【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：大题综合突破练3

突破练(三)

1．设函数f (x )＝sin ? ?

???ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图象的相邻对称轴

的距离为π.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝3

2，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值． 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋1

2cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －1

2cos ωx ＋1 ＝sin (ωx －π

6)＋1.

∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π. ∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.

∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (x －π

6)＋1. (2)由f (A )＝32，得sin (A －π6)＝1

2. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π

3. ∵S ＝1

2bc sin A ＝6 3. ∴12bc sin π

3＝63，bc ＝24.

由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π

3＝b 2＋c 2－24.∴b 2＋c 2＝52.

又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.

2．已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和为S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， (1)求p 的值及a n ；

(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若等比数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列{T n ＋1

6}为等比数列．

(1)解 由已知a 1＝S 1＝p ＋2，S 2＝4p ＋4即a 1＋a 2＝4p ＋4.∴a 2＝3p ＋2. 由已知a 2－a 1＝2，∴p ＝1，∴a 1＝3，又公差为2， ∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *.

(2)证明 在等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，∴q ＝3.

由b 3＝b 1·32，即3＝b 1·32，解得b 1＝1

3. ∴{b n }是以1

3为首项，3为公比的等比数列． ∴T n ＝13(1－3n )1－3＝16·(3n

－1)．

即T n ＋16＝16·3n ＝12·3n －1

. 又∵T 1＋16＝12，

T n ＋16

T n －1＋16

＝3，n ≥2，n ∈N *

. ∴数列{T n ＋16}是以1

2为首项，公比为3的等比数列．

3．为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂决定转产节能灯，现有A 、B 两种型号节能灯的生产线供选择．从这两种生产线生产的大量节能灯中各随机抽取100个进行质量评估，经检测，综合得分情况如下面的频率分布直方图：

产品级别划分以及利润如下表：

综合得分k 的范围

产品级别 产品利润(元/件)

k ≥85 一级 4 75≤k ＜85

二级

2

k＜75不合格－2

视频率为概率．

(1)估计生产A型节能灯的一级品率；

(2)估计生产一个B型节能灯的利润大于0的概率，并估计生产100个B型节能灯的平均利润．

解(1)由频率分布直方图知，A型节能灯的一级品的频率为0.044×5＋0.016×5＝0.3，所以生产A型节能灯的一级品率的估计值为0.3.

(2)由条件知，生产B型节能灯一个产品的利润大于0的概率当且仅当k≥75，由频率分布直方图知，k≥75的频率为0.96，所以生产B型节能灯一个产品的利润大于0的概率估计值为0.96.

生产100个B型节能灯的平均利润为

1

100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．

4．已知三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，A1在底面ABC 上的射影恰为AC的中点D.

(1)求证：AC1⊥BA1；

(2)求四棱锥A1－BCC1B1的体积．

(1)证明∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，

∴A1D⊥平面ABC.

∵A1D?平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.

∵BC⊥AC，平面A1AC∩平面ABC＝AC，

∴BC⊥平面A1AC.∵AC1?平面A1AC，∴BC⊥AC1.

易知四边形ACC1A1为平行四边形．

又∵AA1＝AC，∴四边形ACC1A1为菱形，

A1C⊥AC1，BC⊥AC1，又∵A1C∩BC＝C，

∴AC1⊥平面A1CB.

又∵BA1?平面A1CB，∴AC1⊥BA1.

(2)解 ∵VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1D ＝13×12×2×2×3＝23

3， VA 1B 1C 1－ABC ＝S △ABC ·A 1D ＝12×2×2×3＝23，

∴VA 1－BCC 1B 1＝VA 1B 1C 1－ABC －VA 1－ABC ＝23－233＝433.

5．在圆x 2＋y 2＝8上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，M 为垂线段PD 上的点，且满足|MD |＝2

2|DP |. (1)求点M 的轨迹方程；

(2)若直线l 与(1)中轨迹E 相交于不同两点A ，B ，且满足OA →⊥OB →

(O 为坐标原点)，求线段AB 长度的取值范围． 解 (1)设M (x ，y )，P (x 1，y 1)．

由|MD |＝2

2|DP |，得{ x 1＝x ，y 1＝2y ， 又∵P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝8上，

∴x 21＋y 21＝8，即x 2＋(2y )2

＝8.

∴点M 的轨迹E 的方程为x 28＋y 2

4＝1.

(2)(ⅰ)假设直线l 的斜率存在，其方程为y ＝kx ＋m .

联立{ y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2

＝8，

可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.

∴???

??

Δ＝64k 2－8m 2＋32＞0，

x 1

＋x 2

＝－4km 1＋2k 2

，

x 1x 2

＝2m 2

－8

1＋2k 2

，

(*)

∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0. 化简，可得(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 将(*)式代入，化简可得3m 2＝8k 2＋8. 又∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|

＝1＋k264k2－8m2＋32

1＋2k2

.

将m2＝8

3(k

2＋1)代入，可得

|AB|＝1＋k22×64k2

3＋

32

3

1＋2k2

＝

32

3

(1＋k2)(4k2＋1)

(1＋2k2)2

＝32

31＋

k2

1＋4k4＋4k2

＝32

31＋

1

1

k2＋4k

2＋4

≤2 3.

∴当且仅当k2＝1

2，即k＝±

2

2时等号成立．

又由

k2

1＋4k4＋4k2

≥0，∴|AB|≥

32

3＝

46

3.

∴46

3≤|AB|≤2 3.

(ⅱ)若直线l的斜率不存在，则易得|AB|＝46 3.

综上，得46

3≤|AB|≤2 3.

6．已知函数f(x)＝(x2－2ax＋a2)ln x，a∈R，

(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当a＝－1时，令F(x)＝

f(x)

x＋1

＋x－ln x，证明：F(x)≥－e－2(其中e为自然对

数的底数)；

(3)若函数f(x)不存在极值点，求实数a的取值范围．

解(1)当a＝0时，f(x)＝x2ln x(x＞0)，此时f′(x)＝2x ln x＋x＝x(2ln x＋1)．

令f′(x)＞0，解得x＞e－1

2；令f′(x)<0，解得0

1

2.

∴函数f(x)的单调递增区间为(e－1

2，＋∞)，单调递减区间为(0，e－

1

2)．

(2)F(x)＝

f(x)

x＋1

＋x－ln x＝x ln x＋x.

由F′(x)＝2＋ln x，得F(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增．∴F(x)≥F(e－2)＝－e－2.

(3)f′(x)＝2(x－a)ln x＋(x－a)2

x＝

x－a

x·(2x ln x＋x－a)．

令g(x)＝2x ln x＋x－a，则g′(x)＝3＋2ln x.

∴函数g(x)在(0，e－3

2)上单调递减，在(e－

3

2，＋∞)上单调递增．

∴g(x)≥g(e－3

2)＝－2e－

3

2－a.

①当a≤0时，∵函数f(x)无极值，∴－2e－3

2－a≥0.

解得a≤－2e－3 2.

②当a＞0时，g(x)min＝－2e－3

2－a＜0，即函数g(x)在(0，＋∞)存在零点，记

为x0.

由函数f(x)无极值点，易知x＝a为方程f′(x)＝0的重根，即x＝a也是2x ln x ＋x－a＝0的根．

∴2a ln a＋a－a＝0，即2a ln a＝0，a＝1.

当0＜a＜1时，x0＜1且x0≠a，函数f(x)的极值点为a和x0；

当a＞1时，x0＞1，且x0≠a，函数f(x)的极值点为a和x0；

当a＝1时，x0＝1，此时函数f(x)无极值．

综上，a≤－2e－3

2或a＝1.