2020学年高中数学第三章不等式4.3简单线性规划的应用跟踪训练含解析北师大版必修5.doc
第三章 不等式
§4 简单线性规划 4.3
简单线性规划的应用
[A 组 学业达标]
1．(2019·桃城区高一检测)某实验室至少需要某种化学药品10 kg ，现在市场上出售的该药品
有两种包装，一种是每袋3 kg ，价格为12元；另一种是每袋2 kg ，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少( ) A ．56 B ．42 C ．44
D ．54
解析：设价格为12元的x 袋，价格为10元的y 袋，花费为z 元，则约束条件为：?????3x ＋2y ≥10
0≤x ≤5，
0≤y ≤5，x ，y ∈N .
目标函数为z ＝12x ＋10y ，作出可行域，
使目标函数为z ＝12x ＋10y 取最小值的点(x ，y )是A (2，2)，此时z ＝44，
故应买价格为12元的2袋，价格为10元2袋，花费最少为44元．所以C 选项是正确的． 答案：C
2．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为
36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元
B ．36 000元
C ．36 800元
D ．38 400元
解析：先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决．设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2
400y ，则约束条件为?????36x ＋60y ≥900，
x ＋y ≤21，
y －x ≤7，
x ，y ∈N ，
作出
可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．
答案：C
3．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如
下表：
a b (万吨) c (百万元)
A 50% 1 3 B
70%
0.5
6
2)，则购买铁矿石的最少费用为( ) A ．14百万元 B ．15百万元 C ．20百万元
D ．以上答案都不对
解析：设购买铁矿石A 和B 各x ，y 万吨，则购买铁矿石的费用z ＝3x ＋6y ，x ，y 满足约束
条件???0.5x ＋0.7y ≥1.9
x ＋0.5y ≤2
x ≥0y ≥0
其表示平面区域如图所示．
由?????0.5x ＋0.7y ＝1.9x ＋0.5y ＝2
可得B (1，2)则当直线z ＝3x ＋6y 过点B (1，2)时，购买铁矿石的最少费用z ＝15，所以B 选项是正确的． 答案：B
4．(2019·汕头高一检测)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1
千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800 B ．2 400 C ．2 800
D ．3 100
解析：设每天生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有????
?x ＋2y ≤12
2x ＋y ≤12x ≥0，y ≥0，
z ＝300x ＋400y ，在坐标轴内画出该不等式所表示出的平面区域，目标函数z 过平面区域的点A (4，4)时，取最大值，故得最大利润z ＝300×4＋400×4＝2 800元．故本题正确答案为
C.
答案：C
5．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400千克；若种花
生，则每季每亩产量为100千克，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每千克卖5元，稻米每千克卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为( ) A ．840元 B ．1 150元 C ．1 600元 D ．1 650元
解析：设该农民种x 亩水稻，y 亩花生时能获得利润
z 元，则?????x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即?????x ＋y ≤2，
3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，
z ＝
960x ＋420y ，作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y ＝－167x ＋z
420，
作出直线y ＝－16
7
x ，
在可行域内平移直线y ＝－16
7
x ，
可知当直线过点B 时，纵截距z
420
有最大值，
由?
????x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5解得B ?
???
32，12. 故当x ＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝1 650元，
即该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元． 答案：D
6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每
吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．甲产品每吨利润为5万元，乙产品每吨利润为3万元．如果该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业的最大利润为________万元．
解析：设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，利润为z 万元，
由题意可得
?????3x ＋y ≤13，
2x ＋3y ≤18，
x ≥0，y ≥0，
目标函数为z ＝5x ＋3y ，作出如图所示的可行域(阴影部分)．当直线5x ＋3y ＝z 经过点A (3，4)时，z 取得最大值，故z max ＝5×3＋3×4＝27. 答案：27
7．(2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一
件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条
件，构造线性规划约束条件为：??????
?1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，
5x ＋3y ≤600，
x ≥0，
y ≥0，x ∈N ＋，x ∈N ＋
.
目标函数z ＝2 100x ＋900y
.
作出可行域为图中的阴影部分，包括边界包含的整点，顶点为(60，100)，(0，200)(0，0)(90，0)．
可行域为z 在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000. 答案：216 000
8．某公司计划2019年在A 、B 两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过
9万元．A 、B 电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定A 、B 两个电视台为该公司每分钟所做的广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：该公司如何分配在A 、B 两个电视台的广告时间，才能使公司收益最大，最大收益是多少万元？
解析：设公司在A 电视台和B 电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，
由题意得：???x ＋y ≤300
500x ＋200y ≤90 000x ≥0y ≥0
，z ＝3 000x ＋2 000y ，
不等式组等价于???x ＋y ≤300
5x ＋2y ≤900
x ≥0y ≥0
，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图：
作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0，
平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值，联立???
??x ＋y ＝300
5x ＋2y ＝900?
??
??x ＝100
y ＝200， ∴点M 的坐标为(100，200)， ∴z ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)，
∴该公司在A 电视台做100分钟广告，在B 电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
9．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格
每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
解析：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，
由题意可得：???2x ＋y ≥5
x ＋2y ≥4
x ≥0y ≥0
所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图，
在一组平行直线3x ＋2y ＝t 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2，1)，∴最优解为：x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
[B 组 能力提升]
10．某农户计划种植黄瓜和辣椒，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种
植黄瓜和辣椒的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 辣椒
6吨
0.9万元
0.3万元
面积(单位：亩)分别为( ) A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30
D ．0，50
解析：设黄瓜、辣椒的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝(4×0.55－1.2)x ＋(6×0.3－0.9)y ＝x ＋0.9y (目标函数)，
此时x ，y 满足条件???x ＋y ≤50
1.2x ＋0.9y ≤54
x ≥0y ≥0
，
上述不等式表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域.
由图知，在直线x ＋y ＝50与直线1.2x ＋0.9y ＝54的交点B 处，目标函数取得最大值，
解方程组?????x ＋y ＝501.2x ＋0.9y ＝54
得x ＝30，y ＝20，
故当x ＝30，y ＝20时，z 最大；
即黄瓜和辣椒的种植面积分别为30亩、20亩时，一年的种植的总利润最大，选项B 正确． 答案：B
11．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲
型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间(单位：小时)分别为( ) A ．16，8 B ．15，9 C ．17，7
D ．14，10
解析：设A 工厂工作x 小时，B 工厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z ＝x ＋y ，约束条件为????
?x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥40，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示，由图知当直线l ：y ＝－x ＋z 过Q 点时，z 最小，解方程组
?
??
??x ＋3y ＝40，
2x ＋y ＝40，得Q (16，8)，故A 厂工作16小时，B
厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．答案：A
12.
成分
种类
阿司匹林小苏打可待因
每片价格
(元)
A(毫克/片)2510.1
B(毫克/片)1760.2
28毫克可待因，则两类药片最小总数是________，最低价格是________元．
解析：设A，B两种药片分别为x片和y片，
则有
??
?
??2x＋y≥12，
5x＋7y≥70，
x＋6y≥28，
x≥0，y≥0.
两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.
作出可行域如图所示，
作直线l：x＋y＝0.
将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，此时z取得最小值．
解方程组
??
?
??2x＋y＝12，
5x＋7y＝70，
得交点A的坐标为????
14
9
，80
9.
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且z取最小值时的直线是x＋y＝11，经过可行域内的整点是(1，10)，(2，9)，(3，8)，因此z的最小值为11，药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A
类药品3片、B 类药品8片时，药品价格最低． 答案：11 1.9
13．为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元
需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP260万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP200万元．已知该地为甲、乙两项目最多可投资3 000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，则要使增加的GDP 最大，需安排给甲、乙两项目的投资额分别为________、________．
解析：设甲项目投资x (单位：百万元)，乙项目投资y (单位：百万元)，两项目增加的GDP
为z ＝260x ＋200y ，依题意，x ，y 满足????
?x ＋y ≤30，
2x ＋4y ≤100，24x ＋32y ≥800，x ≥0，y ≥0，
所确定的平面区域如图中阴影部
分，
解?
????x ＋y ＝30，2x ＋4y ＝100，得?????x ＝10，y ＝20，即A (10，20)． 解?????x ＋y ＝30，24x ＋32y ＝800，得?????x ＝20，y ＝10，
即B (20，10)． 设z ＝0，得y ＝－1.3x ，
将直线y ＝－1.3x 平移至经过点B (20，10)，
即甲项目投资2 000万元，乙项目投资1 000万元时， 两项目增加的GDP 最大．
答案：2 000万元 1 000万元
14．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a 的钢条2根，长度为b
的钢条1根；或截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？ 解析：设按第一种切割方式切割的钢条x 根，按第二种切割方式切割的钢条y 根．
根据题意得约束条件是?????2x ＋y ≥15，
x ＋3y ≥27，
x ＞0，x ∈N ，y ＞0，y ∈N ，
目标函数是z ＝x ＋y ，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．
由?????2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得?????x ＝3.6，
y ＝7.8.
此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数，
所以点(3.6，7.8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z 最小的直线是x ＋y ＝12， 即z ＝12，满足该约束条件的(x ，y )有两个：
(4，8)或(3，9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．