数学竞赛专题之数列

高中数学竞赛专题之数列

一、数列的性质

等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：

性质1：若 ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。

性质2：若}{n a 为等差数列，且

∑∑===k

l l

k l l j

i 11

，那么

∑∑===k

l j k l i l

a 1

（脚标和相同则对应的

项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===k

l l

i 1

，那么l l j k

l i k l a a 1

===ππ（脚标和相同则对

应的项的积相同）。

性质3：若}{n a 为等差数列，记 ,,,,1

)1(1

1∑∑∑=-+=+====

i k m i m k i k i k

i i a S a S

a S ，那么

}{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记 ,,,,)1(1

1k m i k

l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，

那么}{m P 仍为等比数列。

性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则q

a S n n -=

∞

→1lim 1

。

例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若

32+=

n n

T S n n ，则=∞→n

n n b a lim

（）A.1 B.

C. 32

D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（）

A.130

B. 170

C. 210

D.260

例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若

3131

3++=

n n T S n n （1）求28

a b 的值，（2）求使n n a b 为整数的所有正整数n 。

例4、在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有等式

),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：

在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式成立。

例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为。

例6、设1,,2,110|.0{(21===n i n n a n i a a a a n M ，或只取位纯小数十进制）}，n T 是n M 的元素个数，n S 是所有元素的和，则=∞→n

n T S lim

。

例7、设A={1,2,…n},n S 是A 的所有非空真子集元素的和，n B 表示A 的子集个数，求

n n B n S 2

lim

∞

→的值。

例8、设数列}{n a 的前n 项和为),2,1(,12 =-=n a S n n ，数列}{n b 满足

),2,1(,,311 =+==+k b a b b k k k ，求数列}{n b 的前n 项和。

方法：首先找出}{n a 的通项式，在找出}{n b 的通项式

例9、设}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，且)(,,,212

33222211a a a b a b a b <===，又12)(lim 21+=

+++∞

→n n b b b ，试求}{n a 的通项公式。

例10、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且)(),1(2

N n a S n n ∈-=，数列}{n b 的通项式为34+=n b n ，

（1）求数列}{n a 的通项公式，

（2）若},,,{},,,{2121 n n b b b a a a d ∈，则称d 为数列}{n a 与}{n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列}{n d ，证明：}{n d 的通项公式为

)(,312N n d n n ∈=+。

例11、)4(2≥n n 个正数排成n 行n 列：

,11a ,12a ,13a n a 1 ,21a ,22a 23a n a 2

,1n a ,2n a ,3n a nn a

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知

,81,1434224===a a a ，求11a +22a ++33a +nn a 的值。

作业：

1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n 组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于组中。

2、在等差数列}{n a 中，公差0≠d ，412a a a 与是的等比中项，已知数列

,,,,,,2131kn k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项公式。

3、设正数数列}{n a 满足32,122

++=+=n n n n n a a b a S ，（1）求数列}{n a 的通项公式，（2）设)(2222

mn b a n m b a M n m n m +-+++=，试求M 的最小值。

二、数学归纳法

数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。

第一数学归纳法：设)(n T 是一个关于自然数n 的命题，满足以下条件：（1）)1(T 是成立的，（2）假设)(k T 成立能推出)1(+k T 成立，则命题对一切自然数n 都成立。

第二数学归纳法：设)(n T 是一个关于自然数n 的命题，满足以下条件：（1）)1(T 是成立的，（2）假设)1(T ，)2(T ，…)(k T 成立能推出)1(+k T 成立，则命题对一切自然数n 都成立。解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。

解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。例1、已知对任意自然数n ，有21

3)(0∑∑===>n

j j n

j j

n a a

a 且，求证n a n = （1989年高中）

例2、用n S 表示n 2,3,2,1 的各数的最大奇数因子之和，求证：)24(3

1+=n

n S

例3、设}{n a 是正数数列且满足)1

(21n

n n a a S +=