九年级数学二次函数知识点总结及例题
二次函数知识点总结
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质:
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质:
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,
; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,
处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?,其中2424b ac b h k a a -=-=
,. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.
当2b
x a
<-时,y 随x 的增大而减小; 当2b
x a
>-
时,y 随x 的增大而增大; 当2b
x a
=-时,y 有最小值244ac b a -.
2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.当2b
x a <-
时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值244ac b a -.
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);
2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
3. 两根式(交点式):12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只
有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴.(同左异右 b 为0对称轴为y 轴) 3. 常数项c
⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.
九、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:
① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,
,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根..
② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点;
③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'
当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.
2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数2
47y x x =--的顶点坐标是( )
A.(2,-11)
B.(-2,7)
C.(2,11)
D. (2,-3) 2. 把抛物线2
2y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是( )
A. 2
2(1)y x =-+ B. 2
2(1)y x =-- C. 2
21y x =-+ D. 2
21y x =-- 3.函数2
y kx k =-和(0)k
y k x
=
≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
4.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C. 3个
D. 4个
5.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),
由图象可知关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==
和( )
A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 7.方程2
2
2x x x
-=
的正根的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. 22y x x =--
B. 2
2y x x =-++
C. 2
2y x x =--或2
2y x x =-++ D. 2
2y x x =---或2
2y x x =++
二、填空题
9.二次函数2
3y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______。
10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______.
11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当x <0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。
12.抛物线2
2(2)6y x =--的顶点为C ,已知直线3y kx =-+过点C ,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数2
241y x x =--的图象是由2
2y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB 上离中心M 处5米的地方,桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题:
15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,5
2
-). (1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后,其上升高度h (米)和时间t (秒)符合关系式2
012
h v t gt =- (0 计算.这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升, (1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米? 第15题图 (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由. 17.如图,抛物线2 y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ,此抛物线与x 轴的另一个交点为C ,抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式; (2)点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ?:ACD S ?=5 :4的点P 的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x (元),该经销店的月利润为y (元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y 与x 的函数关系式(不要求写出x 的取值范围); (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由. 二次函数应用题训练 1、心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (分)之间满足函数关系:y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0≤x ≤30). (1)当x 在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强?当x 在什么范围内时,学生的接受能力逐步减弱? (2)第10分钟时,学生的接受能力是多少? (3)第几分钟时,学生的接受能力最强? 2、如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上. 问矩形DEFG 的最大面积是多少? F E B G D A 3、如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 开始,沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少? B Q C P A 4、如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式; (2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少. 5、如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为x m. (1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m? (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m?比较(1)(2) 的结果,你能得到什么结论? 6、某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系:m=140-2x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少? 二次函数专题复习 图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系 1、已知二次函数2y ax bx c =++,如图所示,若0a <,0c >,那么它的图象大致是 ( ) y y y y x x x x A B C D 2、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如下, 则下列结论正确的是 ( ) A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论: ① a>0;②c>0;?③b 2-4ac>0,其中正确的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1,则点M (b ,c a )在( ) A .第一象限 B .第二象限 y x C .第三象限 D .第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示,则( ) A 、0a >,240b ac -< B 、0a >,2 40b ac -> C 、0a <,240b ac -< D 、0a <,2 40b ac -> 7、已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,那么下列判断不正确的是( ) A 、ac <0 B 、a-b+c >0 C 、b=-4a D 、关于x 的方程ax 2 +bx+c=0的根是x 1=-1,x 2=5 8、已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①b 2 -4ac >0; ②abc >0; ③8a+c >0; ④9a+3b+c <0 其中,正确结论的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二次函数对应练习试题参考答案 一,选择题、 1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C 二、填空题、 9.4b =- 10.x <-3 11.如2 24,24y x y x =-+=+等(答案不唯一) 12.1 13.-8 7 14.15 三、解答题 15.(1)设抛物线的解析式为2bx c y ax ++=,由题意可得 解得15,3,22a b c =-=-=- 所以215 322 y x x =--- (2)1x =-或-5 (2)3x <- 16.(1)由已知得,21 1520102 t t =- ??,解得123,1t t ==当3t =时不合题意,舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米.(2)由题意得,2 520h t t =-+=2 5(2)20t --+,可知顶点的横坐标2t =,又抛物线 开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升. 17.(1)直线3y x =-与坐标轴的交点A (3,0),B (0,-3).则9303b c c +-=?? -=-?解得2 3b c =-??=? 所以此抛物线解析式为2 23y x x =--.(2)抛物线的顶点D (1,-4),与x 轴的另一个交点C (-1, 0).设P 2 (,23)a a a --,则211(423):(44)5:422 a a ??--??=.化简得2 235a a --= 当223a a -->0时,2 235a a --=得4,2a a ==- ∴P (4,5)或P (-2,5) 32652b a a b c c ?-=-?? ++=-???=- ? 当223a a --<0时,2235a a -++=即2 220a a ++=,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(-2,5). 18.(1)5.710 24026045?-+ =60(吨).(2)260(100)(457.5)10x y x -=-+?,化简得: 23315240004y x x =-+-. (3)240003154 3 2-+-=x x y 23(210)90754x =--+. 红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元. (4)我认为,小静说的不对. 理由:方法一:当月利润最大时,x 为210元,而对于月销售额 )5.71026045(?-+ =x x W 23(160)192004 x =--+来说, 当x 为160元时,月销售额W 最大.∴当x 为210元时,月销售额W 不是最大.∴小静说的不对. 方法二:当月利润最大时,x 为210元,此时,月销售额为17325元; 而当x 为200元时,月销售额为18000元.∵17325<18000, ∴当月利润最大时,月销售额W 不是最大.∴小静说的不对. 二次函数应用题训练参考答案 1、 (1)0≤x ≤13,13<x ≤30;(2)59;(3)13. 2、过A 作AM⊥BC 于M,交DG 于N,则 =16cm. 设DE=xcm,S 矩形=ycm 2,则由△ADG∽△ABC, 故 AN DG AM BC =,即161624x DG -= ,故DG=3 2 (16-x). ∴y=DG·DE=32(16-x)x=-32(x 2-16x)=-3 2 (x-8)2+96, 从而当x=8时,y 有最大值96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2. 3、设第t 秒时,△PBQ 的面积为ycm 2.则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm; 又BQ=2t.∴y=12 PB ·BQ=12 (6-t)·2t=(6-t)t=-t 2+6t=-(t-3)2+9, 当t=3时,y 有最大值9. 故第3秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是9cm 2. 4、解:(1)设抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c . 由图知图象过以下点:(0,3.5),(1.5,3.05). ??? ??==-=? ?? ????++===-. 5.3,0,2.0,5.15.105.3, 5.3,022c b a c b a c a b 得 ∴抛物线的表达式为y =-0.2x 2+3.5. (2)设球出手时,他跳离地面的高度为h m ,则球出手时,球的高度为 h +1.8+0.25=(h +2.05) m, ∴h+2.05=-0.2×(-2.5)2+3.5, ∴h=0.2(m). 5、解:(1)依题意得 鸡场面积y =-.3 50 312x x +- ∵y =-31x 2+350x =3 1 -(x 2-50x ) =-3 1 (x -25)2+3625, ∴当x =25时,y 最大=3 625 , 即鸡场的长度为25 m 时,其面积最大为 3625m 2 . (2)如中间有几道隔墙,则隔墙长为n x -50m. ∴y =n x -50·x =-n 1x 2+n 50x =-n 1(x 2-50x ) =-n 1 (x -25)2+n 625, 当x =25时,y 最大=n 625 , 即鸡场的长度为25 m 时,鸡场面积为n 625 m 2 . 结论:无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,其长都是25 m. 6、解:(1)y =-2x 2+180x -2800. (2)y =-2x 2+180x -2800 =-2(x 2-90x )-2800 =-2(x -45)2+1250. 当x =45时,y 最大=1250. ∴每件商品售价定为45元最合适,此销售利润最大,为1250元. 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 二次函数一、二次函数的几何变换 二、二次函数的图象和性质 (Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质 (Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质 (Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响 三、待定系数法求二次函数的解析式 1、一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式。 2、顶点式:()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。 3、交点式:已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=。 4、顶点在原点,可设解析式为y=ax 2 。 5、对称轴是y 轴(或者顶点在y 轴上),可设解析式为y= ax 2 +c 。 6、顶点在x 轴上,可设解析式为()2 h x a y -=。 7、抛物线过原点,可设解析式为y=ax2+bx 。 四、抛物线的对称性 1、抛物线与x 轴有两个交点(x 1,0)(x 2,0),则对称轴为x= 2x x 2 1+。 2、抛物线上有不同的两个交点(m ,a )(n,a ),则对称轴为x=2 n m +。 3、抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0)与y 轴交点关于对称轴的对称点为(a b -, c)。 五、二次函数与一元二次方程的关系 对于抛物线c bx ax y ++=2 (a ≠0),令y=0,即为一元二次方程02=++c bx ax ,一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。要分三种情况: 1、 判别式△=b 2 -4ac >0?抛物线与x 轴有两个不同的交点(a b 24ac b -2+,0) (a b 24ac b --2,0)。有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ,x 1·x 2= a c 。 2、 判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴有一个交点(a b 2-,0)。 3、 判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴无交点。 六、二次函数与一元二次不等式的关系 1、a >0:(1)02>c bx ax ++的解集为:x <x 1或x >x 2(x 1<x 2)。 (2)02 <c bx ax ++的解集为:x 1<x <x 2(x 1<x 2)。 2、a <0:(1)02>c bx ax ++的解集为:x 1<x <x 2(x 1<x 2)。 (2)02 <c bx ax ++的解集为:x <x 1或x >x 2(x 1<x 2)。 七、二次函数的应用 1、面积最值问题。 2、长度、高度最值问题。 3、利润最大化问题。 4、利用二次函数求近似解。 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 新人教版九年级上二次函数知识点总结 知识点一:二次函数的定义 1.二次函数的定义: 一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数.2y ax bx c =++a b c ,,0a ≠其中是二次项系数,是一次项系数,是常数项. a b c 知识点二:二次函数的图象与性质抛物线的三要素:开口、对称轴、顶 ??点 2. 二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+(1)二次函数基本形式的图象与性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小 2y ax = (2)的图象与性质:上加下减 2y ax c =+ (3)的图象与性质:左加右减 ()2 y a x h =- (4)二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+ 3. 二次函数的图像与性质 c bx ax y ++=2 (1)当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为. 0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ,当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最小值 .y 2 44ac b a - (2)当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为. 0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ,当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值 .y 2 44ac b a - 4. 二次函数常见方法指导 (1)二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图 五点绘图法(列表-描点-连线) 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,与y 轴的交点,顶点.(2)二次函数图象的平移平移步骤: ①将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;()2 y a x h k =-+()h k ,② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下: 2 ax 【【【(h <0)【【【 【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 平移规律:概括成八个字“左加右减,上加下减”.(3)用待定系数法求二次函数的解析式①一般式:.已知图象上三点或三对、 的值,通常选择一般式. ②顶点式:.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. ③交点式: .已知图象与轴的交点坐标 、 ,通常选择交点式. (4)求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法:,∴顶点是,对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=),(a b ac a b 4422--是直线.a b x 2- =②配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(, ()k h x a y +-=2 h ),对称轴是直线. k h x = 浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a 不为零,那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 【例1】、已知函数y=x 2 -2x-3, (1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图; (2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: (3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y<0;③ y>0 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般 两根 三顶点 (1)一般 一般式:)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程02 =++c bx ax 有实根1x 和 2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 (3)三顶点 顶点式:)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我 二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ; ②2 2x y =; ③x x y 422 +=; ④x y 3-=; ⑤12--=x y ; ⑥p nx mx y ++=2 ; ⑦()x y ,4=; ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为t t s 252 +=,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数,则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数,求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆:如果解析式为顶点式:()k h x a y +-=2 ,则对称轴为: _ , 最值 为: ; 如果解析式为一般式:c bx ax y ++=2 ,则对称轴为: __ ,最值为: ; 如果解析式为交点式:()()21x x x x a y --=, 则对称轴为: ,最值为: 。 1.抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点,则m 的值为 。 2.抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为(1,3),则b = ,c = . 3.抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线x ax y 62-=经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5.若直线b ax y +=不经过二、四象限,则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴 6.已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2,则m 的值是 . 7.抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8.若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x =1,则m = 。 9.当n =______,m =______时,函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线, 初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 ),对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于(0,c) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 =++(a b c y ax bx c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 a≠,而b c,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质:上加下减。 y ax c 二次函数知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式:2 ()()(0)f x a x m n a =-+≠;其中,(,)m n 为抛物线顶点坐标,x m =为对称轴方程. (3)零点式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠,其中,12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2.二次函数的图像 二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2b x a =- ,顶点坐标为24(,)24b ac b a a --. (1) 单调性与最值 ①当0a >时,如图2-8所示,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞- 上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a =-时, 2min 4()4ac b f x a -=;②当0a <时,如图2-9所示,抛物线开口向下,函数在(,] 2b a -∞-上递增,在[,) b -+∞上递减,当 b x =- 时,;24()4ac b f x a -=. (2) 当2 40b ac ?=->时,二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和 22(,0)M x ,1212|||||| M M x x a =-== . 二、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ,最小值是m , 图2-9 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线 h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:(上加下减) 3. ()2 y a x h =-的性质:(左加右减) 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有 二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法: 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)顶点式:)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数, (3)当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时,即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴所在直线;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0 二次函数知识点总结大全一 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数(R )。 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 结论:在Y 轴上,上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:在X 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: 二次函数图象的平移 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?,其中2 424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴 的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质: 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值 244ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ?? ,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般 两根 三顶点 (1)一般 一般式:)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时,即对应二次好方程02 =++c bx ax 有 实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++,二次函数 c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 (3)三顶点 顶点式:)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 知识点三、二次函数的最值 中考数学二次函数知识点总结 I. 定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存有如下关系:y=ax^2+bx+c (a, b, c为常数,a z0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,lal还能够决定开口大小,lal越大开口就越小,IaI 越小开口就越大. )则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II. 二次函数的三种表达式 一般式:y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数,a z0) 顶点式:y=a(x-hF2+k[抛物线的顶点P (h, k)] 交点式:y=a(x-x)(x-x)[ 仅限于与x 轴有交点A(x, 0)和B( x, 0) 的抛物线] 注:在 3 种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-bA2)/4a x,x=(- b±V bA2-4ac)/2a III. 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2 的图像,能够看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物 线的对称轴是y 轴(即直线x=0) 2. 抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a , (4ac-"2)/4a)当-b/2a=0 时,P在y轴上;当△二b^2-4ac=0时,P在x轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时,抛物线向上开口;当a v0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab> 0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab v 0),对称轴在y轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于(0, c) 6. 抛物线与x 轴交点个数 △=b A2-4ac >0时,抛物线与x轴有2个交点。 △=bA2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 △=bA2-4ac v 0时,抛物线与x轴没有交点。 X的取值是虚数(x=-b±V bA2 —4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a) V. 二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=axA2+bx+c, 当y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程(以下称方程),即 axA2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 ★二次函数知识点汇总★ 初三备课组 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0c ,与y 轴交于正半轴;③0初三.二次函数知识点总结
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