初中数学常见模型及部分解题思路
初中数学常见模型解题思路
代 数 篇
1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减抵消法【等式性质的运用】
例：把0.108108108...化为分数.
设a =0.108108108...①两边同时乘以1000，得 1000a =108.108108...② ②-①，得999a =108，从而得a =108/999=4/37.
2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】
22,,,y x xy y x y x +-+中，知二求二. (加减配合，灵活变形.)
如xy y x y x 2)(222++=+ xy y x y x 2)(222-+=+；
xy y x xy y x y x 4)(2)(2222-+=-+=-.
3、特殊公式21
)1(222±+=±x
x x x 的变型及应用.
4、立方和/差公式：).)(())((22332233y xy x y x y x y xy x y x y x ++-=-+-+=+；
5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)
例：计算1+2+3+4+...+2018. 【规律推导法；等式性质推导】 6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.
例：计算1+2+4+8+...+2n . 【这两种数列均可用等式性质进行推导】
7、
mn
m
n n m mn m n n m +=
+-=-11;11的灵活应用. 例：计算(1)3801...3012011216121++++++；(2).171532
151328...97167512538314?-?++?-?+?-?
8、韦达定理求关于两根的代数式的值.
(1) 对称式：变和积..1
111222222y
x y x y x xy y x ++++；；；(x 、y 为一元二次方程的两根)
(2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达) 9、三大非负数及三大永正数(如|x |+2).
10、常用最值式：正数+±2)(y x 等 11、换元大法.
12、自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 13、拆项法、配方法。(原理同上) 14、十字相乘法.
15、统计概率：两查(抽样；普查)、三事(必然；随机；不可能)、四图(折线；条形；扇形；直方)、三数三差、两频(频数；频率)一概(概率). 16、一元二次方程应用题.如利率问题、握手送花问题等
17、b a =，则b a ±=在动点问题中的巧妙应用(避免繁琐的因为点的相对位置变化引起的符号变化问题；平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法).
18、四个角的正切值：22.5度的正切值为12-；67.5度的正切值为12+；
75度的正切值为32+；15度的正切值为32-.
几 何 篇
1、线、角的等量问题：
等角(如右图)：条件COD AOB ∠=∠ 结论：BOD AOC ∠=∠ 说明：可视作由旋转产生的“共点等角” 等线(如下图)：条件CD AB = 结论：BD AC = 说明：可视作由平移产生
2、两条平行线夹一角(即“拐点问题”) A
O
B C D A
O
C B
D A B C D
?????
?
?
?
A C
B D
A E
A E
P
例：如图1，条件AE ∥CF 结论：?=∠+∠+∠360PFC AEP P
如图2，条件AE ∥CF 结论：FCP EAP P ∠+∠=∠
3、平行线夹等(同)底三角形：面积相等。
同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。 若m ∥n ，则ABD ABC S S ??=.反之，若ABD ABC S S ??=，则m ∥n .
4、已知三角形两边长，定第三边的范围：大于两边的差，小于两边的和。
5、三角形的角平分线.
(1)两内角平分线相交角：290A
P ∠+
?=∠
一内一外角平分线相交角：2A
M ∠=∠
两外角平分线相交角：2
90A
N ∠-?=∠(
(2)等于该角两边之比. 如：AD 平分∠BAC ，则
CD
BD
AC AB =
. 6、三角形的中线：重心分中线为1:2两部分. 如：三中线AD 、BE 、CF 交于点K ，则
AD KD AK 322=
=;BE KE BK 322==;CF KF CK 3
2
2==. 7、三角形的高：底与高积相等；三高得相似；三高得四点共圆. 如：AD 、BE 、CF 为高，则AB CF AC BE BC AD ?=?=?;
△ADB ∽△CFB 等；B 、C 、E 、F 四点共圆等.
8、(1)高与一角平分线的夹角等于另外两角差的一半.
C D m
A B n P
B C A A M K C
D
B
A
F E
B
C
A
F
E A
如：AD 、AE 分别为△ABC(AB ≠AC)的角平分线和高，
则∠DAE=
2
B
C ∠-∠. (2)两中线垂直的三角形中两边平方和等于第三边平方的5倍. 如：AE 、BF 分别为△ABC 的中线，且AE ⊥BF ，
则2225AB BC AC =+.
9、三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积. (1)在△ABC 中，AD 、BE 、CF 相交于同一点O ， 则CD BD S S ACO ABO ::=??.
(2)任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： )(:)(:4321S S S S OC AO ++= 4321::S S S S =或者3241S S S S ?=?.
10、等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三等变等直.等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=底边的一半/腰
*重要推论：已知三角形中一个角的余弦，这个角的一边×这个角的余弦=另一边
的一半，此三角形为等腰三角形(一边为腰，另一边为底). 如图：2
cos BC
B AB =
? △ABC 为等腰三角形(BC 为底). *“两线一圆模型”：已知线段AB(两定点A 、B)，在平面内 找一点C
，使△ABC 为等腰三角形.这样的点C 的集合在以 A 、B 为半径的圆和AB 的垂直平分线上(与A 、B 共线的点 除外)【等腰三角形存在性问题】
11、直角三角形斜高的求法：斜高=两直角边的乘积/斜边 *直角三角形存在性之“两线一圆模型”：已知线段AB(两
D B
E C
A
B
C
E F
O C D
B
A
F E
A
D
S 1
A
B C A
B
B
C
O S 2 S 3
S 4
高
B
E A
D D
B C
C
E
E
A
定点A 、B)，在平面内找一点C ，使△ABC 为直角三角形. 满足条件的C 的集合在过A 、B 作线段AB 的垂线及以AB 为直径的圆上的除A 、B 两点的任意点都可与A 、B 组成 直角三角形.(即所谓的“两线一圆”) 12、等边三角形面积的求法：24
3a S a =
的等边三角形边长为 13、求面积的套路：(1)复杂图形：一拆用加；二放用减. (2)三角形：①面积公式；
②两边与夹角正弦的积的一半(遇钝变补)； ③铅垂线法(宽高法)；④等边三角形的面积；
⑤利用相似比的平方等于面积比(借助面积可求的三角形的面积和相似比求解)；⑥让出去(化归).
(3) 平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与 一个内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半. (4) 共角(有一个角相等)三角形：面积的比等于等角两边乘积的比(鸟头定理). 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的
面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比.
如图，在△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上(或延长线上)的点，则
)(:)(:AE AD AC AB S S ADE ABC ??=??
14、三大蝴蝶：(1)一线两等边.如图，△ABC 、△ECD 为等边三角形，B 、C 、D
共线，则有：△BCE ≌△ACD 、△DCG ≌△ECF 、
A B
宽
A
K G
F
D
C B
A
E
D
B
C
G
A
B C
D
O
E A
B
C
D
P
E
△BCF ≌△ACG ；旋转60°形成的全等三角形，所以 △CGF 也是等边三角形；三组平行线； ∠AKB=∠BKC=∠DKC=60°;KC 平分∠BKD ； K 、F 、C 、G 四点共圆.
(2)一个三角形两等边.如图，以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作等边△ADB 和等边△ACE ，则有： △ADC ≌△ABE →CD=BE,∠DGB=60°,∠DGE=120° 又ABE ADC S S ??=→点A 到DC 和到BE 的距离相等→ AG 是∠DGE 的平分线，∠DGA=∠EGA=60°. (3)一个三角形两个正方形.如图，以△ABC 的两边 AB 、AC 为边向外作正方形ABGF 和正方形ACDE ，
则有：FC=BE ，FC⊥BE；AH 平分∠FHE ； A 、F 、B 、H 四点共圆. 15、平行四边形的面积关系： (1) ABCD AED S S 平行四边形2
1
=
?； (2)平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线 (一般找平行于两轴的直线)的距离相等.
16、平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：
222222DA CD BC AB BD AC +++=+
17、矩形一边上任意一点到对角线距离的和=对角线
宽
长?.
18、矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等.
如图，矩形ABCD 内任意一点P ，则有：2222PD PB PC PA +=+.
B F
C
E
A
D
G H
B C
F
19、矩形经典对折图.如图，矩形ABCD 沿对角线BD 对折， C 点到了E 点，则一对全等(小直角三角形)一对相似，两个 等腰.例：AE:BD=3:5则AB:BC=4:8=1:2，这是因为相似比 为3:5，所以EF:FB=3:5,因此ED=4(勾股)而AD=DF+FA=8. 20、正方形垂等图.
横平竖直；“改邪归正”的辅助线方法. 21、正方形三兄弟成面积图.
三个正方形如图摆放，AN 恰好过E 点.
结论：ECGF AGN S S 正方形=?. 解法：AC ∥EC ∥FN(关键点)
EGN AGE AGN S S S ???+=; ECG AGE S S ??=,EGF EGN S S ??=.
22、两正方形垂直相等图. 如图，ABCD 、CGFE 是正方形：
(1)△DCG ≌△BCE;(2)BE ⊥DG ，BE=GD ； (3)A 、B 、M 、D 四点共圆，
∠ADB=∠AMB=∠AMD=45°,△ADM ∽△AND,
AN AM AD ?=2；(4)若DM 2=ME ?MA ，则BD=BG ，△BDG 为等腰三角形.
(∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG)，此时MA=MB.
23、正方形内含半角(其中产生的两个双八字相似和等腰直角三角形)---邻边相等
的圆内接四边形内含半角图.
条件：正方形ABCD 中，∠EBF=45°,结论：
A G M D N F E
H
E F M
A D
B C
N G
N
B C A D
E F
G
M
K
H
G
F
A E D