2多元函数积分学

2.多元函数积分学

〖考试内容〗(数学一)

二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

〖考试要求〗(数学一)

1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4．掌握计算两类曲线积分的方法。

5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。

7．了解散度与旋度的概念，并会计算。

8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

〖考试要求〗(数学二)

1．了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

〖考试要求〗(数学三)

1．了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。2．了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。

〖考试要求〗(数学四)

同数学三

2. 多元函数积分学

〖知识点概述〗

2．1 二重积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）

极坐标法（r型简单区域； 型简单区域）

一般变换法

几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量

2．2 三重积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域

投影法（先定积分后二重积分）

截面法（先二重积分后定积分）

柱坐标法; 球坐标法; 一般变换法

几何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力

2．3 曲线积分

第一类曲线积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：参数化法

几何应用：弧长

物理应用：质量、质心、转动惯量、引力

第二类曲线积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：参数化法

曲线积分基本定理(曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空

间情形）; 全微分的原函数; 场论基本概念与计算

格林公式（平面曲线积分）; 斯托克斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量

第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

2．4 曲面积分

第一类曲面积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：投影法（向xoy 平面投影；向yoz 平面投影；向zox 平面投影） 几何应用：曲面面积 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力

第二类曲面积分

基本概念：定义、基本性质

计算方法：有向投影法（各向投影；单向投影）; 化成第一类曲面积分;

高斯公式; 斯托克斯公式

物理应用：通量

第一类曲面积分与第二类曲面积分的联系

〖典型例题—二重积分〗

例1（91103）设D 是XOY 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则dxdy y x xy D )sin cos (+??=（ ）

（A ）ydxdy x D sin cos 21?? （B ）dxdy xy D ??12（C ）dxdy y x xy D )sin cos (41??+（D ）0

〖注〗 二重积分的对称性

例2 计算dxdy y D ??，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域

〖注〗平面区域的重心（质心）

变式1计算dxdy y x D )(??+，其中12:22+≤+y y x D

例3计算dxdy b

y a x D 2)(??+，其中222:R y x D ≤+)0(>R 注1 极坐标法是计算二重积分的重要方法

变式1计算dxdy y x D ??+)ln(22，其中1:22≤+y x D

变式2 计算dxdy b

y a x D ??--22221，其中1:2222≤+b y a x D 注2 二重积分的轮换对称性

变式3 计算dxdy b

y a x D )(2222??+，其中222:R y x D ≤+)0(>R

变式4 （05204）计算dxdy y f x f y f b x f a D ??++)()()

()(，其中b a ,为常数，)(x f 为4:22≤+y x D ,

0,0≥≥y x 上的正值连续函数

例4 (94103) 计算dxdy y x xf y D ??++)](1[22，其中D 由直线1,1,=-==x y x y 围成，f 为连续函数

变式1 （01306）计算dxdy xe y D

y x ]1[)(2122??++，其中D 由直线1,1,=-==x y x y 围成 例5(02107) 计算dxdy e D y x ??},max{22，其中}10,10:),{(≤≤≤≤=y x y x D

变式1计算dxdy x D ??2，其中1:44≤+y x D

变式2（95305）计算dxdy e y x R y x ??

+-222)(},min{，其中2R 为整个xoy 平面 例6计算dy y y dx I x x ??=sin 1

注 将二重积分化成二次积分计算时，确定积分次序是关键

变式1 计算dy y

y dx I x ??-=00sin ππ 变式2 计算dxdy y I D ??=2sin ，其中D 由π==y x y ,及Y 轴围成

变式3 计算dy y x x a y f dx I x a

??--'=00)

)(()(，)(x f '在],0[a 连续 例7 设)(x f 在]1,0[上连续，证明???=10

2110])([21)()(dx x f dy y f x f dx x 例8求在0,:22≥≤+x y y x D 上连续的),(y x f ，使??-

--=D

dudv v u f y x y x f ),(81),(22π 例9 (97306) 求)(t f ，使得)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程 dxdy y x f e t f t y x t )2

1()(22442222++=??≤+π 例10 （00406）设???≤≤≤≤=其他0,

0 ,21,),(2x y x y x y x f ，求d x d y y x f D ??),(，其中x y x D 2:22≥+ 变式1 (05111) 计算二重积分dxdy y x xy D ??++]1[22，其中0,0,2:22≥≥≤+y x y x D ,

]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数

变式2 (05209) 计算二重积分dxdy y x D ??-+|1|22，其中}10,10:),{(≤≤≤≤=y x y x D 〖典型例题—三重积分〗

例1 （88203）设有空间区域

0,:22221≥≤++z R z y x V ，0,0,0,:22222≥≥≥≤++z y x R z y x V ，则（ ）

(A)??????=214V V xdxdydz xdxdydz (B) ???

???=214V V ydxdydz ydxdydz (C) ??????=214V V zdxdydz zdxdydz (D) ??????=214V V xyzdxdydz xyzdxdydz

注 三重积分的对称性

例2 计算???V xyzdxdydz ，其中0,0,0,:2222≥≥≥≤++z y x R z y x V )0(>R 解一：投影法 解二：截面法 解三：柱坐标变换法 解四：球坐标变换法 变式1用截面法计算???V zdxdydz ，其中0,1:2

22222≥≤++z c z b y a x V 变式2 利用对称性计算???V dxdydz x 2，其中0,:2222≥≤++z R z y x V )0(>R 例3 计算???+++V z y x dxdydz 3

|)|||||1(，其中1|||||:|≤++z y x V 例4 计算???++V dxdydz z y x )(，其中z z y x V ≤++22232:

注 空间区域的重心（质心）

例5 设)(t f 可导，0)0(=f ，2222:t z y x V ≤++求???+++→V t dxdydz z y x f t )(1

lim 22240π

变式1设)(t f 可导，2222:t z y x V ≤++， ???++=V dxdydz z y x f t F )()(222，求)(t F ' 例6 (03112) 设)(t f 为正值连续函数，2222:)(t z y x t V ≤++，222:)(t y x t D ≤+，

?????+++=)(22)(222)()()(t D t V dxdy y x f dxdydz z y x f t F ，dx

x f dxdy

y x f t G t t t D ???-+=)()()(2)(22 （1） 讨论)(t F 在),0(+∞内的单调性（2）证明0>t 时，)(2)(t G t F π

> 〖典型例题—曲线积分与曲面积分〗

例1 计算ds y x L )32(22+?，其中)(2:22y x y x L +=+

解一：参数化法 解二：利用曲线积分的对称性

变式1计算ds xz yz xy L ?++)(，其中L 为球面1222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线 变式2计算ds x L ?2，其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线 例2 计算??+S dS y x )(2，其中0,0,:222>≤≤=+a h z a y x S

解一：投影法 解二：利用曲面积分的对称性

例3（87103）计算dy x x dx y xy L )4()22(2-+-?,其中9:22=+y x L 取正向(逆时针方向) 解一：参数化法 解二：格林公式

例4 (03110) 已知平面区域}0 ,0:),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为其正向边界，试证

（1）dx ye dy xe dx ye dy xe x L y x L y sin sin sin sin -=-??--，（2）2sin sin 2π≥--?dx ye dy xe x L y 解一：参数化法 解二：格林公式

例 5 (97105)计算dz y x dy z x dx y z L )()()(-+-+-?,其中L 是122=+y x 与平面2=+-z y x 的交线，从Z 轴正向往Z 轴负向看L 的方向是顺时针正向

解一：参数化法 解二：斯托克斯公式

例6 （00106）计算?

+-L y x ydx xdy 224，其中L 是以点)0,1(为中心，半径为)1(>R R 的圆周，取逆时针方向

例7 （98106） 确定常数a ，使在右半平面0>x 上的向量

j y x x i y x xy y x A a a )()(2),(24224+-+=为某二元函数),(y x u 的梯度，并求),(y x u 解一：曲线积分法 解二：不定积分法

变式1(05112)设函数)(y ?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分?+L xydy

dx y 422)(?的值恒为同一常数。（1）试证：对右半平面0>x 内的任意分

段光滑简单闭曲线C ，有?=++C y x xydy

dx y 022)(42?（2）求函数)(y ?的表达式

例8 设)0()1()1(:222>=-+-R R y x L ，取逆时针方向，)(x f 为正值连续函数，试证

?≥-L

R dx x f y dy y xf 22)()(π

例9 (04112) 计算d x d z d z d x y d y d z x I S

)1(322233-++=??其中S 为曲面0,122≥--=z y x z 的上侧

解一：高斯公式； 解二： 化为第一类曲面积分

变式1计算dxdy z dzdx y dydz x I S 222??++=，其中S 为曲面) (12222x y x y x z ≤+--= 的上侧

例10计算???=S

S d F rot I ，其中}3,,{23xy yz x z x F -+-= ，S 为锥面222y x z +-=在xoy 平面上方的部分，取上侧

解一：用斯托克斯公式化成曲线积分计算；

解二：用斯托克斯公式改变曲面积分在化成第一类曲面积分计算；

解三：用高斯公式

例11 (88109) 设位于点)1,0(的质点A 对质点M 的引力大小为2

r k （0>k 为常数，r 为质点A 与质点M 间的距离），质点M 沿曲线22x x y -=自)0,2(B 运动到)0,0(O ，求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所做的功

例12 设S 为平面044=-++z y x 被三坐标面截成的三角形，求向量场}3 ,2 ,2{z z x x z F +-= 通过S 上侧的通量