物体的平衡

第三讲 物体的平衡

3.1力和力矩

3.1.1力学中常见的几种力

重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下。重力实际上是地球对物体引力的一个分力，另一个分力提供提供物体随地球自转所需的向心力。 重心：G gz m z G gy m y G gx m x G r g m r i i c i i c i i c i i c ∑=∑=∑=∑=

弹力 物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量（伸长量或缩短量）成正比。F kx =-，k 为劲度系数，x 为形变量。

摩擦力 摩擦力分为滑动摩擦力和静摩擦力两种，当一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，方向沿接触面的切线且与相对运动或相对运动趋势相反。滑动摩擦力的大小由公式f N μ=计算，动摩擦因数μ是由接触面的情况和材料决定。

3.1.2力矩和力偶矩

力矩 力与力臂（转动轴到力的作用线之间的距离）的乘积称为力矩，记为M Fd =，它是使物体绕轴转动状态发生改变的原因，单位为N m ?。

力偶与力偶矩 作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的一对力偶。力偶对物体只有转动作用，其转动作用的大小由力偶矩来度量。力偶矩的大小等于力与力偶臂的乘积，力偶臂等于两个平行力的作用线之间的距离。

θsin F r M F r M ?=?=

3.2物体平衡的条件

3.2.1共点力的平衡：0=∑i F

3.2.2定轴转动物体的平衡：0=∑i M

3.2.3一般物体的平衡：0=∑i F 0=∑i M

推论1：若刚体在共面力系作用下处于平衡状态，在力平面中有不共面的三点A 、B 、C ，

则刚体平衡条件为：0=∑A i M ）（ 0=∑B i M ）（ 0=∑C i M ）（

推论2：若一个物体在三个不共点力的作用下处于平衡状态（转动、平动都平衡），则这三个力必汇交于同一点（三力汇交原理）。

例1：一桁架由11根等长的轻质刚性杆组成，A ，B ……G 均由铰链连接（杆只能受沿杆方向上的弹力），如图所示。现将A 点刚性固定，G 点只在竖直方向支撑住。一重为G 的物体挂在E 处，求A 、G 杆的竖直支撑力和CD 杆的拉伸或压缩力？（P374）

例2：半径为R 的光滑半球形碗，固定于水平桌面上，一根长为L 的光滑匀质棒，一端在碗内，一端在碗外，斜靠在碗缘。求平衡时棒与水平面的夹角θ。（P371）

3.3摩擦角及摩擦自锁现象

1.3.1 全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称为全反力，有时叫全约束反力，一般

用 R 表示

3.3.2 摩擦角：

（1）摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称为摩擦角，一般用m ? 表示，摩擦角是判断物体平衡临界状态最常用的一种方法。

（2）摩擦锥：以m ?2为顶角的圆锥叫做摩擦锥，摩擦锥是摩擦角的三维表现。

（3）摩擦平衡定理：

i 在含摩擦的平衡问题中，摩擦面的全约束反力 R 的作用线一定位于摩擦锥内

ii 在含摩擦的平衡问题中，平衡的充要条件是主动力作用线在摩擦锥内且方向指向接触点

3.3.3 摩擦自锁：

如果主动力作用线落在摩擦锥内且方向指向接触点，则无论主动力有多大，都不能使物体运 动，这种现象叫做摩擦自锁。

例3、在水平杆MN 上套上两小环A 、B ，一长为l 的不可伸长的细线两端分别系在环A 、B 上，并在细线中点挂一质量为M 的物块C 。设A 、B 环与杆间的静摩擦系数为μ。

（1）若不计小环的质量，求A 、B 间的最大距离？

（2）若两小环的质量均为m ，求A 、B 间的最大距离？（p383）

3.4平衡的种类

物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。

平动平衡的稳定性处在平衡状态的质点，当受到扰动时，会稍稍偏离平衡位置。这时会产生合外力。当平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，如果这物体在所受各力作用下将回到平衡位置，这种平衡叫稳定平衡；如果这物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡；如果这物体所受合外力仍为零，且能在新位置继续保持平衡状态，这种平衡就叫随遇平衡。例如，位于光滑碗底的质点处于稳定平衡状态；位于光滑圆球顶端的质点处于不稳定平衡状态，位于光滑水平面上的质点处于随遇平衡状态。

一个质点可以在一个方向处于某种平衡状态，而在另一个方向处于另一种平衡状态。例如，一个质点位于内壁光滑的水平直管底部，对于平行于管轴方向的扰动，处于随遇平衡，对于垂直于管轴方向的扰动，则处于稳定平衡状态。

显然，对于受共点力作用但不能看成质点的物体的平衡可同样讨论。这一类属平动平衡。

转动平衡的稳定性相对固定轴可以转动的物体处于平衡时，若受到外界扰动而偏离平衡位置，产生合外力矩。如果合外力矩是一个回复力矩，即此合外力矩有把物体拉回原平衡位置的倾向，那么称原物体的平衡处于稳定的转动平衡状态。同样，可给出不稳定转动平衡状态和随遇转动平衡状态的定义。

无固定转轴物体平衡的稳定性对于无固定转轴物体，当它受到外界扰动而偏离平衡位置时，会产生合外力和合外力矩。如果合外力是平动回复力，合外力矩是转动回复力矩，那么会有被拉回到平衡位置的倾向，则原物体的平衡位置处的平衡是稳定的。同样，可给出不稳定平衡和随遇平衡的定义。而且，物体可以在平动方面处于一种平衡状态，而在转动方面处于另一种平衡状态；对于同一种平动平衡状态，可以在一个方向上处于一种平衡状态，在另一个方向上处于另一种平衡状态。

判断平衡种类的方法：力矩比较法、受力分析法、重心升降法等。

例4、一块厚度为h 的匀质长方形物块，静止地放在半径为R 的半圆柱顶面上，设摩擦系数足够大，长方形物块不发生滑动。求此时，静止位置为稳定平衡的条件。当角度θ很小时，

有关系：θθθθ≈-≈sin ,211cos 2（p388）

练习1、 质量为 10kg 的物体挂在三根不同长度但同样弹性的绳子上.三根绳的各悬点在一条直线上，中间绳是竖直的，其余两根绳子与它均成 60°角，绳的形变符合胡克定律，求三根绳的拉力。

练习2、质量为m 的物体静止于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面间的滑动摩擦系数为μ（μ>tan θ）。试问在下列两种情况下，要使物体匀速滑动，至少需要多大的外力以及外力的方向：（1）向下滑动；（2）向上滑动。

练习3、一个半径为R 的4

1光滑圆柱面固定在水平面上。柱面上置一线密度为λ的光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端A ，另一端恰好B 恰好与地面接触（与地面无作用力），试求铁链的重心位置和A 端所受的拉力大小。

R A B

练习4、如图所示，质量均为m 的n(n>3)个相同匀质圆柱体一次搁置在倾角为θ=30°的斜面上，并用铅垂设置的长为l 的挡板挡住。挡板用铰链连于O 点，若已知圆柱体的半径为R ，各圆柱与斜面和挡板之间的摩擦系数均为μ=

3

1，且不计各圆柱之间的摩擦，试求能维持系统平衡的最大水平力P 。（P377）

练习5、质量为M 长为2L 的均匀梯子，一端靠在竖直光滑墙壁上。另一端置于水平地面上，静摩擦系数为μ。一个质量为m 的人沿梯子缓慢往上爬至距梯子底端l 处，为使梯子不滑动，梯子应如何放置？（P403）