小学数学人教版五年下册奇数与偶数问题练习大全

奇数和偶数

一、奇数和偶数的性质

（一）两个整数和的奇偶性。

奇数＋奇数＝（），奇数＋偶数＝（），偶数＋偶数＝（）

一般的，奇数个奇数的和是( )，偶数个奇数的和是( )，任意个偶数的和为( )。

（二）两个整数差的奇偶性。

奇数－奇数＝（），奇数－偶数＝（），

偶数－偶数＝（），偶数－奇数＝（）。

（三）两个整数积的奇偶性。

奇数*奇数＝（），奇数*偶数＝（），偶数*偶数＝（）

一般的，在整数连乘当中，只要有一个因数是偶数，那么其积必为（）；如果所有因数都是奇数，那么其积必为（）。

（四）两个整数商的奇偶性。

在能整除的情况下，偶数除以奇数得（），偶数除以偶数可能得( )，也可能得( )，奇数不能被偶数整除。

(五)如果两个整数的和或差是偶数，那么这两个整数或者都是( ),或者都是( ).

(六)两个整数之和与两个整数之差有相同的奇偶性，即A+B、A-B奇偶性相同(A、B为整数)。

(七)相邻两个整数之和为( )，相邻两个整数之积为( )。

(八)奇数的平方被除余1，偶数的平方是4的倍数。

(九)如果一个整数有奇数个约数，那么这个数一定是完全平方数(1,4，

9,16,25……是完全平方数)。如果一个数有偶数个约数，那么这个数一定不是完全平方数。

奇数与偶数练习题

一．填空题

1. 1+2+3+4+5+……+49+50的结果（）。（填偶数或奇数）

2. 有一列数1,1,2,4,7,13,24,44,81，……，从第4个数开始，每个数都是它

前边三个数之和，那么第100个数是（）。（填偶数或奇数）

3．某自然数分别与两个相邻自然数相乘，所得积相差100，某数是( ).

4. 三个相邻偶数的积是四位数***8，这三个相邻偶数是（）。

5. 每张方桌上放有12个盘子，每张圆桌上放有13个盘子。若共有盘子109

个，则圆桌有（）张,方桌有（）张。

小明看过后，说统计员肯定统计错了，你的看法是（）.

1）在由自然数组成的自然数列的前100个数中，即从1到100中，共有（）个奇数，共有（）个偶数。

2）算式11+12+13+14+……+89+90的得数的奇偶性为（）。

3）一群同学进行投篮球比赛，投进一球得5分，投不进得1分，每人都投进10次，这些同学得分总和的奇偶性为（）

4）有一列数，它们的排列顺序是：前两个数为4、5，从第三个数起，每个数都是它前面两个数的和。这列数前1000个数（含第1000）中偶数有（）个。

5）每张方桌上放有12个盘子，每张圆桌上放有13个盘子。若共有盘子109个，则圆有（）张，方桌有（）张。

6）1+2×3+4×5+6×7+……+100×101的和的奇偶性为（）。

二．选择题

1）从3开始，根据后一数是前一数加上3，接连写出2000个数，排成一行：3,6,9，12,15,18,21……，在列数中第1997个、第1998个数的奇偶性为( )。

A 奇数、偶数 B奇数、奇数C 偶数、偶数 D偶数、奇数

2)已知三个数a,b,c的和是奇数，并且a-b=3，那么a,b,c的奇偶性适合( )

A三个都是奇数要 B两个奇数一个偶数

C一个奇数两个偶数 D 三个都是偶数

3)某数学竞赛，共20道题，评分标准是每道题答对给3分，不答给1分，答错扣1分。则参加竞赛学生总得分的奇偶性为( )。

A奇数 B偶数

C 不能确定，与参赛学生数的奇偶性有关。

D不能确定，与参赛学生答对题数的奇偶性有关。

4)若5×3×a×9×b是奇数，则整数a,b的奇偶性适合( )。

A a奇b偶

B a奇b奇

C a偶b偶

D a偶b奇

5)若a+b+c=奇数，a×b×c=偶数，则a,b,c的奇偶性适合( )。

A 三个都是奇数

B 两个奇数一个偶数

C一个奇数两个偶数D 三个都是偶数。

6)若a,b,c是任意给定的三个整数，那么乘积(a+b)(b+c)(c+a)的奇偶性为( )

A 奇数

B 偶数

C 不能确定，取决于a,b,c的奇偶性。

D不能确定，取决于a,b,c的具体数值。

7)已知a,b,c中有一个是1997，一个是1998，一个是1999，试判断

(a-1)(b-2)(c-3)的奇偶性( )

A 奇数

B 偶数

C 不能确定，取决于a,b,c的奇偶性。

D不能确定，取决于a,b,c的具体数值。

７.如果用n表示一个自然数，那么n(n+1)是（）。

（Ａ）奇数（Ｂ）偶数

（Ｃ）奇数或偶数（Ｄ）由ｎ定奇偶

８.有５个连续奇数，第１个与第４个的和为２８，那么这５个数中最小的与最大的各是（）

（Ａ）１１与１９（Ｂ）１３与２１

（Ｃ）９与１７（Ｄ）１５与２３

9.已知三个整数a、b、c的和是奇数，并且a-b=3，那么a、b、c的奇偶性为（）。

（A）三个都是奇数（B）两个奇数一个偶数

（C）一个奇数两个偶数（D）三个都是偶数

10. 有四个不相同的正整数，它们中任意两个的和是2的倍数，任意三个数的

积是3的倍数，为了使这四个数的和尽可能的小，这四个数分别是（）（A）1,3,5,9 （B）3,9,15,21

（C）1,3,7,9 （D）3,6,9,12

三、简答题

11. 计算前100个正整数中所有奇数的和与所有偶数的和。

12. 从3,15,9,7,21,1,5,11,7中挑出7个数，使它们的和为50.能不能做到？

说说你是怎么想的。

13. 用1,2,3,4,5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。问乘积中

是偶数多还是奇数多？

14. 在黑板上写3个整数，然后擦去一个换成其他两数之和或者差，这样继续

操作下去，最后得到64,78,142.问：原来写的三个整数能否为1,3,5？

15 如图是一所房间的示意图，数字表示房间号码，第一个房间与隔壁房间有门相通。小灵通想从1号房间出发，不重复地走遍这九个房间，又回到1号房

16 有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张下面写着7。你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20，为什么？

17 能否将自然数1,2，3,4，5,6，7,8，9分别填入右图的方格中，使得每个横行中的三个数之和是偶数？

18 在自然数中计算：

前2个奇数的和：1+3=

前3个奇数的和：1+3+5=

前4个奇数的和：1+3+5+7=

前5个奇数的和：1+3+5+7+9=

观察下面的计算，寻找规律加以总结，并回答下列问题：

(1)自然数中，按奇数的顺序，前n个奇数的和是多少？

(2)第n个奇数是多少？

并利用上面的规律计算：

前2004个奇数的和是：1+3+5+7+。。。。。。

第2004个奇数是多少？

前2004个偶数的和是多少？

因数与倍数应用题

1、学生参加跳绳比赛，进行分组。按每组6人或每组8人，都能恰好分成几组，参加跳绳比赛的至少有多少人？

2、把45厘米、30厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？

3、一块瓷砖长12厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面，这个正方形地面的边长至少是多少厘米？面积是多少？

4、某幼儿园大班有35人，中班有40人，小班有45人。按班分组三个班的每组人数一样多，问每组最多有多少个小朋友？

5、甲乙两数的最大公因数是10，最小公倍数是60，如果甲数是20，乙数是多少？

6、甲乙两数的积是200，甲乙两数的最小公倍数是40，最大公因数是多少？

7、用51多红花和34朵白花做成花束，如果每束里的红花朵数相同，白花朵数也相同，最多可以做成多少束？每束花里最少有多少朵？

8、甲服装店每8天进一次货，乙服装店每10天进一次货，两个商店同一天进货后，过多少天两个服装店再次同一天进货？

9、五年级同学分组参加植树，每6人一组或8个一组都没有剩余，已知该班的人数在30人和50人之间，该班有学生多少人？

10、公路的一侧有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离都是30米，现在要把相邻两根电线杆之间的距离都改为45米，如果第一根电线杆不移动，那么下一根不必移动的电线杆是第几根？（提示：画图来考虑）

11、长方形砖长42厘米，宽是28厘米，用这样的砖铺成一块正方形的地，至少需要多少块砖？

12、用48朵红花和36朵白花做花束，如果每个花束里的红花与白花的朵数相等，每个花束里最多有几朵花？

13、五一班有40人，五二班有32人，两个班学生分组参加一项活动，要求各班每组的人数相同，并且不能有剩余的学生，每组最多有多少人？这时两个班共分成多少组？

14、一个数除以4余2，除以5余3，这个最少是多少？

15、王老师把50本数学本和40本语文本平均分给第一小组的同学，结果数学本剩下2本，语文本剩下4本，第一小组最多有几名同学？

16、一个数除以4余2，除以5余2，除以6余2，写出三个这样的数。

17、有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？

18、一个长方形的长和宽都是自然数，面积是36平方米，这样的形状不同的长方形共有多少种？

19、一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？

20、有一个长80厘米，宽60厘米，高115厘米的长方体储冰容器，往里面装入大小相同的立方体冰块，这个容器最少能装多少数量冰块？

21、已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人。将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人。这个学校六年级学生多少？

22、有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是360。他们中年龄最大是多少岁？

23、汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，1小时共发了几辆汽车？其中有几辆中巴车？

24、一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长是多少？被剪成几块？

25、①既能整除18，又能整除30的数，最大是多少？

②能被18和30同时整除的数，最小的是多少？

③一个数既是6的倍数，同时又是8和9的倍数，这个数最小是多少？

26、①甲、乙两数的积是375，甲乙两数的最大公约数是5，甲乙两数的最小公倍数是多少？

②甲乙两数的最大公约数是8，最小公倍数是48，甲数是24，乙数是多少？

27、①一张长方形纸，长18厘米，宽12厘米，要把它分成大小相同的正方形，不能有剩余，这个正方形的边长最大是多少厘米？

②一些大小相等的长方形纸片，每张长18厘米，宽12厘米,要把它们摆成一个正方形，正方形的边长至少是多少厘米？

28、①用4、6和8分别除一个自然数，都余1，这个自然数小是多少？

②用一个自然数分别除57和73，都余1，这个自然数最大是多少？

29、小明、小强和小兰轮流到特殊学校去帮助残疾儿童。小明每隔4天去一次，小强每隔5天去一次，小兰每隔6天去一次。他们在六一儿童节这一天一起到特殊学校表演节目，经过多少天他们又同时到学校帮助孩子们？这一天是几月几号？

30、用2520个棱长是1厘米的小正方体堆成一个长方体，它的高是12厘米，长和宽都大于高。它的长和宽各是多少厘米？

31、①用3、5、7分别除一个数，结果都余2，这个数至少是多少？

②一个数，用3除少1，用5除少3，用7除少5。这个自然数最小是多少？③一个数，被3除余2，被4除余3，被5除余4。这个数最小是多少？

32、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6

个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？

33、有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？

34、两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。

35、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

36、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

37、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

38、用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？

39、育红小学五（1）班同学参加义务劳动。男生25人，女生30人，把他们分成劳动小组。如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分成几组？每组有男生和女生各多少人？

40、五（1）班买来46本书、32枝笔，奖给各方面表现突出的同学。每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2枝笔。问最多有多少个同学得奖品？

41、一个长方体木块，长30cm,宽21cm，高18cm。把它切成大小相等的小正方体，不准有剩余，那么正方体小木块棱长最大是多少？能切成多少块？

42、把38个苹果和31个梨子分给若干个小朋友，若要使每个小朋友分得梨的个数相同，苹果个数也相同。结果苹果多2个，梨少1个，分到苹果和梨的小朋友最多是几个？每人分几个苹果和几个梨？

43、将一块长120m，宽80m的长方形土地划分成面积相等的正方形。正方形的面积最大是多少？

44、小丽想用105块大小相同的正方形积木拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？

45、某小学五年级同学在操场做操，每行16人或12人，正好是整行。已知五年级同学在140～160人之间。请问五年级一共有多少人？

46、一个两位数减去12后，即是8的倍数，又是9的倍数。这个数最小是多少？

47、同学们参加劳动。9人一组则多6人，8人一组则多5人，参加劳动的同学至少有多少人？

48、有一车饮料，如果3箱一数，还剩1箱；如果5箱一数，也剩1箱；如果7箱一数，也剩1箱。这车饮料至少有多少箱？

49、两个质数的最小公倍数是77，这两个质数的和是多少？

50、马路旁栽一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米植一棵，现小树长大，改为每隔5米植一棵。如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？

七奇数与偶数(A)

年级班姓名得分

一、填空题

1. 2，4，6，8，……是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是______.

2.有两个质数,它们的和是小于100的奇数,并且是17的倍数.这两个质数是_____.

3.100个自然数,它们的和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么,这些数里至多有_____个偶数.

4.右图是一张靶纸,靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得了27分.

已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_____.

5.一只电动老鼠从右上图的A点出发,沿格线奔跑,并且每到一个格点不是向左转就是向右转.当这只电动老鼠又回到A点时,甲说它共转了81次弯,乙说它共转了82次弯.如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？

A

6.一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不计分.考试结束后,小明共得23分.他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数.请你帮助小明计算一下,他答错了_____道题.

7.有一批文章共15篇,各篇文章的页数分别是1页、2页、3页……14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有_____篇.

8.一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是1133,这本书有_____页,撕掉的是第_____页和第_____页.

9.有8只盒子,每只盒内放有同一种笔.8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍,钢笔支数是铅笔支数的3

1,只有一只盒里放的水彩笔.这盒水彩笔共有_____支.

10.某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给6支，二等奖每人发给3支，三等奖每人发给2支，后来改为一等将每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.那么获二等奖的有_____人.

二、解答题

11．如下图，从0点起每隔3米种一棵树.如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）.试说明理由.

12.小地球仪上赤道大圆与过南北极的某大圆相交于A 、B 两点.有黑、白二蚁从A 点同时出发分别沿着这两个大圆爬行.黑蚁爬赤道大圆一周要10秒钟,白蚁爬过南北极的大圆一周要8秒钟.问:在10分钟内黑、白二蚁在B 点相遇几次？为什么？

13．如右图所示，一个圆周上有9个位置，依次编为1~9号.现在有一个小球在1号位置上,第一天顺时针前进10个位置,第二天逆时针前进14个位置.以

3 6 9 12 15 18 21 24

后,第奇数天与第一天相同,顺时针前进10个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前进14个位置.问:至少经过多少天,小球又回到1号位置.

14.在右图中的每个

(可以相同),使得任意两个相邻的

(大数减小数),恰好等于它们之间所标的数字.能否办到?为什么?

————————————答 案—————————————————

1. 60

这五个连续偶数的第三个(即中间的那一个)偶数是320 5=64.所以，最小的偶数是60.

2. 2,83

因为两个质数的和是奇数,所以必有一个是2.小于100的17的奇数倍有17,51和85三个,17,51与2的差都不是质数,所以另一个质数是85-2=83.

3. 48

由于100个自然数的和是10000,即100个自然数中必须有偶数个奇数,又由于奇数比偶数多,因此偶数最多只有48个.

4. 甲

由于分数都是奇数,6个奇数之和为偶数,不可能是奇数27,所以说假话的是甲.

5. 甲

因为老鼠遇到格点必须转弯,所以经过多少格点就转了多少次弯.如右图所示,老鼠从黑点出发,到达任何一个黑点都是转奇数次弯,所以甲正确.

6. 3

小明做错的题的数目一定是奇数个,若是做错1个,则应做对12个才会得12?2-1=23分,这样小明共做13个题,未做的题的个数7不是偶数；若是做错3个，则应做对13个才能得13?2-3=23分，这样未答的题是4个，恰为偶数个.此外小明不可能做错5个或5个以上的题.故他做错的题有3个.

7. 11

根据奇数+偶数=奇数的性质,先编排偶数页的文章(2页,4页,…，14页)，这样共有7篇文章的第一页都是奇数页码.

然后,编排奇数页的文章(1页,3页,…，15页)，根据奇数+奇数=偶数的性质，这样编排，就又有4篇文章的第一页都是奇数页码.

所以,每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是7+4=11(篇).

8. 48,21,22

设这本书的页码是从1到n 的自然数,正确的和应该是

1+2+…+n =n 2

1( n +1) 由题意可知，n 21( n +1)>1133 由估算，当n =48时，n 21( n +1)=2

1?48?49=1176，1176-1133=43.根据书页的页码编排,被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21+22.所以,这本书有48页,被撕的一张是第21页和第22页.

9. 49

依题意知,若钢笔为1份,则圆珠笔为2份,铅笔为3份,也就是说,这三种笔的总支数一定是6的倍数,即能同时被2和3整除.又因为8只盒子中有3只盒子装的笔的支数是偶数,5只盒子装的笔的支数是奇数,根据偶数+奇数=奇数,可知装有铅笔、圆珠笔、钢笔的7只盒子一定有3只盒子里装有偶数支笔，4支盒子里面装有奇数支笔，装有水彩笔的盒子一定装有奇数支笔.把8只盒子所装笔支数的数字分别加起来:

1+7+2+3+3+3+3+6+3+8+4+2+4+9+5+1=64

因为64-(4+9)=51正好能被3整除,所以装有水彩笔的盒子共装有49支.

10. 3

首先根据“后来改为一等奖每人发13支”，可以确定获一等奖的人数不大于3.否则仅一等奖就要发不小于39支铅笔,已超过35支,这是不可能的.其次分别考虑获一等奖有2人或者1人的情况:

当获一等奖有2人时,那么按原计划发二、三等奖的铅笔数应该是

35-6?2=23，按改变后发二、三等奖的铅笔数应该是35-13?2=9.因为23是奇数,按原计划发三等奖每人2支铅笔,则发三等奖的铅笔总数必为偶数,所以发二等奖的铅笔总数只能是奇数,于是获二等奖的人数也必是奇数.又根据改变后“二等奖每人发4支”，可以确定获二等奖的人数仅1人（否则仅二等奖就要发超过9支铅笔了），经检验，这是不可能的，这就是说，获一等奖不会是2人.

当获一等奖有1人时,那么按原计划发二、三等奖的铅笔数应是35-6=29，按改变后发二、三等奖的铅笔数应是35-13=22.因为29仍是奇数,类似前种情况的讨论,可以确定获二等奖的人数必定是奇数.又根据改变后“二等奖每人发4支”，且总数不超过22支，我们能够推知二等奖人数不会超过5，经检验，只有获二等奖是3人才符合题目要求.

11.相距最远的两块木牌的距离,等于它们分别与中间一块木牌的距离之和.如果三块木牌间两两距离都是奇数,就会出现“奇+奇=奇”，这显然不成立，所以必有两块木牌的距离是偶数.

12.相遇0次.(黑、白二蚁永不能在B点相遇)

黑蚁爬半圆需要5秒钟，白蚁爬半圆需要4秒钟，黑、白二蚁同时从A点出发，要在B点相遇，必须满足两个条件：①黑、白二蚁爬行时间相同，②在此时间内二蚁爬行奇数个半圆.但黑蚁爬行奇数个半圆要用奇数秒(5?奇数),白蚁爬行奇数个半圆要用偶数秒(4?奇数),奇数与偶数不能相等.所以黑、白二蚁永远不能在B点相遇.

13.顺时针前进10个位置,相当于顺时针前进1个位置；逆时针前进14个位置，相当于顺时针前进18-14=4（个）位置.所以原题相当于:顺时针每天1个位置,4个位置交替前进,直到前进的位置个数是9的倍数为止.

偶数天依次前进的位置个数:

5,10,15,20,25,30,35,40，……

1，6，11，16，21，2636 ，41，……

第15天前进36个位置，36天是9的倍数，所以第15天又回到1号位置。

14. 不能.

如果能,中的数是奇数(见下图),由

奇数±奇数=偶数；

偶数±偶数=偶数；

奇数±偶数=奇数，

中又应是偶数，矛盾.

中是偶数时,同理可证.

偶

第3讲奇偶分析

我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。

例1 下表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？

分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。 例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000？ 解：不能。

由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。

说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。

例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。

解：不能。

如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为

1+2+…+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。

例4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。

解：不可能。

如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数之和为奇数，那么五条线上的红圈共有奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。

说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出矛盾的。

例5 有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，…，20厘米3水。允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）。问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11厘米3的水？

解：不可能。

在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）来表示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数，奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中条件限制下，在倒水后，（偶，偶）

仍为（偶，偶）；而（偶，奇）会成为（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）却成为（偶，偶）。在任何情况下，盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。

因为开始时有10个容器里盛有奇数立方厘米的水，所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。

例6 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？

分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等，也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。

说明：解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。

类似的问题是：

围棋盘上有19×19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上？

提示：仿例6。答：不能。

例7 某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？

解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165分，是奇数。如答错一题，就要从165分中减去6分，不管错几道，6的倍数都是偶数，165减去偶数，差还是奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去4分，并且不管有几道题不答，4的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数之和仍为奇数，故99名同学得分总和一定是奇数。

例8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。

分析与解：当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：

可见，三种水果的奇偶情况共有8种可能，所以必须最少分成9堆，才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。

说明：这里把分堆后三种水果的奇偶情况一一列举出来，使问题一目了然。

例9 有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成？

解：当币值为偶数时，可以用若干枚2分硬币组成；

当币值为奇数时，除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成，所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。

说明：将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一讨论，是解决整数问题的常用方法。

若偶数用2k表示，奇数用2k+1表示，则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下：

当币值为偶数时，2k说明可用若干枚2分硬币表示；

当币值为奇数时，

2k+1=2（k-2）+5，

其中k≥2。当k=0，1时，2k+1=1，3。1分和3分硬币不能由2分和5分硬币组成，而其他币值均可由2分和5分硬币组成。

例10 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？

解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由于

999=7×142+5，

因此，灯A，B，C，D，E各被拉动143次开关，灯F，G各被拉动142次开关。所以，当小华拉动999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。

例11 桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76枚，第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚。按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。

分析：对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。这一事实，对我们解决这个问题起着关键性作用。

解：按规定的翻动，共翻动1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到

77×39=77+（76+1）+（75+2）+…+（39+38），

根据规定，可以设计如下的翻动方法：

第1次翻动77枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第2次与第77次共翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第3次与第76次，第4次与第75次……第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次。这样每枚硬币都翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上。

说明：（1）此题也可从简单情形入手（如9枚硬币的情形），按规定的翻法翻动硬币，从中获得启发。

（2）对有关正、反，开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。

例12 在8×8的棋盘的左下角放有9枚棋子，组成一个3×3的正方形（如左下图）。规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格，即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动，可以横跳、竖跳或沿着斜线跳（如右下图的1号棋子可以跳到2，3，4号位置）。问：这些棋子能否跳到棋盘的右上角（另一个3×3的正方形）？

解：自左下角起，每一个方格可以用一组数（行标、列标）来表示，（自下而上）第i行、（自左而右）第j列的方格记为（i，j）。问题的关键是考虑9枚棋子（所在方格）的列标的和S。

一方面，每跳一次，S增加0或偶数，因而S的奇偶性不变。另一方面，右上角9个方格的列标的和比左下角9个方格的列标之和大

3×（6+7+8）-3×（1+2+3）=45，

这是一个奇数。

综合以上两方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那个3×3的正方形里。

奇偶分析作为一种分析问题、处理问题的方法，在数学中有广泛的应用，是处理存在性问题的有力工具，本讲所举例题大多属于这类问题。这种方法具有很强的技巧性，尤其是选择什么量进行奇偶分析往往是很困难的。选准了，只须依据奇偶数的性质，分析这个量的奇偶特征，问题便迎刃而解；选不好，事倍功半。同学们应认真领会本讲所举例题，以把握选择合适的量进行奇偶分析的技巧。