重点高中数学相关定理及证明

重点高中数学相关定理及证明

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

高中数学相关定理、公式及结论证明

汉阴中学正弦定理证明

内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C

c B

b A

a ==

证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理

（1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a

b

A

B

=

，

同理可得

sin sin c

b

C

B

=

，

故有 sin sin a

b

A

B

=

sin c C

=

.

从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。

由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC

故有

=

∠sin sin a

b

A

ABC

sin c

C =

.

（3）在ABC Rt ?中，,sin ,sin c

b

B c a A ==

∴

c B

b

A a ==sin sin ， .1sin ,90=?=C C Θ.sin sin sin C

c B b A a ==∴

由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中，

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

成立.

2.外接圆证明正弦定理

在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=R

c B C 2sin sin ='=. ∴R C

c

2sin =.

同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===.

3.向量法证明正弦定理

a

b

D

A

B C A

B C

D

b a

'cos(90)sin OC AC A b A =-=o u u u u r u u u r

'sin sin OC BC B a B

==u u u u r u u u r

sin sin a B b A = sin sin a b A B = 同理 sin sin c b

C B =

故有 sin sin a b

A B =

sin c C =.

余弦定理证明

内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则

??

???-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222 证明：如图在ABC ?中，

))((2

22

AB AC AB AC BC a a --===

2

22

2

cos 22AB

A A

B A

C AC AB

AB AC AC +?-=+?-=

A bc c b cos 22

2

-+=

同理可证：?????-+=-+=C ab b a c A bc c b a cos 2cos 22

22222 所以??

???-+=-+=-+=C

ab b a c B ac c a b A

bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222 数列部分

内容：{}n a 是等差数列，公差为d ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则2

)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+= 证明：由题意， ))1((.......)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=① 反过来可写为：))1((.......)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②

①+②得：2n S 44443

444421个

n n a n a n a +++++=111.......

所以，2

)

(1n n a a n S +=

③，

把d n a a n )1(1-+=代入③中，得2

)(2)

1(11n n a a n d n n n a S +=

-+

= 内容：{}n a 是等比数列，公比为q ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则n S =??

?

??≠--=--=)1(,1)1(1)

1(,111q q q a q q a a q na n n

证明：1

12111.......-++++=n n q a q a q a a S ① n

n q a q a q a q a qS 131211.......++++=②

①—②得：n

n q a a S q 11)1(-=-， 当1≠q 时，n S q

q a q q a a n n --=--=1)

1(1111③

把11-=n n q a a 代入③中，得n S q

q

a a n --=

11 当1=q 时。很明显n S 1na =

所以，n S =??

?

??≠--=--=)1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n

立体几何部分

三垂线定理及其逆定理

内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

证明：已知：如图（9），直线l 与平面α相交与点A ，l 在α上的射影OA 垂直于α∈a a , 求证：l ⊥a

证明： 过P 作PO 垂直于α

∵PO ⊥α ∴PO ⊥a

又a ⊥OA ，PO ∩OA=O ∴a ⊥平面POA ∴a ⊥l

求证：如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.

:a ,a =αβαβ?P P 如图所示已知在平面，b,求证：a b.

,

b a b b .a a b a a a b αααβ∴∴∴Q P Q P 证明和没有公共点,又在内,

和也没有公共点,

而和都在内，和也没有公共点,

求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. :,,.a b αβαγβγ?=?=P P 如图所示已知求证：a b.

b b b .a a a a b αβαβγ∴∴Q P Q P 证明：和分别在平面、内且，和不相交，

又和都在平面内，

求证：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

:AB MN B AB αβαββα⊥?⊥⊥如图所示已知,=MN,AB 在内，于点。求证：.

BC MN ABC -MN- ABC =90 AB BC AB MN AB ααβαβα⊥∠⊥∴∠∴⊥⊥∴⊥o Q 证明：在平面内做直线，

则是二面角的平面角，

，，又，

求证：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

:,A B. B b'

b' A b' b b',b' =, B B l ααααβαβ⊥⊥⊥=P I I 如图所示已知a ,b 垂足分别为、求证：a b.

证明：假设a 和b 不平行，过点作a 的平行线由异面直线垂直定义，与平面内过点的任意直线都垂直，也即有，故直线与b 与确定一个平面，记，在平面内，过点有且仅有一条 b' a b.l ⊥直线垂直于，故直线与b 重合，

所以

点到直线距离公式证明

内容：已知直线,0:=++C By Ax l 直线外一点).,(00y x M 则其到直线l 的距离为2

200B

A C By Ax d +++=。

向量法

证：如图，设直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠的一个法向量(1,)B n A

=r

，Q 直线上任意一点，

10101010222

2

110000112222

|()||()()|

||||1||||

0,B x x y y A x x B y y n PQ A d n B A B A

Ax By Ax By Ax By C P Ax By C d A B A B -+--+-?===

+++--++∴++===

++r u u u r r Q 点在直线l 上,从而

定义法

证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，

设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为

B A

'

l ∴的方程：00()B

y y x x A

-=

-与l 联立方程组 解得交点2200002222(,)B x ABy AC A y ABx BC

Q A B A B

----++

y

x

P

Q

l 1

图'

l y

P

n

r

Q

l

x

222

2

2

00000022222222000022222222200000022222222

||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B

A x ABy AC

B y ABx B

C A B A B

A Ax By C

B Ax By

C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=

+++0022|||Ax By C PQ A B ++∴=

+

平行向量定理

内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。

证明：设b a ,是非零向量，且),(),,(2211y x b y x a ==

若b a //，则存在实数λ使b a λ=，且由平面向量基本定理可知.)(222211j y i x j y i x j y i x λλλ+=+=+

21x x λ=∴①，21y y λ=② ①-?2y ②2x ?得：01221=-y x y x

若0,021≠≠y y （即向量b a ,不与坐标轴平行）则2

2

11y x y x =

平面向量基本定理

内容：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a ，存在唯一一对 实数21,λλ，使得.2211e e a λλ+=

证明：如图过平面内一点O ，作a OC e OB e OA ===,,21，过点C 分别作直 线OA 和直线OB 的平行线，交OA 于点M ，交OB 于点N ，有且只有一组实数，使

得OB ON OA OM 21,λλ== OB

OA OC ON OM OC 21λλ+=∴+=Θ

即.2211e e a λλ+=

共线向量定理

内容：如图A,B,C 为平面内的三点，且A,B 不重合，点P 为平面内任一点，若C 在直线AB 上，则有

PB PA PC )1(λλ-+=

证明：由题意，BC 与BA 共线，BA BC λ=∴

)

(,PB PA PB PC PB PA BA PB PC BC -=-∴-=-=λ

化简为：PB PA PC )1(λλ-+=

C

B

A

P

a

C

N

M B

A

O

e 2e 1

α

α

-x

y

P(x,y)

P′(x ，-y)

M

O

(4-5-2)

α

α

+ο180x y

P(x,y)

P′(-x ，-y)

M

M′

O

(4-5-1)

柯西不等式：

若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+或2222||ac bd a b c d +≤++g

证法：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++

222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+.

证法：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n c d =r ，则22||m a b =+u r ，22||n c d =+r . ∵ m n ac bd ?=+u r r

，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g g

g ，则||||||m n m n ≤u r r u r r g g . ∴22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 诱导公式

公式：

如图：

设α的终边与单位圆（半径为单位长度1的园）交 于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为 P ′(x ，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得

sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x, 所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α

由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-α诱导公式。 公式：

ααπ-sin sin(=+） ααπ-cos cos(=+） ααπtan tan(=+）

它刻画了角180o+α与角α的正弦值（或余弦值）

之间的关系，这个关系是：以角α终边的反向延长线 为终边的角的正弦值（或余弦值）与角α的正弦值（或 圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即

180o+α角的终边与单位圆的交点必为P ′(-x ，-y)（如图4-5-1）． 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， c os α=x, sin(180o+α)=-y, cos(180o+α)=-x,

所以 :sin(180o+α)=-sin α，cos(180o+α)=-cos α． 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 相应诱导公式

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （2kπ+α）=sinα k ∈z cos （2kπ+α）=cosα k ∈z tan （2kπ+α）=tanα k ∈z

公式二：sin （π+α）=－sinα cos （π+α）=－cosα tan （π+α）=tanα 公式三：sin （－α）=－sinα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=sinα cos （π－α）=－cosα tan （π－α）=－ta nα

公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）=cosα tan （2π－α）=－tanα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

α

αcos cos(=-）α

αtan tan(-=-）αα-sin sin(=-）

sin （π/2+α）=cosα cos （π/2+α）=－sinα tan （π/2+α）=－cotα sin （π/2－α）=cosα cos （π/2－α）=sinα tan （π/2－α）=cotα

两角差的余弦公式证明

如图在单位圆中设P （cos α,sin α）,Q （cos β,sin β） 则：)cos()cos(βαβα-=-?=?OQ OP OQ OP

Θβαβαsin sin cos cos +=?OQ OP

∴)cos(βα-βαβαsin sin cos cos += 两角和的余弦公式证明

[]cos()cos ()αβαβ+=--

两角和（差）的正弦公式证明 内容：

βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(,sin cos cos sin )sin(-=-+=+

证明：

β

απ

βαπβαπβαπβαsin )2

sin(cos )2cos(])2cos[()](2cos[)sin(-+-=--=+-=+βαβαsin cos cos sin +=

βαπ

βαπβαπβαπβαsin )2

sin(cos )2cos(])2cos[()](2cos[)sin(---=+-=--=-βαβαsin cos cos sin -=

两角和（差）的正切公式证明

内容：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+，βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

证明：

=

-+=-+=++=+β

αβαβαβαβ

αβ

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(β

αβαtan tan 1tan tan -+

=+-=+-=--=-β

αβ

αβαβαβ

αβ

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(β

αβαtan tan 1tan tan +-