变换一定不存在逆矩阵． 3．一般地，对于二阶可逆矩阵(0)a b A ad bc d c =-≠?????? ，它的逆矩阵为1A -=________________． 4．若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1=____________． 5．已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB = AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则___________． 三、例题讲解 例1． 对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换(先T A 后 T B )的结果与恒等变换的结果相同？ (1)以x 为反射轴的反射变换； (2)绕原点逆时针旋转60o作旋转变换； (3)横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； (4)沿y 轴方向，向x 轴作投影变换； (5)纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x + 2y ，y ）． 例2． 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请求出逆矩阵；若不存在， 请说明理由． (1)0110??????=A ； (2)11210??????????=B ； (3)0110??-????=C ； (4)1010?????? =D ； 例3． 求矩阵3221??? ???=A 的逆矩阵． 四、巩固练习 1. 已知矩阵122301,,231210??????? ?????--??????===B C A ，求满足AXB = C 的矩阵X ．
矩阵论课程教学大纲
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论 课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课 考核方式：考试 开课专业：工科各专业 开课学期：1 总学时：36学时 总学分： 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求） 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段（含现代化教学手段） 本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使
42矩阵教案
§2.1.1矩阵的概念 教学目标： 知识与技能：1.掌握矩阵的概念以及基本组成的含义(行、列、元素) 2.掌握零矩阵、行矩阵、列矩阵、矩阵相等的概念. 3.尝试将矩阵与生活中的问题联系起来, 用矩阵表示丰富的问题, 体会矩阵的现实意义. 过程与方法： 从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组 情感、态度与价值观： 体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想 教学重点：矩阵的概念以及基本组成的含义 教学难点：矩阵的概念以及基本组成的含义 教学过程： 一、问题情境: 设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP → (2, 3)，将OP →的坐标排成一列，并简记为???? ?? 2 3 2 （1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下： （2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示： A B C D E 28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．图——矩阵 2 3 2 3 ???? ??80 90 86 88
二、建构数学 矩阵： 记号：A ，B ，C ，…或（a ij ） (其中i,j 分别元素a ij 所在的行和列) 要素：行——列——元素 矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。 特别：（1）2×1矩阵，2× 2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵 （2）零矩阵 （3）行矩阵：[a 11,a 12] 列矩阵：???? ?? a 11 a 21 ，一般用，等表示。 （4）行向量与列向量 三、教学运用 例1、用矩阵表示图中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) . 思考: 如果用矩阵M=00??? 12 3 2 40? ?? 表示平面中的图形, 那么该图形有什么几何特征? 例2、某种水果的产地为A 1 , A 2 , 销地为B 1 , B 2 , 请用矩阵表示产地A i 运到销 地B j 的水果数量(a ij ), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 . 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 A B C 0 3 1 3 0 0 1 0 2
苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时 矩阵的概念
第01课时 矩阵的概念 一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等： 二、知识梳理 1．在数学中，将形如13?????? ，80908688??????，23324m ????-??这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵． 2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵． 3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________． 4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ． 三、例题讲解 例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)． 例2． 设31,422x y A B z ????==????--???? ，若A = B ，求x ，y ，z ． 例3． 已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式． 四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形，并求该三角形的面积．
高等代数张禾瑞版教案第章矩阵
第五章矩阵教学目的： 1.掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。 2.了解几种特殊矩阵的性质。 教学内容： 5.1矩阵的运算 1矩阵相等 我们将在一个数域上来讨论。令F是一个数域。用F的元素a ij作成的一个m行n列矩阵 叫做 （a ij 一个 F (a+b)A=Aa+Ba； a(bA)=(ab)A； 这里A,B和C表示任意m*n矩阵，而a和b表示F中的任意数。 利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法： A—B=A+（—B）。 于是有 A+B=C?A=C—B。 由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。 4乘法
定义3数域F 上的m*n 矩阵A=(a ij )与n*p 矩阵B=(b ij )的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。这个矩阵的第I 行第j 列（I=1,2,…，m;j=1,2,…p ）的元素c ij 等于A 的第I 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和： c ij =a i1b 1j +a i2b 2j+…+a in b nj 。 注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。 我们看一个例子: =??? ? ???-+?+-?-?-+?+??+?-+-?-?+?-+?0)2(11)3(3)5()2(2113001)1()3(2)5(02)1(12 =???? ??--81570. 5 矩阵乘法的运算规律： B np 和B nm A nn 那么u il 因此(1)l (2)111l k k ===由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律. 我们知道,数1乘任何数a 仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质. 我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n 阶正距阵 1 0 0 01 0 ………… 001 叫做n 阶单位距阵，记作I n ,有时简记作I. I n 显然有以下性质： I n A np =A np ;A mn I n =A mn . 距阵的乘法和加法满足分配律：
矩阵乘法的概念
矩阵乘法的概念 The latest revision on November 22, 2020
2006-2007后塍高中高二下学期数学教案（矩阵乘法的概念） 命题人：瞿蕴雅 教学目标： 1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。 2．理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换的角度来看,它表示的是原来两个矩阵的连续两次变换。 教学重点： 矩阵乘法的概念。 教学过程： 一、问题情境 问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样 二、建构数学 1.矩阵乘法法则: 2.矩阵乘法的几何意义： 3．初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。 三、数学应用 1．例题 例1:（1）已知A= 11 22 11 22 ?? ? ? ? ? ?? ，B= 11 22 11 22 ?? - ? ? ? - ? ?? ,计算AB （2）已知A= 10 02 ?? ? ?? ，B= 14 23 ?? ? - ?? ，计算AB,BA (3)已知A= 10 00 ?? ? ?? ，B= 10 01 ?? ? ?? ，C= 10 02 ?? ? ?? 计算AB,AC 例2:已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转0 90 (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M
(2)求点A,B,C,D在 M T作用下所得到的结果 (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。 例3: 已知A= cos sin sin cos αα αα - ?? ? ?? ，B= cos sin sin cos ββ ββ - ?? ? ?? ，试求AB,并对其几何意 义给予解释。 2．课堂练习 P46 1,2 四、回顾小结 1. 二阶矩阵乘法运算法则 2. 二阶矩阵乘法的几何意义 五、课外作业 同步导学
矩阵及其运算教学要求理解矩阵的定义掌握矩阵的基本律
§1 矩阵及其运算 教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。 知识要点： 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组 成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标 都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或 表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全 为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵 ，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵
的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： 。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上） 三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是 一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，而用 或者表示数域上的阶方阵构成的集合。 二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比 如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即）， 的元素为和对应元素的和，即：。 给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们可以定义同型矩阵 的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律： （ 1）交换律：； （ 2）结合律：； （ 3）存在零元：；
矩阵的概念及其线性运算
第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ???? ?? ? ??=100010001 E n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y …… 表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算 目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算 重点矩阵的运算 难点矩阵的乘法 §2.1矩阵 前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性： 1. 系数行列式 ； 2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。 接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。 一、矩阵的概念 矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等 例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示 表 1 产地销地调配情况表 销地 产地 B1 B2 B3 B4 A1 1 6 3 5 A2 3 1 2 0 A3 4 0 1 2
那么，表中的数据可以构成一个矩形数表： 在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。 定义2.1 由 个数 排成的 行 列数表 （2.1） 称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵。这 个数称为矩阵的元素，其中
称为矩阵的第 行第 列元素.（2.1）式也简记为 或 . 有时 矩阵A也记作 . 注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵. 2.当 时，称 矩阵为长方阵（长得像长方形）； 3.当 时，称矩阵为 阶方阵（长得像正方形），简称方阵； 4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵. 如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即
矩阵理论教学大纲
《矩阵理论》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：矩阵理论 英文名称：Matrix Theory 课程编号：2411249 开课专业：大学本科数学与应用数学专业 开课学期：第5学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 本课程是数学专业的选修考查课，是学习经典数学的基础，又是一门最具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各种科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。特别是计算机的广泛应用，为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景。例如，系统工程、优化方法以及稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切的联系，从而使矩阵理论近几年在内容上有相当大的更新。 3．本课程的教学目的和任务 通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学、计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。 通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维和逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学的实际背景，培养学生应用数学知识解决实际工程技
术问题的能力。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 本课程以高等代数为先导课，通过学习线性空间和线性变换、矩阵范数、矩阵分解、特征值估计和扰动、矩阵分析、广义逆矩阵以及特殊矩阵，学生能够掌握矩阵理论的基本内容，为进一步学习数学并应用打下基础。 教材是高等教育出版社出版的黄廷祝、钟守铭、李正良编写的《矩阵理论》和清华大学出版社出版的黄廷祝、杨传胜等编写的《矩阵理论学习指导》。《矩阵理论》是编者部分参考国内外较有代表性的文献资料，并结合多年研究工作的总结，在长期教学实践的基础上编写而成的。把矩阵方法和线性变换方法、向量空间法结合起来，把代数和几何方法结合起来，把代数方面的结构与测度论方面的结构结合起来。内容包括线性代数基础、向量与矩阵的范数、矩阵分解、特征值的估计与摄动、矩阵分析、广义逆矩阵、非负矩阵理论。既可作为理工科硕士研究生、高年级本科生的教材，也可作为教师和工程技术人员的参考书。《矩阵理论学习指导》对矩阵理论的基本概念、主要结论等作了简明扼要的分类总结，针对每章主要内容给出了典型例题分析，并对各章的课后习题作了详细的解答，最后提供了6套复习题及相应解答以便学生自测参考。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书
选修4-2矩阵与变换教案
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ①OP → = →的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ???? ?? 2 3 ③ 概念一： 象?????? 2 3 80908688?????? 23324m ?? ??-?? 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：???? ?? a 11 a 21 （仅有一列） — 2 — 3 — ???? ??80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??
⑤向量a → ＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ??????，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ?????? 的形式。 练习1： 1.已知??????-=243x A ,? ? ? ???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++?? =??--?? ，若A=B ，求x,y,m,n 的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ?? ????称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000?? ?? ?? ，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001?? ???? ，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法 定义：规定二阶矩阵A=a b c d ??????，与向量x y α→??=???? 的乘积为ax by A cx dy α→+??=??+??，即A α→＝a b c d ??????x y ??????＝ax by cx dy +?? ?? +?? 练习2： 1.（1）?? ? ??????? ??-131021＝
矩阵行列式教案
9.3（1）二阶行列式 一、教学内容分析 行列式是引入新的记号后的一种特定算式，是学习矩阵后的一个延续．二阶行列式的展开是本节教学内容的基础，用二阶行列式求解二元一次方程组或讨论它的解的情况是本节教学内容的核心． 二、教学目标设计 1.了解行列式产生的背景； 2.经历引入二阶行列式的过程； 3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征． 三、教学重点及难点 二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组． 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、介绍背景 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出
现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念． 德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“b a ”、比“a :b ”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了． [说明]教师、学生课前收集有关资料，在授新课前（由学生或老师）作简单介绍，这是数学文化的一种渗透． 二、学习新课 1．二阶行列式的引入 设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）．当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有 唯一解：??? ? ??? --=--=1221122 112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a 21b b 表示算式1221b a b a -，即 2 1a a 2 1b b 1221b a b a -=．
(完整版)矩阵的概念教案
9.1 矩阵的概念 一、新课引入： 分析二元一次方程组的求解过程，探讨研究矩阵的有关知识： 二、新课讲授 1、矩阵的概念 （1）矩阵：我们把上述矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。 （2）系数矩阵和增广矩阵：矩阵???? ??-13 21 叫方程组的系数矩阵，它是2行2列的矩阵，可记作22?A 。矩阵??? ? ??-81 3 521 叫方程组的增广矩阵它是2行3列的矩阵，可记作32?A 。 （3）方矩阵：把行数与列数相等的矩阵叫方矩阵，简称为方阵。上述矩阵是2阶方矩阵， （3）方阵??? ? ??10 01 叫单位矩阵。 （5）行向量和列向量：1行2列的矩阵（1，－2）、（3 ，1）叫系数矩阵的两
个行向量，2行1列的矩阵???? ??31、??? ? ??-12叫系数矩阵的两个列向量。 2、概念巩固 1、二元一次方程组???=-=+5431 32y x y x 的增广矩阵为 ，它是 行 列的矩阵，可记作 ，这个矩阵的两个行向量为 ； 2、二元一次方程组???+=-=+7436 53x y y x 的系数矩阵为 ，它是 方阵， 这个矩阵有 个元素； 3、三元一次方程组?? ? ??=-+=--=-+0132207306z y y x z x 的增广矩阵为 ， 这个矩阵的列向量有 ； 4、若方矩阵22?A 是单位矩阵，则22?A = ； 5、关于x,y 的二元一次方程组的增广矩阵为??? ? ??-73 4 112 ，写出对应的方程组 ； 6、关于x,y,z 的三元一次方程组的增广矩阵为??? ? ? ? ?--82 1 02520 1012，其对应的方程组为 3、矩阵的变换 讨论总结：类比二元一次方程组求解的变化过程，方程组相应的增广矩阵的行发生着怎样的变换呢？变换有规则吗？请讨论后说出你的看法。
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9.1矩阵的概念 一、新课引入： 分析二元一次方程组的求解过程，探讨研究矩阵的有关知识：步骤方程组矩形数表 1 2 3 4 x 2 y5, 3x y8. 二、新课讲授 1、矩阵的概念 （ 1）矩阵：我们把上述矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。 （ 2）系数矩阵和增广矩阵：矩阵 1 2 叫方程组的系数矩阵，它是 2 行 2 3 1 列的矩阵，可记作 A2 2 。矩阵1 2 5 叫方程组的增广矩阵它是 2 行 3 3 1 8 列的矩阵，可记作 A2 3 。 （3）方矩阵：把行数与列数相等的矩阵叫方矩阵，简称为方阵。上述矩阵是2 阶方矩阵， （ 3）方阵1 0 叫单位矩阵。 0 1 （5）行向量和列向量： 1 行 2 列的矩阵（ 1，－ 2）、（ 3 ， 1）叫系数矩阵的两
个行向量，2 行 1 列的矩阵 1 、 2 叫系数矩阵的两个列向量。 3 1 2、概念巩固 1、二元一次方程组2x 3y 1 的增广矩阵为 ，它是行 3x 4 y 5 列的矩阵，可记作，这个矩阵的两个行向量为； 2、二元一次方程组3x 5y 6 的系数矩阵为，它是方阵， 3y 4x 7 这个矩阵有个元素； x z 6 0 3、三元一次方程组3x y 7 0 的增广矩阵为， 2 y 2z 1 3 0 这个矩阵的列向量有； 4、若方矩阵A2 2是单位矩阵，则A2 2 =； 2 1 1 ，写出对应的方程5、关于 x,y 的二元一次方程组的增广矩阵为 3 7 4 组； 2 1 0 1 6、关于 x,y,z 的三元一次方程组的增广矩阵为0 2 5 2 ，其对应的 0 1 2 8 方程组为 3、矩阵的变换 讨论总结：类比二元一次方程组求解的变化过程，方程组相应的增广矩阵的行发 生着怎样的变换呢？变换有规则吗？请讨论后说出你的看法。
矩阵教学设计
矩阵复习课教学设计 江苏省海州高级中学申磊 一、教学内容分析 《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修4-2）》（苏教版）。本节课程不是大学教材中矩阵内容的简单下放，而是通过平面图形的几何变换来讲解常见的简单二阶矩阵，把矩阵作为一个研究平面图形变换的基本工具，作为广泛意义上的一种“代数”来学习和介绍。 二、设计思想 《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。 三、教学目标 通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，矩阵的简单应用。 四、教学重点和难点 重点：通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想； 难点：切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。 五、教学过程设计 【课堂准备】 1．选题：由教师根据本章教学目标及重难点选择适当的题目制成导学案，印刷成导学案并提前一天发给学生； 2．做题：提前一天每位同学独立完成导学案，然后学习小组内部根据各自的做题情况展开讨论； 3．精彩展示：课前教师把任务分配到各个小组，由组长确定每人的具体任务，上台来展示； 4．点评：最后又其他组的成员给出点评，不足之处再有教师补充。 【教学过程】 1．出示课题：教师简明叙述本章内容及重难点 2．交流、分享：（由教师主持。小组推荐发言人；以下记录均为发言概述） 基础训练（学生在原位回答问题，回答问题方式：本题考查点是什么，答案是什么，怎么做？教师点评）
（1） 学生1：函数小史计算：（1）????????????121011 （2）?? ????-??????120110 （2）教师点评：掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则是解题的关键 （3）学生2： 曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是__________，变换对应的矩阵是_________. （4）教师带头鼓掌并简单评价 （5）学生3：已知A=??????1220,B=?? ????--2301则AB=___________,BA=___________ （6）教师带头鼓掌并简单评价 （7）学生4： 设矩阵12122M ?-???=?????? 的逆矩阵是1a b M c d -??=????，则a c +的值为 （8）教师带头鼓掌并简单评价 （9）学生5：已知200,0202x y x A B y x y +????==????---???? ，若A=B ，求x ，y. （10）教师点评：两个矩阵相等的充要条件是它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等. （11）学生6：已知变换?? ????-+=??????''→??????y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式. （12）教师点评：一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：??????y x →??????''y x =????? ?++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为 T ：??????y x →??????''y x =??????d c b a ?? ????y x 的矩阵形式. 能力测试（学生上黑板展示，再有其他组同学给予点评） （13）学生7：已知在矩阵M 的作用下点A （1，2）变成了点A ′（11，5），点B （3，-1）变成了点B ′（5，1），点C （x ，0）变成了点C ′（y ，2），求（1）矩阵M ；求（2）x 、y 值. （14）学生8点评：求变换矩阵通常用待定系数法． （15）学生9：求关于直线y=3x 的反射变换对应的矩阵A ． （16）学生10点评：一般地若过原点的直线m 的倾斜角为α，则关于直线m 的反射变换矩阵为： A=?? ????-αααα2cos 2sin 2sin 2cos
《选修4-2矩阵与变换》教案
人教A 版《选修4-2矩阵与变换》教案 第一讲 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ①OP → = →的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ???? ?? 2 3 ③ 概念一： 象??????2 3 80908688?? ???? 23324m ????-?? 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：???? ?? a 11 a 21 （仅有一列） ⑤向量a → ＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ?? ???? ，在本书中规定所有的平 面向量均写成列向量x y ?? ???? 的形式。 练习1： 1.已知??????-=243x A ,?? ? ???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++?? =??--?? ，若A=B ，求x,y,m,n 的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ?? ? ???称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000?? ???? ，记为0。 — 2 — 3 — ???? ??80 90 86 88 23324x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??
线性代数教案 第二章 矩阵及其运算
1 2 m m mn a a a 矩阵。为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。记做 12m m mn a a a ? ?12 m m mn a a a a ??? 。切记不允许使用11 12121 22 212 n n m m mn a a a a a a a a a = A 。 矩阵的横向称行，纵向称列。矩阵中的每个数称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。本课中的矩阵除特殊说明外，都指12n n nn a a a ?? 不是方阵没有主对角线。在方阵中，
00nn a ?? 1121 2212000n n nn a a a a a a ?????? （主对角线以上均为零）1122 00000 0nn a a a ????? ???? （既}nn a . 对角元素为1的对角矩阵，记作Ｅ 或001???? ()11a ，此时矩阵退化为一个数矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。 a x +)1(+?n 矩阵： 12 m m mn m a b a a a b ?? 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方
1 22 m m m mn mn b a b a b ? +++? ? ? ? ???-=4012B ，计算 B A +。 122 m m m mn mn b a b a b ? ---? 与矩阵n m ij a A ?=}{的乘积（称之为数乘），
12 m m mn a a a λλ?? 以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：