分式典型练习题

分式知识点和典型习题

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

1、下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1

,

,,21,22π，是分式的有： .

2、下列分式中，最简分式有（ ）

32222

2222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b

-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：

2b a -，x x 3+，π

y +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1

y x m -中，是分式的共有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

4

4

+-x x （2）

2

32+x x （3）

1

22-x （4）

3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）3

1

+-x x （2）

4

2||2--x x （3）

6

53222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x

-84

为正；

（2）当x 为何值时，分式2

)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2+-x x 为非负数.

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M A M B M A B A ÷÷=??=

2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

13132

21+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

（3）b a b

a 10

141534.0-+

题型二：分数的系数变号

2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y

x y

x --+- （2）b

a a ---

（3）b

a ---

题型三：考查分式的性质 1、若分式

x

y

x +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的9

1

2、若分式xy

y x 2

2+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ）

A 、不变

B 、是原来的3倍

C 、是原来的31

D 、是原来的9

1

题型三：化简求值题 1、已知：511=+

y x ，求

y

xy x y

xy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.

3、已知：21=-x

x ，求221

x

x +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值.

5、已知与互为相反数，代数式的值。

6、若0106222=+-++b b a a ，求

b

a b

a 532+-的值. 7、如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

1、将下列各式分别通分. （1）

c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--；

（3）2

2,

21,

1

2

2

2

--+--x x x

x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分 1、约分： （1）3

22016xy y x -； （2）n m m n --2

2； （3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算 1、计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-?-；

（2）2

2233)()()3(x

y x y y x y x a +-÷-?+；

（3）

m

n m

n m n m n n m ---+-+22；

（4）11

2

---a a a ；

(5）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ； （6）)12()2

1444(222+-?--+--x x

x x x x x

题型四：化简求值题 1、先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]1

21()144[(4

8

122x x x x -÷-+--的值；

（2）已知：4

32

z y x ==，求

2

2232z y x xz yz xy ++-+的值；

题型五：求待定字母的值 例、若

1

11

312-+

+=

--x N

x M x x ，试求N M ,的值.

（四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算 计算：（1）3132)()(---?bc a

（2）2322123)5()3(z xy z y x ---?

（3）24

2

53])

()

()()([

b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x

（5）20082007024)25.0()31(|3

1|)5

1()5

13

1

(?-+-+-÷?--

题型二：化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.

题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）223)102.8()103(--???；（2）3223)102()104(--?÷?.

（五）、分式中的变形求值

1、变形代入：

①若2=+a b b a ，则

b

a b

a 22-+的值为_______。

②已知1111x y

x y

+-=-+，则2(3)(3)x y x +++的值为_______。

③已知0=++c b a ，且0≠abc ，求2

222222221

11c

b a b

c a a c b -++-++-+的值为__________。

2、整体代入： ①若

2

2237y y ++的值为1

4

，则21461y y +-的值为___________。 ②已知

b

a b a +=

-311，则a b

b a -的值为_______。 变式：已知b a b a +=

+5

11，则a

b b a +的值为_______。

③已知115x y -=，则323x xy y

x xy y

--+-的值为的值为 。

已知31

211=-y x ，则x

xy y y xy x ---+32432的值为 。 已知532232=---+y xy x y xy x ，则y x 1

1-的值为______________。

3、x

x 1

±

型的变形： ①若13x x

+=，则242

1x x x =++__________。变式1：若51=--x x ，则=+-2

x x __________。

4、设比值： ①若234

234

a b c +++==

，且18a b c ++=，则2a b c -+=__________。

②若a c c b b a ==，则=--++c

b a

c b a 3223 。

5、消元思想：

①已知0634=--z y x ，072=-+z y x （0≠xyz ），则2

222

2275632z y x z y x ++++=_____________。

②如果11=+b a ，11=+c b ，则=+a

c 1

________。

6、裂项： ①若5=+xy y x ，6=+yz z y ，7=+xz

z

x ，则z y x 111++的值为________。

7、取倒：

①若11

32=+-x x x

，则=+-192

4

2x x x ______________。 ②已知31=+b a ab ，41=+c b bc ，51=+c a ac ，则bc

ac ab abc ++=_____________。

第二讲 分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程 1、解下列分式方程

（1）

x

x 311=-； （2）

0132=--x x ； （3）11

4112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535

提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.

题型二：特殊方法解分式方程

2、解下列方程

3、解下列方程组 （1）

4441=+++x x x x ； （2）5

6

9108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设

y x x =+1；（2）裂项法，6

1

167++=++x x x .

题型三：求待定字母的值 例、若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围.

??????

???=

+=

+=+)

3(4111)2(311

1)1(211

1x z

z y

y x

题型五：解分式方程 1．解下列方程： （1）021211=-++-x

x

x x ； （2）

3

4

23-=--x x x ； （3）1

7137222

2--+

=--

+x x x x x

x （4）

22

3

22=--+x x x ； （5）

2

1

23524245--+=--x x x x （6）

4

1

215111++

+=+++x x x x

（二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：