2误差和数据处理思考习题答案

第2章误差和分析数据的处理

思考题

1．正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。

答：准确度表示分析结果的测量值与真实值接近的程度。准确度的高低，用误差来衡量，误差表示测定结果与真实值的差值。精密度是表示几次平行测定结果相互接近的程度。偏差是衡量测量结果精密度高低的尺度。

2．下列情况各引起什么误差，如果是系统误差，应如何消除？

（1）砝码腐蚀——会引起仪器误差，是系统误差，应校正法码。

（2）称量时试样吸收了空气中的水分——会引起操作误差，应重新测定，注意防止试样吸湿。

（3）天平零点稍变动——可引起偶然误差，适当增加测定次数以减小误差。

（4）天平两臂不等长——会引起仪器误差，是系统误差，应校正天平。

（5）容量瓶和吸管不配套——会引起仪器误差，是系统误差，应校正容量瓶。

（6）天平称量时最后一位读数估计不准——可引起偶然误差，适当增加测定次数以减小误差。

（7）以含量为98%的金属锌作为基准物质标定EDTA的浓度——会引起试剂误差，是系统误差，应做对照实验。

（8）试剂中含有微量被测组分——会引起试剂误差，是系统误差，应做空白实验。

（9）重量法测定SiO2时，试液中硅酸沉淀不完全——会引起方法误差，是系统误差，用其它方法做对照实验。

3．什么叫准确度，什么叫精密度？两者有何关系？

答：精密度是保证准确度的先决条件。准确度高一定要求精密度好，但精密度好不一定准确度高。系统误差是定量分析中误差的主要来源，它影响分析结果的准确度；偶然误差影响分析结果的精密度。

4．用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一个更合理？

答：标准偏差。

5．如何减少偶然误差？如何减少系统误差？

答：通过对照实验、回收实验、空白试验、仪器校正和方法校正等手段减免或消除系统误差。通过适当增加测定次数减小偶然误差。

6．某铁矿石中含铁39.16%，若甲分析结果为39.12%，39.15%，39.18%，乙分析得39.19%，39.24%，39.28%。试比较甲、乙两人分析结果的准确度和精密度。

答：甲分析结果的准确度和精密度都好于乙。

7．甲、乙两人同时分析同一矿物中的含硫量。每次取样3.5 g ，分析结果分别报告为：甲0.042%，0.041%；乙0.04199%，0.04201%。哪一份报告是合理的？为什么？

答：甲报告合理。因为试样质量只有2位有效数字，而乙报告结果却有4位有效数字，结果不可能有那样高的精度。 8．下列数值各有几位有效数字？

0.72，36.080，6.02×1023，100，1000.00，1.0×10-3，pH=5.2

答：0. 72——2位；36.080——5位；6.02×1023——3位；100——有效数字位数不确定； 1000.00——6位；1.0×10-3——2位，pH=5.2——1位。

习题答案

1．已知分析天平能称准至±0.1 mg ，要使试样的称量误差不大于0.1%，则至少要称取试样多少克？

答：∵

m 001

.02?≤0.1%，∴m S ≥2mg 。至少应称取2mg 试样。

2．某试样经分析测得含锰质量分数（%）为：41.24，41.27，41.23，41.26。求分析结果的平均偏差、标准偏差和变异系数。答： 25

.41=x

01504

.d d i i ==

∑

= 22

108.11

4-?=-=

∑i

d s %.%x

s r 040100=?=

3．某矿石中钨的质量分数（%）测定结果为：20.39，20.41，20.43。计算标准偏差及置信度为95%时的置信区间。

答： 41.20=x 02.01

=-=

∑i

d s ，

f=2，查表30.42,05.0=t )%05.041.20(±=±=-

s t

x μ

4．水中Cl - 含量，经6次测定，求得其平均值为35.2 mg·L -1，s = 0.7 mg·L -1, 计算置信度为90%平均值的置信区间。

答：5,6==f n ， 02.25,1.0=t ，2.35=-

x ，7.0=s

)..(n

s t

x 60235±=±=-

μ mg·

L -1 5．用Q 检验法，判断下列数据中，有无取舍？置信度为90%。（1）24.26，24.50，24.73，24.63；（2）6.400，6.416，6.222，6.408；（3）31.50，31.68，31.54，31.82．答：① 如24.26可疑，76.051.026

.2473.2426

.2450.24=<=--=表计Q Q 保留

如 24.73可疑，表计Q Q <=--=21.026

.2473.2463

.2473.24 保留

② 如6.222可疑，760920222

64166222

64006142.Q .....x x x x Q =>=--=--=

表计舍弃

如6.416可疑，表计Q x x x x Q <=--=--=

04.0222

.6416.6408

.6416.61434 保留

③同理，31.50保留，31.82保留

6．测定试样中P 2O 5质量分数（%），数据如下：8.44，8.32，8.45，8.52，8.69，8.38。用Grubbs 法对可疑数据决定取舍，求平均值、平均偏差、标准偏差和置信度为95%及99%的平均值的置信区间。

答：47.8=-

x 13.05

2==

∑i

如8.32可疑，).%(.G .s

.x G 941G 9982115132

8==<=-=

表表时，置信度为保留如8.69可疑，表G s

G <=-=

69.169.8 保留 09.06

∑-

i d d 95%置信度，f=5时，t=2.57 )%14.047.8(±=±=-

s t x μ

99%置信度，f=5时，t=4.03 )%21.047.8(±=±=-

x μ

7．有一标样，其标准值为0.123%，今用一新方法测定，得四次数据如下（%）：0.112，0.118，

0.115，0.119，判断新方法是否存在系统误差。（置信度选95%）答：116.0=-

x 003.03

∑i

18.367.44003

.0123

.0116.0=>=-=

表计t n s

x t μ

故：平均值与标准值有显著性差异，新方法存在系统误差。 8．用两种不同方法测得数据如下：

方法1： %13.0%,26.71,6111===s x n 方法2： %11.0,38.71,9222===s x n 判断两种方法间有无显著性差异？（置信度为95%）

答：82.440.122

1=<==表F s s F ，两组数据精密度无显著性差异

12.02

9611.0813.052

)1()1(2

2212

2211=-+?+?=

-+-+-=

n n s n s n S 合

表合

计t n n n n s x x t <=+-=

90.12

故：两种方法无显著性差异。

9．用两种方法测定钢样中碳的质量分数（%）：方法1：数据为4.08，4.03，3.94，3.90，3.96，3.99 方法2：数据为3.98，3.92，3.90，3.97，3.94

判断两种方法的精密度是否有显著差别。（置信度为95%）答：n 1=6，f 1=5，s 1=0.065 n 2=5，f 2=4，s 2=0.039

26.678.222

=<==

表小

大

t s

s F

故：两种方法精密度无显著性差异。

10．某试样经分析测得含锰百分率为41.24，41.27，41.23和41.26。①求分析结果的平均偏差和标准偏差；②计算平均值的标准偏差及置信度为95%时的置信区间；③若此样品是标准样品，含锰量为41.20%，计算以上测定结果的绝对误差和相对误差。

答：① 25.41=-

x 06.04

==∑-

i d d 018.03

)

∑i

d s

②009.0==

-n

s S x

)%03.025.41(±=±=-

s t

x μ

③ 050.x E =-=-

μ %12.0==μ

E r

11．计算下列结果

(1) 0001120

010

51421103....?? (2) 546231050789401425512285623......-??-+?

答：(1)2.98×106 ； (2)3.142

12．某学生标定HC1溶液的浓度时，得到下列数据：0.1011, 0.1010, 0.1012, 0.1016，根据4d 法，问第4次数据是否应保留？若再测定一次，得到0.1014，再问上面第四次数据应不应保留？

不舍弃。

所以第五个数据则

，，，分别为、已知得舍弃。

所以第四个数据则

，，，分别为、已知答：

101601084000401012010160108410214410211012

041014010120101001011010160106820005010110101601068210764410761011

0310120101001011044

14144

131.......d .n

d .n

X ,n ,....X X )b (.......d .n

d .n

X ,n ...X X )a (n

i i

----==----==?=-?=??=?=-=

=-?=-?=??=?=-=

=-∑∑∑∑

13．用格鲁布斯法判断，12题中第1次分析所得4次数据中是否有可疑值应舍去？计算平均结果及平均值的置信区间（置信度95%）。

答：10120.x =-

0002603

.d s i

∑

如0.1016可疑，46153110160.G .s

.G =>=-=

表舍弃 0.1011, 0.1010, 0.1012三数据的10110.x =-

，00010.s =，t=4.30

)%..(n

s t

x 0002010110±=±=-

14．要使在置信度为95%时平均值的置信区间不超过±s ，问至少应平行测定几次？

次

至少应测定，查表得时，当，查表得时，当，查表得时，当，查表得时，当，查表得时，当，查表得时，当必须要求答：77452561765725516578254154183531433045213271125112605050504050305020501050∴===-=====-=====-=====-=====-=====-==∴ .t %,n f n .t %,n f n .t %,n f n .t %,n f n .t %,n f n .t %,n f n n

t n

ts s ,.,.,.,.,.,.αααααα 15．某试样中铁的标准值为54.46%，某分析人员分析4次，得平均值54.26%，标准偏差s=0.05%，问在置信度为95%时，分析结果是否存在系统误差？

。

分析结果存在系统误差查表得答：已知表

∴==-==?-=

====t t .t ,n f %.%

.%.n s x t n %,.%,.s %,.x ,. 18

3318

4050465426544465405026543050μ

16．下列两组实验数据的精密度有无显著性差异（置信度90%）？

A ：9.56 9.49 9.62 9.51 9.58 9.63

B ：9.33 9.51 9.49 9.51 9.56 9.40

显著性差异。

组数据的精密度不存在和，查表得，则

，，，，，，分别为组中已知则

，，，，，，分别为组中答：已知表

表小大小

大B A F F .F f f ...s s F .n )X X

('s .n

'X n ......X X B .n )X X

(s .n

X n ......X X A n

i i

∴======

=--=

=-=--=

=-∑∑∑∑==== 0555522205700850085

4796409569519499519339057

56966395895196294995692

222

611

17．用A 法对试样进行了8次测定，标准偏差为0.25；用B 法对同一试样进行了5次测定，标准偏差为0.35。A 法精密度是否显著优于B 法？（置信度95%）

答：09.696.125

.035.02222

=<===

表小

大t s s F 故：A 法精密度不显著优于B 法。

18．在锥形瓶中用移液管移入25.00ml 未知碱溶液，用0.1105mol·L -1的HC1标准溶液滴定，到达终点时，消耗体积为24.78ml 。已知移液管校正值为-0.02ml ，滴定管读数校正值为+0.05ml ，HC1标准溶液浓度的校正值为-0.0002mol·L -1。求未知碱溶液的真实浓度和绝对误差。

答：11095.0-?==

L mol V V C C NaOH

HCl

HCl NaOH

移液管校正值为-0.02mL ，则其真实体积为25.00—（—0.02）=25.02mL 则mL E NaO H v 02.002.2500.25)(-=-=

同理：mL E H Cl V 05.0)(= mL E H Cl C 0002.0)(-=

∴

NaOH

vHCl

HCl vHCl HCl

HCl c NaOH c V E V E C E C

E -

)()

( %1.0%100)00

.2502

.078.2405.01105.00002.0(

=?++-=

∴1)(01095.0%1.01095.0-?=?=L mol E cNaO H 真实浓度1)(09855.0-?=-L mol E C cNaO H NaO H 19．设某痕量组分按下式计算分析结果：

G C

A mL g x -=

)/(μ

A 为测得值，C 为空白值，G 为试样重。已知S A =S C =0.1，S G =0.001，A=8.0，C=1.0，G=1.0，求S X 。

001000001006001000001010

10010011001006001080

100100810010108001010G

2222

222222

2...S S S S S S .)..()....(D )G S C

S (

S G S C S E S .)..()....(D )G S A S (S G S A

S D

S G C E ,G A D G C G A x .G ,.C ,.A ,.S ,.S S ,C

A x E D x E

D x G

C E G

G A D G

A D M C A =+=+=∴+==?+=?+

=?+=?+

=-=

======-= 则则设答：已知

20．返滴定测定试样中某组分含量，按下式计算：

100

10002)

(%21??-=

G M V V C x x

已知V 1=（25.00+0.02）ml ，V 2=（5.00+0.02ml ），G=（0.2000+0.0002）g ，求分析结果的极值相对误差。

%.....R

...V V D ...G

V V D g )..(G ,mL )..(V ,mL )..(V %

M )V V (C W R

V V D G

x 301032000

00002

000200400020005002504002002000020200000200050200025100G

232121212121=?=+=

∴

=-=-==+=+=+

-=±=±=±=?-=-εεεεεεε 则

设已知答：

误差和数据处理习题解答

第一章误差和数据处理习题解答 1、指出下列情况属于随机误差还是系统误差：（1）视差；（2）天平零点漂移；（3）千分尺零点不准；（4）照相底版收缩；（5）水银温度计毛细管不均匀；（6）电表的接入误差。解：（1）忽左忽右，属随机误差；（2）往单方向漂移属系统误差；随机漂移属随机误差；（3）属系统误差，应作零点修正；（4）属系统误差；（5）按随机误差处理；（6）属系统误差，可作修正。 2、说明以下因素的系统误差将使测量结果偏大还是偏小：（1）米尺因低温而收缩；（2）千分尺零点为正值；（3）测密度铁块内有砂眼；（4）单摆公式测重力加速度，没考虑θ≠0；（5）安培表的分流电阻因温度升高而变大。解：（1）使结果偏大；（2）使结果偏大，属系统误差，修正时应减去这正零点值；（3）使密度值偏小；（4）使结果偏小：当θ≠0时，单摆公式为： )2 sin 411(220θπ +=g l T 或 2220 2)2sin 1(4θπ+=T l g 若用θ=0的2 0204T l g π=近似，结果偏小；（5）分流电阻变大，分流变小，使结果偏大。 3、用物理天平（仪?=0.020g ）称一物体的质量m ，共称5次，结果分别为36.127g 、 36.122g 、36.121g 、36.120g 和36.125g 。试求这些数据的平均值、绝对不确定度和相对不确定度。解：36.12736.12236.12136.12036.12536.12336.1230 m g +++++== m S =0.0026g ，已知：仪? =0.020g ， 0.020u g ==?

误差理论与数据处理误差习题

误差理论与数据处理误差习题第一章绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。 1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为 m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。相对误差 0.01%110111±=± =mm m I μ 0.0082%11092±=± =mm m I μ %008.0150123±=± =mm m I μ 123I I I <<第三种方法的测量精度最高

误差及数据处理练习题及答案.doc

第 2 章误差及数据处理练习题及答案一、基础题 1、下列论述中正确的是：（） A、准确度高，一定需要精密度高； B、精密度高，准确度一定高； C、精密度高，系统误差一定小； D、分析工作中，要求分析误差为零 2、在分析过程中，通过（）可以减少随机误差对分析结果的影响。 A、增加平行测定次数 B、作空白试验 C、对照试验 D、校准仪器 3、下列情况所引起的误差中，不属于系统误差的是（） A、移液管转移溶液之后残留量稍有不同 B、称量时使用的砝码锈蚀 C、滴定管刻度未经校正 D、以失去部分结晶水的硼砂作为基准物质标定盐酸 4、下列有关随机误差的论述中不正确的是（A、随机误差是随机的；） B、随机误差的数值大小，正负出现的机会是均等的；C、随机误差在分析中是无法避免的； D、随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的 5、随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的、 2.050 × 10-2是几位有效数字（）。 A、一位 B 、二位 C 、三位D 、四位 6、用 25ml 移液管移出的溶液体积应记录为（）ml 。 A 、25.0B、 25 C、 25.00 D 、25.000 7、以下关于偏差的叙述正确的是（）。 A、测量值与真实值之差 B、测量值与平均值之差 C、操作不符合要求所造成的误差 D、由于不恰当分析方法造成的误差 8、分析测定中出现的下列情况，何种属于随机误差?() A、某学生几次读取同一滴定管的读数不能取得一致 B、某学生读取滴定管读数时总是偏高或偏低； C、甲乙学生用同样的方法测定，但结果总不能一致； D、滴定时发现有少量溶液溅出。 9、下列各数中，有效数字位数为四位的是（） A、c H 0.0003mol L 1 B、pH=10.42 C、 W(MgO ) 19.96% D、0. 0400

误差理论与数据处理实验报告

《误差理论与数据处理》实验指导书姓名学号机械工程学院 2016年05月

实验一误差的基本性质与处理一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);

p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1

误差和分析数据处理

第二章误差和分析数据处理第一节概述定量分析的任务是要准确地解决“量”的问题，但是定量分析中的误差是客观存在的，因此，必须寻找产生误差的原因并设法减免，从而提高分析结果的可靠程度，另外还要对实验数据进行科学的处理，写出合乎要求的分析报告。第二节测量误差一、绝对误差和相对误差 1. 绝对误差测量值与真实值之差称为绝对误差。δ = x - μ 2. 相对误差绝对误差与真值的比值称为相对误差。 %100%100?-=?μ μμδ x 若真实值未知，但δ 已知，也可表示为 %100?x δ 3. 真值与标准参考物质理论真值：如某化合物的理论组成等。约定真值：如国际计量大会上确定的长度、质量、物质的量单位等。相对真值：如标准参考物质的含量。标准参考物质：经权威机构鉴定并给予证书的，又称标准试样。实际工作中，常把最有经验的人用最可靠的方法对标准试样进行多次测定所得结果的平均值作为真值的替代值。二、系统误差和偶然误差 1. 系统误差（可定误差）由某种确定的原因引起，一般有固定的方向，大小在试样间是恒定的，重复测定时重复出现。

按系统误差的来源分类：方法误差、仪器或试剂误差、操作误差。方法误差：滴定分析反应进行不完全、干扰离子的影响、滴定终点与化学计量点不符、副反应的发生、沉淀的溶解、共沉淀现象、灼烧时沉淀的分解或挥发。仪器或试剂误差：砝码、容量器皿刻度不准、试剂中含有被测物质或干扰物质。操作误差：称样时未注意防止吸湿、洗涤沉淀过分或不充分、辨别颜色偏深（浅）、读数偏高（低）。按系统误差的数值变化规律分类：恒定误差、比例误差。系统误差可用加校正值的方法予以消除。 2. 偶然误差（随机误差、不可定误差）由于偶然的原因如温度、湿度波动、仪器的微小变化、对各份试样处理时的微小差别等引起，其大小和正负都不固定。偶然误差服从统计规律，可用增加平行测定次数加以减免。三、准确度和精密度 1. 准确度与误差准确度表示分析结果与真实值接近的程度。准确度的大小用绝对误差或相对误差表示。评价一个分析方法的准确度常用加样回收率衡量。 2. 精密度与偏差精密度表示平行测量的各测量值之间互相接近的程度。精密度的大小可用偏差、相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差表示。重复性与再现性是精密度的常见别名。偏差：d = x i - x 平均偏差： n x x d n i i ∑=-=1 相对平均偏差： %100/)(%1001?-=?∑=x n x x x d n i i 标准偏差（标准差）： 1 )(1 2 --= ∑=n x x S n i i

费业泰误差理论与数据处理课后答案全

《误差理论与数据处理》练习题参考答案第一章绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。相对误差= 0.3 100%0.3%100.5 -?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2 （h 1 +h 2 ）/T 2 给定。今测出长度（h 1 +h 2 ）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1 +h 2 ）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2 ，T 的测量必须精确到多少？【解】测得（h 1 +h 2 ）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。由2 1224()g h h T π=+,得： 22 2 4 1.042309.81053(/)2.0480 g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为： 22 12121223122 1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T h h T T T T h h h h T T πππ???=?++?=?+-+??+??= ?+-+

22 23224842()g g g h T h h T h T T T T h h T T πππ???=?+?=?-????=?- g 的最大相对误差为： 2 222 2 2 2212 4422[] []244() 0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480 T T h h h h g h T T T T T g h T h h h T T ππππ???- ?-???== =-+±?±=-?≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ?< 也即 21212242[()()]0.001T g h h h h T T π??=?+- +< 22 420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106 T T T π?±-?<±-?< 求得： 0.00055()T s ?< 1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为： 2 2%100 m m m U r U = == 由于： 2%<2.5% 所以该电压表合格。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：多级火箭的相对误差为：射手的相对误差为： %001.000001.010000 1 .0==%002.00002.05001.0501===m m m cm

实验误差及数据处理习题

误差理论与数据处理学号: ____________ 姓名: __________ 专业: _____________ 评分: _______ 上课时间: 第____周星期____上午[ ]下午[ ]晚上[ ] 请将1-24小题的答案对应地填在下表中一、单选题（每小题3分，共36分）。 1.采用“四舍六入五单双”法，将下列各数据取为2位有效数字（修约间隔为0.1），其结果正确的是： A. 2.750→2.7 B. 2.650→2.6 C. 2.65001→2.6 D. 2.6499→2.7 2.自然数6的有效数字位数为： A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 无穷位 3.L=0.1010m的有效数字位数为： A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4.V=2.90×103m/s的有效数字位数为： A. 3位 B. 5位 C. 6位 D. 7位 5.下列单位换算正确的是： A. 0.06m=60mm B. 1.38m=1380mm C. 4cm=40mm D. 5.0mm=0.50cm 6.用有效数字运算法则计算123.98－40.456+ 7.8，其结果正确的是： A. 91.324 B. 91.3 C. 91.32 D. 91 7.用有效数字运算法则计算271.3÷0.1和3.6×4.1，其结果正确的是： A. 3×103和14.8 B. 3×103和15 C. 2712和14.76 D. 2712和15 8.用有效数字运算法则计算 4.0345 +38.1 9.0121-9.011 ，其结果正确的是： A. 3705.827 B. 370.8273 C. 3705.8 D. 4×103

误差理论与数据处理知识总结

第一章绪论 1.1研究误差的意义 1.1.1研究误差的意义为： 1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差 2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据 3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。1.2误差的基本概念 1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。 1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。 1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。 1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。 1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差 1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。 1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。 1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。 1.3精度 1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。 1.3.2精度可分为： 1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度 2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度 3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。 1.4有效数字与数据运算 1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。 1.4.3数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整： 1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一 2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变 3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。 1.4.4数据运算规则： 1）在近似数加减运算时，运算数据以小数位数最少的数据位数为准 2）在近似数乘除运算、平方或开方运算时，运算数据以有效位数最少的数据位数为准 3）在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。第二章误差的基本性质与处理 2.1随机误差 2.1.1随机误差的产生原因：1）测量装置方面的因素 2）环境方面的因素 3）人员方面的因素。 2.1.2随机误差一般具有以下几个特性：对称性，单峰性，有界性，抵偿性。 2.1.3正态分布：服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征，由于多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。

误差和分析数据处理习题

第二章误差和分析数据处理习题一、最佳选择题 1. 如果要求分析结果达到0.1%的准确度，使用灵敏度为0.1mg的天平称取试样时，至少应称取（） A. 0.1g B. 0.2g C. 0.05g D. 0.5g 2. 定量分析结果的标准偏差代表的是（）。 A. 分析结果的准确度 B. 分析结果的精密度和准确度 C. 分析结果的精密度 D. 平均值的绝对误差 3. 对某试样进行平行三次测定，得出某组分的平均含量为30.6% ，而真实含量为30.3% ，则30.6%-30.3%=0.3% 为（） A. 相对误差 B. 绝对误差 C. 相对偏差 D. 绝对偏差 4. 下列论述正确的是：（） A. 准确度高，一定需要精密度好； B. 进行分析时，过失误差是不可避免的； C. 精密度高，准确度一定高； D. 精密度高，系统误差一定小； 5. 下面哪一种方法不属于减小系统误差的方法（） A. 做对照实验 B. 校正仪器 C. 做空白实验 D. 增加平行测定次数 6. 下列表述中,最能说明系统误差小的是( ) A. 高精密度 B. 与已知的质量分数的试样多次分析结果的平均值一致 C. 标准差大 D. 仔细校正所用砝码和容量仪器等 7. 用下列何种方法可减免分析测定中的系统误差（） A. 进行仪器校正 B. 增加测定次数 C. 认真细心操作 D. 测定时保证环境的湿度一致 8. 下列有关偶然误差的论述中不正确的是（） A．偶然误差是由一些不确定的偶然因素造成的； B．偶然误差出现正误差和负误差的机会均等； C．偶然误差在分析中是不可避免的； D．偶然误差具有单向性

9. 滴定分析中出现下列情况，属于系统误差的是：（） A. 滴定时有溶液溅出 B. 读取滴定管读数时，最后一位估测不准 C. 试剂中含少量待测离子 D. 砝码读错 10. 某一称量结果为0.0100mg, 其有效数字为几位？（） A . 1 位 B. 2 位 C. 3 位 D. 4 位 11. 测的某种新合成的有机酸pK a值为12.35，其K a值应表示为（） A. 4.467×10 -13； B. 4.47×10 -13； C.4.5×10 -13； D. 4×10 -13 12. 指出下列表述中错误的表述( A ) A. 置信水平愈高,测定的可靠性愈高 B. 置信水平愈高,置信区间愈宽 C. 置信区间的大小与测定次数的平方根成反比 D. 置信区间的位置取决于测定的平均值 13. 下列有关置信区间的描述中，正确的有：（ A ） A. 在一定置信度时，以测量值的平均值为中心的包括真值的范围即为置信区间 B. 真值落在某一可靠区间的几率即为置信区间 C. 其他条件不变时，给定的置信度越高，平均值的置信区间越宽 D. 平均值的数值越大，置信置信区间越宽 14. 分析测定中，使用校正的方法，可消除的误差是( )。 A. 系统误差 B. 偶然误差 C. 过失误差 D. 随即误差 15. 关于t分布曲线和正态分布曲线形状的叙述，正确的是：( ) A. 形状完全相同，无差异； B. t分布曲线随f而变化，正态分布曲线随u而变； C. 两者相似，而t分布曲线随f而改变； D. 两者相似，都随f而改变。 16. ) 457 .2 1. 17 /( ) 25751 .0 83 .2 5. 472 (+ ? ? = y的计算结果应取有效数字的位数是( ) A. 3位 B. 4位 C. 5位 D. 6位 17. 以下情况产生的误差属于系统误差的是( )。 A. 指示剂变色点与化学计量点不一致； B. 滴定管读数最后一位估测不准； C. 称样时砝码数值记错； D. 称量过程中天平零点稍有变动。 18. 下列数据中有效数字不是四位的是( )。 A. 0.2400 B. 0.0024 C. 2.004 D. 20.40 19. 在定量分析中,精密度与准确度之间的关系是( )。

误差理论与数据处理版课后习题答案完整版

《误差理论与数据处理》(第六版)完整版第一章绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。 1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为 m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。相对误差 0.01%110111±=± =mm m I μ 0.0082%11092±=±=mm m I μ %008.0150123±=±=mm m I μ 123I I I <<第三种方法的测量精度最高

第四章误差与实验数据的处理-答案

第四章误差与实验数据的处理练习题参考答案 1. 下列各项定义中不正确的是( D) （A）绝对误差是测定值和真值之差（B）相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率（C）偏差是指测定值与平均值之差（D）总体平均值就是真值 2. 准确度是（分析结果）与（真值）的相符程度。准确度通常用（误差）来表示，（误差）越小，表明分析结果的准确度越高。精密度表示数次测定值（相互接近）的程度。精密度常用（偏差）来表示。（偏差）越小，说明分析结果的精密度越高。 3. 误差根据其产生的原因及其性质分为系统误差和（随机误差）两类。系统误差具有（重复性）、（单向性）和（可测性）等特点。 4. 对照试验用于检验和消除（方法）误差。如果经对照试验表明有系统误差存在，则应设法找出其产生的原因并加以消除，通常采用以下方法：（空白试验），（校准仪器和量器），( 校正方法)。 5. 对一个w(Cr)=%的标样，测定结果为%，%，%。则测定结果的绝对误差为（－%），相对误差为（－%）。 6. 标准偏差可以使大偏差能更显著地反映出来。（√） 7. 比较两组测定结果的精密度（B）甲组：％，％，％，％，％乙组：％，％，％，％，％（A）甲、乙两组相同（B）甲组比乙组高（C）乙组比甲组高（D）无法判别 8. 对于高含量组分（>10%）的测定结果应保留（四）位有效数字；对于中含量组分（1%～10%）的测定结果应保留（三）位有效数字；对于微量组分（<1%）的测定结果应保留（两）位有效数字。 9. 测定的精密度好，但准确度不一定好，消除了系统误差后，精密度好的，结果准确度就好。（√） 10. 定量分析中，精密度与准确度之间的关系是( C) （A）精密度高，准确度必然高（B）准确度高，精密度也就高（C）精密度是保证准确度的前提（D）准确度是保证精密度的前提 11. 误差按性质可分为（系统）误差和（随机）误差。 12. 下列叙述中错误的是( C)

“误差分析和数据处理”习题及解答

“误差分析和数据处理”习题及解答 1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？（1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。 2．将下列数据舍入到小数点后3位： 3.14159； 2.71729； 4.510150； 3.21650； 5.6235； 7.691499。答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： 3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。 3．下述说法正确否？为什么？（1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即 ()1 2 m m m = +左右（2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm 及10.54 cm ，因此测量误差为0.01 cm 。答：（1）错。等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即 2 r 1 l m m l = 当l 1 = l 2时，m = m r 。当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即 1 l 2 l m m l = 将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得 m = 这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。（2）错。有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。 4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。

误差理论与数据处理第六课后习题第一章答案

《误差理论与数据处理》第一章 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值，即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。1-9、解：由 2 12 2 4() h h g T π+ =，得对 2 12 2 4() h h g T π+ =进行全微分，令 12 h h h =+，并令g，h，T代替dg，dh，dT得 2 180 20 00 180'' = -'' 'o o % 000031 .0 1 0000030864 .0 64800 2 06 60 180 2 180 2 ≈ = '' '' '' ? ? '' = '' ＝ o

《误差理论与数据处理(第6版)费业泰》课后习题答案

《误差理论与数据处理》练习题第一章绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。相对误差=0.3 100%0.3%100.5-?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2 （h 1 +h 2 ）/T 2 给定。今测出长度（h 1 +h 2 ）为（1.04230 ±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1 +h 2 ）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2 ，T 的测量必须精确到多少？【解】测得（h 1 +h 2 ）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。由2 1224()g h h T π=+,得： 22 2 4 1.042309.81053(/)2.0480 g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为： 22 12121223122 1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T h h T T T T h h h h T T πππ???=?++?=?+-+??+??= ?+-+ 22 23224842()g g g h T h h T h T T T T h h T T πππ???=?+?=?-????=?- g 的最大相对误差为：

误差理论及数据处理-复习题及答案

《误差理论与数据处理》一、填空题（每空1分，共20分） 1．测量误差按性质分为_____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2．随机误差的统计特性为________、________、________和________。答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。答案：04″，3.1*10-5 4．在实际测量中通常以被测量的、、作为约定真值。答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：、、、、。测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是________。 5g-0.1mg 7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和

_________来表示。标准差极限误差 8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。引用 9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω,标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。 0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15) 10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。平均值 11．替代法的作用是_________，特点是_________。消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V ，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 79.830.02 V*2.58 13．R 1 ＝150 ， R 1 ＝ 0.75 ；R 2 ＝100 ， R 2 ＝ 0.4 ，则两电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。 36.0)100150(150)(16.0)100150(100)(222212122 2 221221=+=+=??=+=+=??R R R R R R R R R R R=R1*R2/(R1+R2), R=264.04.0*36.075.0*16.022 11±=+=???+???R R R R R R

第三章误差和分析数据的处理习题答案

第三章误差和分析数据的处理思考题与习题 1．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？（1）砝码被腐蚀；（2）天平的两臂不等长；（3）容量瓶和移液管不配套；（4）试剂中含有微量的被测组分；（5）天平的零点有微小变动；（6）读取滴定体积时最后一位数字估计不准；（7）滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；（8）标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸收了CO 2。答:（1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。（2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。（3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。（4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。（5）随机误差。（6）系统误差中的操作误差。减免的方法：多读几次取平均值。（7）过失误差。（8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 2．如果分析天平的称量误差为±0.2mg ，拟分别称取试样0.1g 和1g 左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？解：因分析天平的称量误差为±0.2mg 。故读数的绝对误差Ea =±0.0002g 根据%100×Τ Ε= Εa r 可得 %2.0%1001000.00002.01.0±=×±= Εg g g r %02.0%1000000.10002.01±=×±= Εg g g r 这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当称取的样品的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。 3．滴定管的读数误差为±0.02mL 。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？解：因滴定管的读数误差为±0.02mL ，故读数的绝对误差Ea =±0.02mL 根据%100×Τ Ε=Εa r 可得 %1%100202.02±=×±=ΕmL mL mL r %1.0%1002002.020±=×±=ΕmL mL mL r

误差理论与数据处理实验报告要点

误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350 班级：11级计测1班指导老师：陈益民

实验一误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...n i n i l l l l x n n =++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。 i v = i l -x i l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差） 2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。残余误差代数和为： 1 1 n n i i i i v l nx ===-∑∑ 当x 为未经凑整的准确数时，则有：1 n i i v ==∑0 1）残余误差代数和应符合：

当 1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1 n i i v =∑为零；当 1n i i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1 n i i v =∑为正；其大小为求x 时的余数。当 1n i i l =∑