复变函数复习提纲

复变函数复习参考

一、填空题

1复数-2是复数________的一个平方根。2、设y 是实数，则sin(iy)的模为________。

3、设a>0，则Lna=________。

4、记号Res z=a

f(z)表示________。 5、设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件

6、方程z=t+i t

(t 是实参数)给出的曲线为________。7、i 3＝_______. 8、0z ＝0是函数51cos )(z

z z f -=的 9、i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝ 10、=]0,sin 1

[Re z z s . 11、函数sin w z =在4z π=

处的转动角为____ 12、幂级数∑∞=0)(cos n n z in 的收敛半径为R =_______

二、计算题

1、求复数z=1-i 1+i 的实部、虚部、模和辐角

2、计算积分∫c (x-y+ix 2)dz,积分路径C 是连接由0到1+i 的直线段。

3、求sin

π41

2z z dz c -?之值，其中C:|z|=2. 4、求函数f(z)=

e z z

21-在点z=±1,∞的残数. 5、求())

2)(1(--=z z z z f 在圆环域21<

6、.设?

-++=

C d z z f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+ 7、计算积分

dx x x x ?∞+∞-++54cos 22. 8、y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(

三、证明题

1、设f(z)及g(z)在区域D 内解析，并且f(z)·g(z)≡0,试证：在D 内f(z)≡0或g(z)≡0

2、.函数f(z)=|z|在z 平面上任何点都不解析。

3、设f (z )在区域D 内解析，并且在某一点z 0∈D 有f (n )(z 0)=0, n =1,2,

f (z )在D 内必为常数.

4、设f (z )=u (x,y )+iv (x,y )在区域D 内解析，试证：在区域D 内f ′(z )=u x +iv x

参考答案：

一、

5，u v x y ??=??，u v y

x ??=-?? 6 双曲线1y x = 7.3ln 2i k e +-π； 8. 三级极点 ；9. 23z ；10. 0 ；11. 0 ；12. e

1 二、1解：

2、

3.

4 解：

5：在2||1<

11000111111()()(()())()21222

n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞+====-=--=-+--∑∑∑ 2) 在1|2|z <-<∞

20111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2

n n n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑ 6: 22371()()C

f z d z ξξξξ++'=-? 由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故 i C

i d i i f +='++=+-++=+'?1222|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π 7 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故

]

2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz

ix +-++=++?∞+∞-π

)2sin 2(cos 54))2((lim 222i e

z z e i z i iz i z -=+++--=+-→ππ 故 2cos 254Re 254cos 222e

dx x x e dx x x x ix π=++=++??∞+∞-∞+∞- 8 解：因为y e v px sin =是调和函数,则有 02222=??+??y

v x v ,即 0sin )1(sin sin 22=-=-y e p y e y e p px px px 故1±=p 1) 当 1=p 时, y e v x sin =, 由C-R 方程,

y e y

v x u x cos =??=??, 则)(cos ),(y g y e y x u x +=, 又由 y e x

v y g y e y u x x sin )(sin -=??-='+

-=??，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。

则 c e z f z +=)(

2) 当 1-=p 时, y e v x sin -=, 由C-R 方程,

y e y v x u x cos --=??=??, 则)(cos ),(y g y e y x u x +-=-, 又由y e x

v y g y e y u x x sin )(sin =??-='+=??-，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。则 c e z f z +-=-)( ，

三、

1

2证明

3证明 取完全含在D 内的z 0的邻域K ：｜z -z 0｜<δ，则在K 内f (z )可表示为

f (z )=f (z 0)+f z n z z n n n ()()!(),001

-=∞∑于是，由条件知，在K 内f (z )=f (z 0),即在K 内f (z )恒等于常数。从而由唯一性定理知，f (z )在D 内必为常数.

4.证明：f ′(z )=lim lim ???????z z f z z f z z u i v z

→→+-+00()() =lim ?????x y x x u i v x u iv →=+=+00

.