第10章 作业答案(最新修改)

第10章 振动与波

10-13 一简谐振动的运动方程为，求圆频率ω、频率ν、周期T 、振幅A 和初相位?。 分析：可采用比较法求解。将题给运动方程与简谐运动方程的一般式)cos(?ω+=t A x 作比较，即可求得各量。

解：将

0.02cos(8)4

x t π

π=+与)cos(

?ω+=t A x 比较，可得 m A 02.0=，s rad /8πω=，4

π

?=

s T 41822==

=

ππω

π

，11

41

4

z H T ν=== 10-14 一边长为a 的正方形木块浮于静水中，其浸入水中部分的高度为a/2，用手轻轻地把木块下压，使之浸入水中的部分高度为a ，然后放手，试证明，如不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和频率。

分析：要证明木块作简谐运动，需要分析木块在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F 与位移x 间的关系，如果满足F kx =-，则木块作简谐运动。通过F kx =-即可求得振动周期k m T πωπ

22==和频率

m k T πν211==。

证：木块处于平衡状态时，2

02

a

mg F mg ga

ρ-=-=浮力。当木块上下作微小振动时，取木块处于力平衡时的质心位置为坐标原点O ，竖直向下为x 轴正向。则当木 块向下偏移x 位移时，

则木块所受合外力为

22

2()2a d d x

F mg ga x m m dt dt υρ=-+==∑

23232

21122d x ga ga x ga ga x m dt

ρρρρ=--=-= 式中令2

2

ga m

ρω=

是一常数。

可得木块运动的微分方程为

2220d x

x dt

ω+= 这表明木块在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动。

由于2

2

ga m

ρω=

（3

2

1a m ρ=

），可得其振动周期和频率分别为

g a

T 222π

ω

π

==，a

g

T 2211πν== 10-15 已知简谐振动图线如图所示，求谐振动方程及速度表达式。 解 由振动图线知：m A 02.0=

当0=t 时，m x 01.00-=；当s t 2=时，0=x 。 将0=t ，m x 01.00-=代入cos()x A t ω?=+，得：

?cos 02.001.0=-，即

5.0cos -=?，则3

2π?±

= 又0=t 时，0sin u A ω?=-，由图知00u >，要求

sin 0?<

所以：3

2π?-

= 将s t 2=,0=x 代入cos()x A t ω?=+，得 )3

22cos(02.00πω-?= 即：0)322cos(=-

πω， 则2232

ππ

ω-=± 又因2

sin(2)03

u A ωωπ=-->，则2sin(2)03

π

ω-< 故：2322ππω-=-

，所以：(/)12

rad s π

ω= 谐振动方程为：))(3

212

cos(

02.0m t x π

π

-

= 速度表达式为：20.005sin(

)(/)12

3

u t m s π

π

=--

10-16 简谐振动的角频率为s rad /10，开始时在位移为7.5cm ，速度为0.75m/s ，速度方

向与位移(1)一致；(2)相反。分别求这两种情况下的振动方程。

分析 在角频率ω已知的条件下，确定振幅A 和初相?是求解简谐运动方程的关

键。

解 由题意知，1

10-=rads ω。当0=t 时，cm x 5.70=，075u = cm/s 。

振幅：

2

222

075(

)(7.5)(

)10.6()10

u A x cm ω

=+=+= 初相：

0075arctan(

)arctan()107.54

u x π

?ω--===-?

(1) 速度方向与位移一致时

0sin 0u A ω?=->

得到初相：4

π

?-

=

振动方程为：))(4

10cos(6.10cm t x π

-

=

(2) 速度方向与位移相反时：0sin 0u A ω?=-< 得到初相：4

π

?=

振动方程为：))(4

10cos(6.10cm t x π

+

=

10-17 一质量m 0.02kg =的小球作简谐振动，速度的最大值max 0.030m /s u =，振幅A=0.020m ，当t 0=时，u =0.030m/s 。试求：

（1） 振动的周期； （2） 谐振动方程；

（3）t=0.5s 时，物体受力的大小和方向。 解：(1)根据速度的最大值公式max u A ω=，得

max 0.03

1.5()0.02

u rad s A ω=

==

则周期：)(2.45

.122s T ==

=

π

ω

π

（2）由000.03sin 0.03sin t u A ω??===-=-时， sin 1?=-，故 2

π

?=-

谐振动方程为：0.02cos(1.5)2

x t π

=-

（m ）

(3)将0.5t s =代入加速度公式)cos(2

?ωω+-=t A a ，得

223

(1.5)0.02cos(1.50.5)0.045sin ()24m a s π=-??-=-

物体受力的大小为：4

330.02(0.045)sin 910sin ()44

F ma N -==?-=-?

方向与位移相反。

10-18 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2

210A m -=?，周期T=0.50s ．当t=0时， （1）物体在正方向端点；

（2）物体在平衡位置，向负方向运动；

（3）物体在2

1.010x m -=?处，向负方向运动；

（4）物体在2

1.010x m -=-?向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。