分式大全(知识点典型例题中考题练习题)
分 式
一、知识要点
1．分式的有关概念
设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子
B
A
就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义。分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简。 概念分析：①必须形如“
B
A
”的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制； ③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母．．。． 练习：下列式子：b a 23-，
1
12
++x x ，3b a +，x 7
，()b a +÷6中，分式的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
④分式是两个整式的商．其中分子是被除式，分母是除式．在这里分数线可理解为除号，还含有括号的作用．
⑤分母中字母所取的值有可能使分母为零．因为分式的分母相当于整式除法的除式，所以分母如果是零，则分式没有意义．因此，分式有意义的条件是：分母的值不能是零．
练习：当x___________时，分式43x x --有意义；当x=_____________时，分式||9
9x x -+的值等于零．当x ____时，分式4
2
2--x x 无意义
⑥分式的值为0：对于B
A
来说，0=A 且0≠B 练习：若分式
1
4
2+-x x 的值为0，求x 的值
2、分式的基本性质
,M B M A B A ??= M
B M
A B A ÷÷=
（M 为不等于零的整式） 分式的值为正数：???>>00B A 或???<<00B A ；分式的值为负数：???<>00B A 或?
??><00
B A 练习：若分式9
32
2-+a a 的值为正数，求a 的取值范围
3．分式的运算
(分式的运算法则与分数的运算法则类似)．
bd
bc
ad d c b a ±=
± (异分母相加，先通分)； ;;bc
ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?
.)(n n
n b
a b a =
4．零指数 )0(10
≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1
为正整数p a a a
p
p
≠=
- 注意正整数幂的运算性质 n
n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(,
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数．
二、典型例题
例1、解下列方程：
（1）
； （2）
．
分析 去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根.
小结： 1．解分式方程的思想是转化为整式方程．其一般方法是方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母；
2．所得结果是否为原方程的解，需要检验．
例2、解方程：
（1）
； （2）
．
因为任何有理数与0相乘，积都不可能是1，所以此方程无解，即原方程也无解． 使分母为零，分式无意义．所以2不是原方程的根，原方程无根．
小结： 1．把分式方程转化成整式方程后，整式方程可能有解，可能无解．如（1）题．若无解，则原分式方程必无解；既使整式方程有解，将解代到分式方程中去检验，也可能使分式方程无解．如（2）题．由此可见验根的重要性与必要性．
2．使分式方程无解的原因是整式方程的解使分式方程中的分母为零．显然增根的产生是由
于去分母引起的，因此检验的方法可简化成只将整式方程的代入最简公分母即可．
例3、为何值时，方程会产生增根？
分析：此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数，的取值决定着未知数的值，
故可用的代数式表示．结合增根产生是最简公分母时产生的，可建立新的方
程求解．
小结：利用待定系数法求解，将待定系数作为已知数，求出未知数（用代数式表示），由最
简公分母为零，求出未知数（增根）的值.，再建立新方程求解.
三、中考题
一．选择题（共15小题）
1．在式子、、、、、中，分式的个数有（）
3．（2010?荆州）若分式：的值为0，则（）
4．若分式的值是负数，则x的取值范围是（）
＜x＜2 ＞x≠＜x＜2或x＜﹣2
6．（2009?淄博）化简的结果为（）
7．把，，通分过程中，不正确的是（）
=
= =
8．分式：①，②，③，④中，最简分式有（）
与的最简公分母为6x2
与的最简公分母为3ab2c
与的最简公分母为ab（x﹣y）（y﹣x）
与的简公分母为ab（m2﹣n2）
10．（2012?河北）化简的结果是（）
11．（2012?安徽）化简的结果是（）
12．（2011?威海）计算1÷的结果是（）
13．若a+b+c=0，则a（）+b（）+c（）的值为（）
14．（2011?鄂州）计算的正确结果是（）
15．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千
千米
千米
千米
16．（2011?杭州）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=_________. 17．（2010?枣庄）若的值为零，则x的值是_________．
18．已知﹣=3，则分式的值为_________．
19．已知且y≠0，则=_________．
20．（2010?中山）化简：=_________．
21．不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是_________．
22．分式的最简公分母是_________．
三．解答题（共8小题）
23．（2012?淮安）计算：（1）22﹣20120+（﹣6）÷3；（2）．
24．指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并求出正确的答案．
题目：当x为何值，分式有意义？
解：= ，
由x﹣2≠0，得x≠2．
所以当x≠2时，分式有意义．
25．（1）x取何值时，分式的值为零？无意义？
（2）当m等于什么时，分式的值为零．
26．（2012?济南）化简：÷．
27．（2010?襄阳）已知[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y=1，求﹣的值．
28．（2012?遵义）化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．
答案与评分标准
一．选择题（共15小题）
1．在式子、、、、、中，分式的个数有（）
解：、9x+这
时，
3．（2010?荆州）若分式：的值为0，则（）
4．若分式的值是负数，则x的取值范围是（）
＜x＜2 ＞x≠＜x＜2或x＜﹣2
解：∵分式的值是负数，
＜
或，
或
=，故
6．（2009?淄博）化简的结果为（）
解：
7．把，，通分过程中，不正确的是（）
=
==
=
=
8．分式：①，②，③，④中，最简分式有（）
②中
③中
与的最简公分母为6x2
与的最简公分母为3ab2c
与的最简公分母为ab（x﹣y）（y﹣x）与的简公分母为ab（m2﹣n2）
10．（2012?河北）化简的结果是（）
将分式
×
，
11．（2012?安徽）化简的结果是（）
解：﹣
12．（2011?威海）计算1÷的结果是（）
1÷=1×
13．若a+b+c=0，则a（）+b（）+c（）的值为（）
由于原式化简为++++=+，因为
++++
++
14．（2011?鄂州）计算的正确结果是（）
与（﹣）
15．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）
千米
千米
千米
（）=2÷
二．填空题（共7小题）
16．（2011?杭州）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a=6；当a＜6时，
使分式无意义的x的值共有2个．
17．（2010?枣庄）若的值为零，则x的值是﹣3．
，故若
18．已知﹣=3，则分式的值为．
的分子、分母同时除以
再把﹣
解：∵﹣=3
====故答案为．
本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把﹣
19．已知且y≠0，则=﹣．
解：由已知，
=﹣
故答案为﹣．
20．（2010?中山）化简：=x﹣y+1．
=
21．不改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
．
得，
约分得，．
22．分式的最简公分母是12x2y3．
三．解答题（共8小题）
23．（2010?西宁）计算：
（
24．（2012?淮安）计算：（1）22﹣20120+（﹣6）÷3；
（2）．
）?
?
25．指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并求出正确的答案．题目：当x为何值，分式有意义？
解：=，
由x﹣2≠0，得x≠2．所以当x≠2时，分式有意义．分式
26．（1）x取何值时，分式的值为零？无意义？
（2）当m等于什么时，分式的值为零．
，
27．（2012?济南）（1）解不等式3x﹣2≥4，并将解集在数轴上表示出来．（2）化简：÷．
）先将的分子和分母因式分解，再将除法转化为乘法进行解答．在数轴上表示为
=×
．
28．（2010?襄阳）已知[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y=1，求﹣的值．
﹣
﹣
﹣
﹣
．29．（2012?遵义）化简分式（﹣
）÷
，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为
合适的整数x 代入求值． =[
﹣
]×
×
，=．
五、实训
1、如果把分式x x y +中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）. )分式y x x +2
的值
2、如果分式 111a b a b
+=+，那么a b
b a +的值为（ ）.
（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2
3、已知：1a -1b =5，求3432a ab b a ab b
----的值．
4、已知x 2-3x+1=0,求44
1
x
x +的值.
5若x ＋1x =3,求2421
x x x ++的值.
6、若实数a 、b 满足：2a b
b a
+=，则2222
4a ab b a ab b ++++的值为_________ ．
7、已知：
23(1)(2)12
x A B
x x x x -=+-+-+，求A 、B 的值。
8、求方程
41
)
1(31122=+++++x x x x 的根。
9、若关于x 的方程011
1
=--+x ax 有增根，则a 的值为 。
10、分式方程01
11=+--+-x x x k x x 有增根1=x ，则k ＝ 。
《分式》典型例题分析
《分式》典型例题分析
《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4, 23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式： B A (A ，B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式 3 2 -x 有意义，则x__________ 2、 要使分式 ) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠2 3 - B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3 -或x ≠5 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21 a a + 4、分式 3 24 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 5 2++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式 x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式 ac b bc a ab c 3,2,2 --的最简公分母是 ；分式1 3x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12 --x x D. 11--x x
3、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 2 2 2) (y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。 （1）y x y x 3 22132 21-+； （2）b a b a -+2.05.03.0 2、把分式xy y x +中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的2 1 C. 不变 D. 缩小为原来的4 1 3、约分（1）4 3 22016xy y x -= ；（2）4 4422+--x x x = 4、通分（1）b a 21，2 1ab ； （2）y x -1，y x +1； （3）221y x -，xy x +21. 考点5、计算 1、(1)222222x b yz a z b xy a ÷= ；（2）49 3222--?+-x x x x = ；（3）43222)1.().()( ab a b b a --= (4) x x x x x x 36299622 2+-÷-+- （5）ab a b a a b a b a --+-2224. （6） 22212(1)441x x x x x x x -+÷+?++-
分式知识点总结和练习题讲义
分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）1 2 2-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2）4 2||2--x x （3）6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （2）当x 为何值时，分式32 +-x x 为非负数.
题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题 【例1】 已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值 【例2】 已知：21=-x x ，求2 21 x x +的值. 【例3】 若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 【例4】 已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.
最新中考数学《分式及分式方程》计算题(附答案)
中考《分式及分式方程》计算题、答案一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1． 5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：． 7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：． 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：．
（2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°；（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1 27．（2009?南昌）解方程：
29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：． 答案与评分标准 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：方程两边都乘以最简公分母y（y﹣1），得到关于y的一元一方程，然后求出方程的解，再把y的值代入最简公分母进行检验． 解答：解：方程两边都乘以y（y﹣1），得 2y2+y（y﹣1）=（y﹣1）（3y﹣1）， 2y2+y2﹣y=3y2﹣4y+1， 3y=1， 解得y=， 检验：当y=时，y（y﹣1）=×（﹣1）=﹣≠0， ∴y=是原方程的解， ∴原方程的解为y=． 点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣1），得 x（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）+2（x+3）， 整理，得5x+3=0， 解得x=﹣． 检验：把x=﹣代入（x+3）（x﹣1）≠0． ∴原方程的解为：x=﹣．
中考真题分式方程应用题专题
中考2010真题——分式方程应用题专题 1、(2010福建宁德课改,10分)我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福 （州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、（2010广东河池非课改，8分）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、（2010广西南宁课改，10分）南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率=污水处理量 污水排放量）． （1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数） （2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按 照国家要求“2010年省会城市的污水处理率不低于．．．70%” ，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的基础上至少．． 还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？ 4、（2010广西玉林课改，3分）甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、（2010河北课改，2分）炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小 区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、（2010吉林长春课改，5分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书 所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．
分式的乘除法典型例题
《分式的乘除法》典型例题 例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分 （1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除） （1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算 （1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分 （1）3286b ab ； （2）2 22322xy y x y x x --
例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ； （2）36 ) (4)(3a b b a a --； （3）22 2y y x -； （4）882122++++x x x x 例8 通分： （1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a
参考答案 例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除
人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则 【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： ． 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件
【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正； （２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义： （1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题 【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+．
完整版2018中考分式方程真题
分式方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 成都）分式方程=1的解是（）1．（2018? A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3 【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求 解． 解：=1【解答】， 去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得： （x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2）， 22﹣2x+x=x，﹣x﹣2x x=1， 经检验，x=1是原分式方程的解， 故选：A． 的分式方程解为x=4，则常数a的值为（2．（2018?株洲）关于x） A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=﹣ 1． 代入方程x=4，得【解答】解：把
，=0+ 解得a=10． 故选：D． 3．（2018?衡阳）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（） ﹣B=10A．．﹣=10 =10．=10 ﹣．DC+ 【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可． 【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，
﹣=10．根据题意列方程为： ．故选：A 第14页（共页） 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于ya使关于x的4．（2018?重庆）若数 =2的解为非负数，则符合条件的所有整数a方程的和为（） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之 和． 解：【解答】， 不等式组整理得：， ＜01，由不等式组有且只有四个整数解，得到≤ 解得：﹣2＜a≤2，即整数a=﹣1，0，1，2，
《分式》典型例题分析
《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4,23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式：B A (A ， B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式3 2-x 有意义，则x__________ 2、 要使分式) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3-或x ≠5 ? 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21a a + 4、分式324 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 52++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式ac b b c a ab c 3,2,2--的最简公分母是 ；分式13x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（ ） { A. 2 2 2)(y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
分式知识点及例题
分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00 B A 或? ??<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然
后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、 分式的加减法则：
解分式方程试题(中考经典计算)
解分式方程试题(中考经典计算)
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[键入文字] 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：．3．（2011?咸宁）解方程．4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1．5．（2011?威海）解方程：．6．（2011?潼南县）解分式方程：．7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：．10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：．12．（2011?宁夏）解方程：．13．（2011?茂名）解分式方程：．
14．（2011?昆明）解方程：． 15．（2011?菏泽）（1）解方程： （2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°；（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1
27．（2009?南昌）解方程： 28．（2009?南平）解方程： 29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：．
分式考点及典型例题分析(最全面)
分式考点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π xy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12 +x ≠0） 例1：当x 时，分式 51-x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式12+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5x x - 例7：使分式2+x x 有意义的x 的取值围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； 2. 分式方程 一、选择题 1. (2017·河南)解分式方程 1 x－1 －2＝ 3 1－x ，去分母，得 () A. 1－2(x－1)＝－3 B. 1－2(x－1)＝3 C. 1－2x－2＝－3 D. 1－2x＋2＝3 2. (2017·哈尔滨)方程 2 x＋3 ＝ 1 x－1 的解为() A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝－5 3. (2017·黔东南州)分式方程 3 x（x＋1） ＝1－ 3 x＋1 的根 为() A. －1或3 B. －1 C. 3 D. 1或－3 4. (2017·岳阳)解分式方程 2 x－1 － 2x x－1 ＝1，可知方程的 解为() A. x＝1 B. x＝3 C. x＝1 2 D. 无解 5. (2017·滨州)分式方程 x x－1 －1＝ 3 （x－1）（x＋2） 的 解为() A. x＝1 B. x＝－1 C. 无解 D. x＝－2 6. (2017·成都)已知x＝3是分式方程 kx x－1 － 2k－1 x＝2的 解，那么实数k的值为() A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. (2017·毕节)已知关于x的分式方程 7x x－1 ＋5＝ 2m－1 x－1 有增根，则m的值为() A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 8. (2017·聊城)如果解关于x的分式方程 m x－2 － 2x 2－x ＝1 时出现增根，那么m的值为() A. －2 B. 2 C. 4 D. －4 9. (2017·七台河)已知关于x的分式方程3x－a x－3 ＝ 1 3的解 是非负数，那么a的取值范围是() A. a>1 B. a≥1 C. a≥1且a≠9 D. a≤1 10. (导学号11744016)(2017·重庆)若实数a使关于x的 分式方程 2 x－1 ＋ a 1－x ＝4的解为正数，且使关于y的不等式 组 ? ? ?y＋2 3－ y 2>1， 2（y－a）≤0 的解集为y<－2，则符合条件的所有整数 a的和为() A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题 11. (2017·淮安)方程 2 x－1 ＝1的解是________． 12. (2017·宁波)分式方程 2x＋1 3－x ＝ 3 2的解是________． 13. (2017·常德)分式方程 2 x＋1＝ 4 x的解为________． 14. (2017·襄阳)分式方程 2 x－3 ＝ 3 x的解是________． 15. (2017·株洲)分式方程 4 x－ 1 x＋2 ＝0的解为________． 16. (2017·南京)方程 2 x＋2 － 1 x＝0的解是________． 17. (2017·威海)方程 3－x x－4 ＋ 1 4－x ＝1的解是________． 18. (2017·黄石)分式方程 x x－1 ＝ 3 2（x－1） －2的解为 ________． 19. (2017·绵阳)分式方程 2 x－1 － 1 x＋1 ＝ 1 1－x 的解是 ________． 20. (2017·六盘水)方程 2 x2－1 － 1 x－1 ＝1的解为x＝ ________. 21. (2017·泰安)已知分式 7 x－2 与 x 2－x 的和为4，则x的 值为________． 22. (2017·宿迁)若关于x的分式方程 m x－2 ＝ 1－x 2－x －3有 增根，则实数m的值是________． 中考数学历年各地市真题 分式(分式方程,分式应用题) （2010哈尔滨）1。 函数y ＝ 2 x 1x ++的自变量x 的取值范围是 ．x ≠-2 （2010哈尔滨）2。 方程x 3x x 5-+＝0的解是 ．-2 （2010哈尔滨）３．先化简，再求值21a 3a 1a +÷++其中a ＝2sin60°－3．3323a 2=+ （2010珠海）4为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍. 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 解：设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品，依题意得 105.112001200=-x x 解得:x=40 经检验：x=40是原方程的根，所以1.5x=60 答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品. （2010红河自治州）16. （本小题满分7分）先化简再求值：.2 5624322+-+-÷+-a a a a a 选一个使原代数式有意义的数带入求值. 解：原式=.2 5)3(2)2)(2(32+-+-+÷+-a a a a a a = .25)2)(2()3(232+--++?+-a a a a a a = 2 522+-+a a =23+-a 当即可）、的取值不唯一，只要时，（321-≠=a a a 原式=12 13-=+- （2010年镇江市）18．计算化简 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义. 3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二讲分式方程 【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程 解下列分式方程 （ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程 （1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1 题型三：求待定字母的值 （ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程 解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2 1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题 一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城 市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？ 二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车 的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3 分式及分式方程2010—2018济南市中考题汇总 学号： 姓名： 【2018年】 16．若代数式x －2x －4 的值是2，则x ＝_________； 【2017年】 6.化简a 2＋ab a －b ÷ab a －b 的结果是( ) A ．a 2 B ．a 2 a － b C ．a －b b D ．a ＋b b 24．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？ 【2016年】 7．化简 22111 x x ÷--的结果是（ ） A ．21x + B ．2x C ．21 x - D ．2(x +1) 19．若代数式6x ＋2与4x 的值相等，则x ＝_______． 【2015年】 6．若代数式45x -与 212x -的值相等，则x 的值是（ ） A ．1 B ．32 C ．23 D ．2 10．化简2933 m m m ---的结果是（ ） A ．m +3 B ．m -3 C ．33m m -+ D ．33m m +- 24．济南与北京两地相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度. 【2014年】 7．化简 211m m m m -÷- 的结果是( ) A ．m B ．m 1 C ．1-m D ．1 1-m 19．若代数式21-x 和123+x 的值相等，则=x ． 【2013年】 8.计算 2633 x x x +++，其结果是( ) A. 2 B. 3 C. x +2 D. 2x +6 22.解方程：321 x x =- 【2012年】 23.化简：2121224 a a a a a --+÷--= ． 26.冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？ 【2011年】 8．化简 m 2 m －n － n 2 m －n 的结果是( ) A ．m ＋n B ．m －n C ．n －m D ．－m －n 23.解方程： 2 x ＋3 ＝ 1 x ． 【2010年】 15．解方程23123x x =-+的结果是 ． 专题六点击分式方程应用题 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些。解题时要注意检验，一是要检验所求的解是否是原方程的解，二是要检验所求的解是否符合题意。解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，正确列出方程，再进行求解。另外，还要注意从多角度去思考、分析。注意检验和解释结果的合理性。 例1、某公司投资一个工程项目，现在甲、乙两个工程队均有能力承包这个项目。公司调查发现：乙队单独完成该工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元。根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队？应付工作费用多少元？ 分析：本题属于工程问题，可依据“工作量=工作效率×工作时间”这个关系式，结合题意找出解题的切入点。 解：设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要2x天。根据题意得 ，解得x=30。 经检验，x=30是原方程的解，且x=30，2x=60都符合题意。 ∴若选择甲队，应付（元）；若选择乙队，应付 （元） ∴公司应选择甲工程队，应付工作费用为30000元。 说明：本题是一个探究性的综合题。考查分析、比较、决策能力，充分体现了新课标的理念。本题涉及数据较多，要注意将问题分解为两个子问题，一是工程问题，二是费用问题。 例2、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道温（州）福（州）铁路全长298km，计划将于2009年6月通车。通车后，预计从福州直达温州的火车的行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2h。已知福州至温州的高速公路长331km，火车的设计时速是现在高速公路上汽车行驶时速的2倍。求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01h）。 分析：根据实际问题可得相等关系：火车时速=2×高速公路上汽车行驶时速。列方程解决。 解：设通车后火车从福州直达温州所用的时间为xh。 依题意，得。解这个方程，得。 经检验，是原方程的解。。 ∴通车后火车从福州直达温州所用的时间约为1.64h。 说明：本题也可以设火车时速是xkm/h，则汽车时速为km／h。列方程得分式知识点总结和题型归纳
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