人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则

【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c

a a a a

±±=≠

2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da

a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠;

3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd

a d a c ac

÷=?=

４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a

m

●

a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m

= ａm

b ｎ

, （a m

)

ｎ

= a

ｍn

7.负指数幂: a

-p

=

1p

a a 0

=1

8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式

(ａ+b ）(a-b ）= a

2

- b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2

（一)、分式定义及有关题型

题型一:考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1

,

,,21,2

2

π，是分式的有： ．

题型二:考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

(1)

44+-x x ?(2)2

32+x x

(3）

1

22-x （4）

3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3

1+-x x

(2)

4

2

||2--x x ?（3)653

222----x x x x

题型四:考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1)当x 为何值时，分式

x

-84

为正； （２)当x 为何值时,分式2

)1(35-+-x x 为负；

(３）当x 为何值时,分式

3

2

+-x x 为非负数. 练习:

1．当x 取何值时,下列分式有意义：

（1)

3

||61

-x

(2）

1

)1(32++-x x ??（3)

x

111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

(1）4

|1|5+--x x

(2)

5

6252

2+--x x x

3．解下列不等式 (１）

01

2

||≤+-x x （2)

03

252

>+++x x x

(二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质:

M

B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数．

(1)y x y

x 4

1313221+- (2)

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二:分数的系数变号

【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y x y

x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a ---

题型三:化简求值题

【例3】已知：

511=+y x ,求

y

xy x y

xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出

y

x 1

1+．

【例4】已知：21=-

x x ,求221x

x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ,求

y

x 241

-的值.

练习:

１.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

(１）y

x y x 5.008.02.003.0+-? (2）

b a b

a 10

141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1

242

++x x x 的值. 3．已知：

31

1=-b

a ,求a a

b b b ab a ---+232的值．

4．若0106222=+-++b b a a ,求b

a b

a 532+-的值.

５.如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---．

(三)分式的运算

1.确定最简公分母的方法:

①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

２．确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （１)c

b a

c a b ab c 225,

3,2--; （2)a b b b a a 22,--; (3)

2

2

,

21,

1

222--+--x x x x x

x x ; （4)a

a -+21

,

2 题型二:约分

【例2】约分: (1）

3

22016xy y x -;（3)n m m n --2

2;（3）6

222---+x x x x .

题型三:分式的混合运算

【例３】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-?-;? ?

（２）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-?+; (3)m

n m n m n m n n m ---+-+22；??

(４）11

2

---a a a ;

（5)8

7

4321814121111x x x x x x x x +-

+-+-+--； （６))5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ; (7))12()214

44

(222+-?--+--x x

x x x x x

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（１)已知：1-=x ，求分子)]1

21()144[(4

8

122x x x x -÷-+--的值；

(2）已知:432z y x ==,求22232z

y x xz

yz xy ++-+的值; （3）已知:0132=+-a a ，试求)1

)(1

(22a a a

a --的值. 题型五：求待定字母的值

【例5】若1

11

312-+

+=

--x N

x M x x ，试求N M ,的值. 练习：

1．计算

（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ;???（2）a

b ab

b b a a ---

-222； (3)b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232;? （4）b

a b b a ++-2

2;

(5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-；? （6)2

12

1111x x x ++++-； （7)

)

2)(1(1

)3)(1(2)3)(2(1--+

-----x x x x x x . 2.先化简后求值

（1)1

1

12421222-÷+--?+-a a a a a a ,其中a 满足02=-a a ．

(2)已知3:2:=y x ,求2322])()[()(

y

x

x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值. 3.已知：

1

21)12)(1(45--

-=---x B

x A x x x ，试求A 、B 的值. 4.当a 为何整数时，代数式

2

805

399++a a 的值是整数,并求出这个整数值．

（四)整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1)3132)()(---?bc a ? ?（2)2322123)5()3(z xy z y x ---?

（3)24

2

53])

()

()()([

b a b a b a b a +--+--

?

（4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x

题型二：化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求(1）22-+x x 的值;（２）求44-+x x 的值． 题型三:科学记数法的计算

【例3】计算:(1）223)102.8()103(--???；(2)3223)102()104(--?÷?. 练习：

1．计算:（1）20082007024)25.0()31(|3

1|)5

1()5

13

1

(?-+-+-÷?-- (２)322231)()3(-----?n m n m

（３)2

3232222)()3()()2(--??ab b a b a ab

（4）

2

1222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x

2．已知0152=+-x x ,求(1）1-+x x ,（２）22-+x x 的值.

第二讲 分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母．

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

题型一:用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程 (1）

x x 311=-；(2)0132=--x x ;(３)11

4112=---+x x x ；(4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.

题型二：特殊方法解分式方程

【例２】解下列方程 (1）

4441=+++x x x x ； （2)5

6

9108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示:(1)换元法,设

y x x =+1;(2）裂项法，6

1

167++=++x x x . 【例3】解下列方程组 ??????

???=+=+=+)

3(4

111)2(3111)1(21

11x z z y y x 题型三:求待定字母的值

【例４】若关于x 的分式方程3

132--=-x m

x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围． 提示:03

2>-=

a

x 且2≠x ,2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程

【例６】解关于x 的方程

)0(≠+=--d c d

c

x b a x 提示:（1）d c b a ,,,是已知数；（２）0≠+d c . 题型五:列分式方程解应用题

练习： 1．解下列方程: (1)

021211=-++-x

x

x x ;? （2）3

4

23-=--x x x ; (3)

22

3

22=--+x x x ; ?（4）

1

71372

22

2

--+

=--

+x x x

x x

x

（5）2

1

23524245--+=--x x x x ?(6)

4

1

215111+++=+++x x x x （7）

6

8

11792--+-+=--+-x x x x x x x x 2.解关于x 的方程: （1)

b

x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x b b x a a ≠+=+.

３.如果解关于x 的方程

2

22-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时,关于x 的方程1)

2)(1(23++-=++x x k

x x 的解为非负数. ５．已知关于x 的分式方程

a x a =++1

1

2无解,试求a 的值． (二)分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程,可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程:

2

31+=x x 二、化归法

例2．解方程：

01

2112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程：

871

78=----x

x x 四、分子对等法

例4．解方程:

)(11b a x

b b x a a ≠+=+

五、观察比较法

例5．解方程:

4

17

425254=-+-x x x x

六、分离常数法

例6．解方程:

87

329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法

例７．解方程:4

1

315121+++=+++x x x x

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1.若分式方程

x

m

x x -=--221无解,求m 的值。 例2．若关于x 的方程1

1122+=

-+-x x

x k x x 不会产生增根,求k 的值。 例３．若关于x 分式方程4

3

2212

-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4.若关于x 的方程1

151221--=

+-+

-x k x

x k x

x 有增根1=x ，求k 的值。